对概率论中“数学期望”概念的教学思考

吴秀才

【摘要】数学期望是随机变量的一个重要数字特征，在概率论这门课中占有非常重要的地位，是一个比较抽象的概念，学生们掌握起来有些困难，本文根据本节安排的位置，结合学生们的理解力及多年的教学经验，从引入的教学方法到对离散型随机变量“数学期望”概念的深刻理解以及如何引申至连续型随机变量的数学期望概念三个方面，谈一下作者的教学方法.

【关键词】数字特征；数学期望；教学方法

课题《三本院校公共数学课堂有效性研究》，课题编号：SKL-2016-1426.

一、引入的教学方法

一节课的引入至关重要，它是一节课主要内容的形象表达，能够帮助学生更快更精准地进入本节课的学习，通过对本节的教学研究，从以下几个方面来谈.

（一）引入随机变量数字特征的原因

数字特征是用数字描述随机变量的某一方面的性质.学习了随机变量的分布，我们知道随机变量分布函数能够全面地描述随机变量的各种特性，那为什么还要引入数字特征的概念呢？应从两方面给学生分析原因，一方面，在实际问题中，往往不需要去全面考察隨机变量的变化情况，而只需知道随机变量的某些特征就够了，比如，在考察某班的学习成绩时，只要知道平均分和描述分散程度的标准差就可以对此班的学习情况做出比较客观的判断了；另一方面，由于分布函数并非容易求，在此可举一个前面求分布函数的例子，让学生体会分布函数的求法不是那么容易，所以只得退而求其次，研究随机变量的数字特征.

（二）本章简介

在一章开头，给学生介绍一章的内容概要尤为重要，这样能够使学生对本章知识网络有个整体认识，并能使学生带着问题学习，勾起学习兴趣.数字特征这一章主要从以下方面讲解：（1）反映随机变量的集中位置的数字特征——数学期望；（2）反映随机变量离散程度的数字特征——方差；（3）反映两个随机变量相关程度的数字特征——协方差、相关系数.

（三）引例分析

引例在一节课中起着关键作用，可以承上启下，使学生在复习巩固知识的过程中懂得一些新知识，明白一些新道理，引例为学习新知识做一些引导、铺垫，从而较顺利地使学生将新知识“植入”自己的思想.在此，我选择赌金分配问题、射击技术高低评价问题及权重分析问题三个引例来引出“数学期望”的概念.

1.权重分析问题

设随机变量X的概率分布列为

X100200

fn0.010.99

求X的平均值.

分析：如果这样计算X=12（100+200）=150显然不合理，由此让学生感觉权重问题应该这样算X=100×0.01+200×0.99=199.

2.赌金分配问题

关于赌金分配问题是数学期望诞生的历史背景，可以跟学生们讲问题的由来，就是1654年，一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒的赌金分配问题”求教于帕斯卡，而后帕斯卡与费马通信讨论这一问题，从而建立了概率论的第一个基本概念——数学期望.这个著名的赌金分配问题如下：

甲、乙两人赌博，各拿出50元的赌金，条件约定为五局三胜制.假定已赌三局，甲胜2局输1局.此时由于不可抗拒的因素赌局被迫终止，问赌资如何分配？

与学生共同分析以下几种分配方案：① 各自拿各自的50元；② 甲拿全部赌金；③ 甲、乙按2∶1分配；④ 列举剩余两局的胜负可能结果得出甲有34赢的可能性，乙有14赢的可能性，于是赌金按3∶1分配.很显然，前三种分配方案都不合理，最终归结为第四种寻求理论均值.

用X表示甲获得赌金数，则可列概率分布表：

X0100

pk14

34

X=0×14+100×34=75.

教师在讲课时亦可对此例稍做改动，如改成“中途不得不停止的乒乓球比赛奖品分配”，以吸引学生的注意力，加深学生对概率论与数理统计这门课解决实际问题的印象.

3.射击技术高低评价问题

下面是射手甲和乙在过去的100次射击中的成绩，其中随机变量X和Y是命中环数，pk为统计频率，考察两个射手的射击技术的高低.

X8910

pk0.30.10.6

Y8910

pk0.20.50.3

分析：从表格明显看出两人技术都不错，因为都在8环以上，那就考察理论平均环数：

X甲=1100（8×30+9×10+10×60）=9.3，

X乙=1100（8×20+9×50+10×30）=9.1.

