压缩感知的高分辨率天文图像去噪

张 杰,罗 超,史小平,刘晓坤

(1.哈尔滨工业大学 控制与仿真中心,哈尔滨 150080; 2.上海航天技术研究院,上海 201109)

压缩感知的高分辨率天文图像去噪

张 杰1,罗 超2,史小平1,刘晓坤1

(1.哈尔滨工业大学 控制与仿真中心,哈尔滨 150080; 2.上海航天技术研究院,上海 201109)

为提高高分辨率天文图像的重构质量,在传统压缩感知(compressed sensing, CS)迭代小波阈值算法的基础上,提出了一种基于小波维纳滤波的压缩感知去噪重构算法. 该算法的设计方法为：在每次迭代过程中,使用设计的小波维纳滤波算子替代传统的小波阈值算子对获得的天文图像小波系数进行筛选,从而对小波阈值去噪方法重建图像过程中出现的伪吉布斯现象进行有效地抑制；然后使用全变差方法对去噪重建后的天文图像进行调整,以进一步提高重构图像的质量.仿真实验结果表明,与传统的迭代小波阈值算法相比,本算法可以获得较优的去噪重建性能,并且能有效地保护高分辨率天文图像的细节特征信息.此外,在压缩比较高的情况下,该算法仍然可以获得相对较高的视觉质量和峰值信噪比.

高分辨率; 天文图像; 去噪; 压缩感知; 小波维纳滤波

对天文图像进行采集和研究是深空探索的一个重要分支.从获得的天文图像中可以直接得知某一星体的地貌特征,是否存在未知生命等重要天文信息.由于采集得到的天文图像一般为高分辨率图像,这些图像的存储会给卫星或者其他探测设备自身携带的存储空间带来较大压力.更为重要的是,天文图像在采集和传输的过程中经常受到噪声信号的干扰,从接收到的天文图像中很难分辨出某些重要的特征信息,大部分接收到的图像都要经过二次处理.然而,由于高分辨率图像的数据量较大,目前存在的大部分去噪算法处理高维数据的能力有限,在图像重构的过程中经常由于很难获得足够的原始信号信息导致重构图像的质量较差[1-3].

为有效地解决高维信号的重构问题,国内外学者一直都在努力探索如何从高维信号中获得一种低维的信号结构,并且同时保证这种低维结构保存了重构原始信号所需要的全部数据,然后利用这种低维数据精确重构原始高维信号.即,对高维信号进行压缩,舍弃信号中非重要信息,直接使用信号中的重要信息进行信号重构.信号的稀疏表示[3-4]是目前探索信号内部低维结构的一种比较简单的方式之一.

基于稀疏的思想,Donoho[5]在2006年提出了著名的信号采样理论:压缩感知理论[1-6].该理论指出:如果某一信号是稀疏的或者是可压缩的,则该信号就可以从少量的观测值中精确恢复.换言之,如果某一信号在某个正交基上是稀疏的,则可以使用一个低维测量矩阵对原始信号进行采样以获得低维数的信号观测值.最后使用重建算法从低维观测值中精确重构原始信号.

CS理论充分利用了信号的稀疏特性,并且在信号采样的同时就已经完成了信号的压缩过程.传统的香农采样定理要求信号的采样速率必须大于或者等于2倍的信号带宽,而CS理论使用低于2倍信号带宽的采样速率仍可精确重构原始信号.

CS理论包含3个重要部分:稀疏基的设计,测量矩阵的选取以及重构算法的设计.本文主要关注设计高性能去噪重建算法.经过近几年的发展,学者提出了许多的CS去噪算法,如迭代收缩阈值类(iterative shrinkage-thresholding, IST)算法[7-8]、匹配追踪类算法[9]、梯度方法[10]和Bregman迭代方法[11]等.通过分析可知,大部分CS去噪重建算法采用阈值的方法对原始信号进行去噪处理. 然而,由于经常使用的稀疏基如小波变换、轮廓波变换等缺乏平移不变性[12-13],采用阈值去噪会导致重构的图像中出现伪吉布斯效应.因此,本文将小波维纳滤波算子替代阈值算子对图像的小波系数进行筛选,进而提出了基于小波维纳滤波算子的CS重建算法.使用本文算法对高分辨率天文图像进行去噪重建处理,实验结果表明,本文算法能有效地提高天文图像的重构质量,获得较高的峰值信噪比.

1 压缩感知去噪模型

经典的去噪问题可描述为

y=f+e.

式中:f为任意N×1信号；e为加性噪声,本文考虑为零均值高斯白噪声；y为含噪观测值. 对于高维数信号,N值越大,则观测值y的维数就越高,在图像重构时,从y中寻找有效的原始先验数据就越困难.

本文使用低维M×N(M≪N)非自适应矩阵(CS测量矩阵)Φ对信号f进行观测,进而得到低维含噪观测值y:M×1,可描述为

(1)

由于M≪N,因此从y中重构原始信号f是一个病态问题.然而由压缩感知理论可知:如果信号在某个正交基Ψ上是稀疏的,同时测量矩阵Φ与正交基Ψ不相干,则原始信号就可以获得高概率重建[1-4].同时,式(1)可以转化为

式中s=Ψ-1f为稀疏系数.Θ=ΦΨ可以作为CS测量矩阵直接对稀疏系数进行观测.本文将正交小波作为信号稀疏基Ψ.

正则化方法[14-15]经常用来求解以上病态问题,而这类方法通常转化为满足某些稀疏限制条件的最小lp范数问题进行求解,即

式中:λ为正则化参数;第1项为惩罚项,用来估计观测值与计算值之间的偏差;第2项为正则化项,它代表原始信号的先验信息；Ψ-1可以看作是正则化运算算子,根据针对不同先验信息的Ψ-1,学者已经提出了许多的正则化方法,如全变差正则化.本文将CS重构问题转化为最小l1范数问题来解决,可表示为

2 本文重构算法

在压缩感知中,IST算法的设计过程比较简单且易于实现,其迭代过程可描述为

式中HW(·)为阈值算子,通常考虑为硬阈值算子,可表示为

(2)

此外,从式(2)可以看出硬阈值函数在±T处存在断点,在图像重构的过程中会产生较大的震荡效应,最终导致重构的图像中出现伪吉布斯现象.为消除阈值函数的缺陷,本文将小波维纳滤波算子代替硬阈值算子对天文图像信息进行筛选.

2.1 小波维纳滤波算子

对原始图像进行随机投影得到的观测值为独立同分布的高斯信号,可以认为是在原始清晰图像中加入了高斯白噪声[16-17].小波系数通常被认为是条件独立的高斯随机变量,而噪声信号则是统计独立的零均值高斯变量[18].因此原始含噪图像的小波系数an可表示为

式中：ap为纯净图像的小波系数,ζ为噪声的小波系数.由于维纳滤波器是一种最小均方误差滤波器,因此滤波器系数c可以表示为

式中θ2(k)为小波系数方差,由于小波系数与噪声信号两者相互独立,可以采用5×5 LAWMAP方法[18]进行计算,即

式中:Q为N(k)中的系数数量；N(k)为以an(k)为中心的5×5邻域.参数λ可以采用文献[18]中的方法进行计算.

本文设计的小波维纳滤波算子HS(·)为

2.2 去噪算法

在图像去噪中,全变差(total variation,TV)方法[19-20]能够有效地抑制图像中的伪吉布斯现象,提高重构图像质量.因此,这里将全变差方法应用到本文的去噪算法当中,对重构的图像进行调节.

本文算法的具体步骤总结如下：

1)初始化迭代次数m=1和重构图像fm=0.

2)对原始图像进行随机投影观测,得到含噪观测值y=Φf+e.

3)计算小波维纳滤波算子HS(·).

4)使用得到含噪观测值y迭代重建图像,可描述为

5)将得到的图像fw进行小波变换,并使用小波维纳滤波算子HS(·)对图像的小波信息进行筛选,可描述为

6)通过小波逆变换fm=Ψfs,重建去噪后的图像.

7)如果满足迭代停止条件‖fm- fm-1‖ε,则进入步骤8);否则令m=m+1,重复步骤4)～6),进入下一次迭代过程.

8)利用式(3)对去噪重建的天文图像fm进行TV调整.

(3)

其中q表示TV调整步长.同时,

9)输出调整后的重构图像.