继而将上面算式换成

X甲=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3，

X乙=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1

得结论：从理论均值角度来讲，甲的水平高.在此跟学生们指出理论平均值实际等于随机变量取值与其相应概率乘积之和，也就是以概率为权的加权平均.

二、离散型随机变量“数学期望”定义的深刻理解

定义：设离散型随机变量X的分布律为P{X=xi}=pk，k=1，2，…，若正项级数∑∞i=1|xi|pk收敛，则称级数∑∞i=1xipk为随机变量X的数学期望，记为E（X）=∑∞i=1xipk.

注解1：数学期望又叫均值，简称期望.

注解2：数学期望是一个确定的常数，不是随机的，离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的无穷级数的和，如果随机变量X取值有限，期望E（X）就是一个加权平均值.

注解3：不是所有随机变量的数学期望都一定存在，在这里必须提出注意的是满足正项级数∑∞i=1|xi|pk收敛，即∑∞i=1xipk绝对收敛，有的随机变量的数学期望是不存在的，例如，PXi=（-1）k2kk=12k，绝对收敛是为保证级数的和唯一，离散型随机变量分布律中pk地位相同，先写这一项还是那一项对级数的和不产生影响，而绝对收敛级数满足重排各项后其和不变，条件收敛保证不了这一点.

例如，∑∞n=1（-1）n-11n=1-12+13-14+…是条件收敛，

现将级数中的一些项做如下调整：

根据收敛级数满足结合律，给上面级数加括号：

由此说明条件收敛的级数在更改各项顺序后其和会改变.在此，也许学生们感觉求期望要先经过判断才可求，所以，教师可以声明，实际作业中让求期望就直接求，可以不必在判断上下很大功夫.

注解4：期望值是随机变量取值的平均值，反映了随机变量取值的集中位置，并不等同于常识中的“期望”，也许与随机变量取值的每个结果都不相同，换言之，“期望值”并不一定包含于随机变量取值的集合中，例如，掷一颗六面的骰子，已知各面朝上是等可能的，求掷的点数的数学期望.

由定义计算E（X）=1×16+2×16+3×16+4×16+5×16+6×16=3.5，显然骰子的任何一面不可能是35.

三、关于如何引申到连续型随机变量的数学期望定义

对连续型随机变量的取值是整个区间，并且取每个单点值时的概率都为0，因此，不能直接利用上述离散型随机变量数学期望的定义计算，但可以将取值区间无限细分，将连续型隨机变量离散化，运用定积分的思想引申.设某一连续型随机变量X的取值区间为（-∞，+∞），则将其任意分割成n份，并记第i个子区间为[xi-1，xi]（记λ=max{Δxi}），在此区间上概率近似为f（ξi）Δxi（其中f（x）为密度函数），从而每个小区间上的数学期望近似为xif（ξi）Δxi，继而将上述近似期望值求和后再取极限，即得E（X）=limλ→0∑ni=1xif（ξi）Δxi=∫+∞-∞xf（x）dx，由此得连续型随机变量的数学期望的定义为：设连续型随机变量X的概率密度函数为f（x），如果积分∫+∞-∞xf（x）dx绝对收敛，则此积分的值为连续型随机变量X的数学期望.

四、结束语

一节新授课的成功与否取决于恰到好处的引入和对新概念的注解，讲好新概念的引入和注解能够帮助学生们透彻理解并接受新概念，不仅仅是概率论中“数学期望”这样非常重要而又抽象的概念需要在引入和注解上精讲，对于任意一个数学概念在讲之前都应该规划好如何引入才能使学生容易理解，又如何对定义进行深层次的注解才能使学生很快接受，我想这是作为教师应该深入探讨的问题.

【参考文献】

[1]曹小玲.浅谈概率论中“数学期望”概念的讲解[J].教育教学论坛，2014（45）：199-200.

[2]孙伟.论数学期望定义中“绝对收敛”[J].哈尔滨金融高等专科学校学报，2008（3）：71-72.

[3]谢永钦.概率论与数理统计[M].第2版.北京：北京邮电大学出版社，2013：89-98.

[4]同济大学数学系.高等数学[M].第7版.北京：高等教育出版社，2014：265-266.

[5]段丽凌.浅析数学期望在经济生活中的应用[J].商场现代化，2008（536）：71-72.

[6]谢国瑞.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2002.