3 实验及分析

本文首先设定压缩比为3,高斯白噪声标准差σn=10,并引入峰值信噪比(PSNR)对重构图像的质量进行评价.由于重构一幅高分辨图像需要较长的时间,为节省重构时间(reconstruction time,RT),本文从大小为5 120×3 840的高分辨率图像中取出部分1 024×1 024的图像作为实验图像.为测试本文算法的去噪能力,将它与迭代硬阈值算法(IHT)、改进的正交匹配追踪算法(IOMP)[21]和快速重建去噪算法[22]对比.首先测试拍摄的月球图像,图1显示了不同算法的重构结果.

图1 不同算法的重构结果

从图1可以看出,与其他3种算法相比,本文算法能够恢复一幅清晰的天文图像,同时获得的PSNR值较高,但是花费的重构时间较长.

设定σn=10,图2显示了不同算法随压缩比增加得到的PSNR和RT变化曲线.

图2 不同算法得到的曲线

从图2可以看出,随着压缩比的增大,不同算法的重构性能逐渐降低.但与其他算法相比,本文算法能获得相对较高的PSNR值,同样也需要相对较长的重构时间.从图2中也可以注意到,当压缩比较高时,本文算法仍可获得相对较高的PSNR值.

测试1 024×1 024土星图像,设定压缩比为10和σn=10,图3显示了不同算法重构得到的图像.从图3可以看出,当压缩比较高时,本文算法仍具有相对较好的去噪重建性能.

测试更多的天文图像,表1显示了当σn=10时,不同算法随压缩比降低时得到的PSNR.表2显示了当压缩比为3时,不同重构算法随σn增加时重构得到的PSNR值.

图3 不同算法重构得到的图像

表1 不同压缩比下得到的PSNR

从表1也可以看出,针对不同的天文图像,本文算法仍然具有较好的去噪重建能力.从表2可以得知,随着σn的增加,不同算法的去噪能力逐渐降低,但与其他算法相比,本文算法获得的PSNR值相对较高.

表2 不同σn下得到的PSNR值

测试本文算法对天文图像局部特征的重构能力,从高分辨率月球图像中截取大小为512×512的局部特征图像作为实验图像.设定压缩比为3和σn=10,图4显示了文献[22]算法和本文算法的重构结果.从重构图像可以看出,本文算法能够恢复较多的细节和纹理特征.

图4 两种算法重构结果

4 结 论

1)本文将小波维纳滤波算子替代压缩感知迭代阈值算法中的小波阈值对高分辨率天文图像进行筛选,并使用全变差方法对获得的重构图像进行调整,进而提出了基于小波维纳滤波的迭代阈值改进算法.

2)本文算法与IHT、IOMP和文献[22]算法的对比结果表明,本文算法能够获得较优的重建性能,同时可以有效地保护高分辨率天文图像的细节特征.当压缩比较高时,该算法也能获得相对较高的峰值信噪比.

3)尽管本文算法具有较优的去噪性能,但是消耗的重构时间相对较长,因此如何降低算法的重构时间是以后研究的重点.

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(编辑 张 红)

High resolution astronomical image denoising based on compressed sensing

ZHANG Jie1, LUO Chao2, SHI Xiaoping1, LIU Xiaokun1

(1.Control and Simulation Center, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080, China; 2.Shanghai Academy of Spaceflight Technology, Shanghai 201109, China)

To improve the quality of the reconstruction for high resolution astronomical image, a compressed sensing denoising and reconstruction algorithm, which combines wavelet with wiener filtering, is proposed based on the traditional compressed sensing (CS) iterative wavelet thresholding algorithm. The design method for this algorithm is that: a predesigned wavelet wiener filtering operator is used to replace the traditional wavelet threshold operator to select the wavelet coefficient of astronomical image in each iteration, thus the pseudo-gibbs phenomenon caused by the threshold denoising method in the reconstructed image can be suppressed effectively, and then the total variation method is used to adjust the reconstructed image for improving its quality. The experimental results show that the proposed algorithm can achieve better denoising and reconstruction performance, and can effectively protect the detailed feature information of high resolution astronomical image, compared with the traditional iterative wavelet thresholding algorithm. In addition, when the compression ratio is higher, the proposed algorithm can also help to the relatively higher visual quality and peak signal to noise ratio.

high resolution; astronomical image; denoising; compressed sensing; wavelet wiener filtering

10.11918/j.issn.0367-6234.201605061

2016-05-16

国家自然科学基金(61427809)

张 杰(1986—),男,博士研究生; 史小平(1965—),男,教授,博士生导师

史小平,sxp@hit.edu.cn

TN911.73

A

0367-6234(2017)04-0022-06