泛函分析进入希尔伯特空间，第2版

Hansen+Vagn+Lundsgaard

泛函分析是一个重要的数学分支，起源于上世纪20年代，在许多数学分支及理论物理学等科技领域有重要应用。本书是一本关于泛函分析的专著，是希尔伯特空间理论及希尔伯特空间上算子理论的基本引论，也是作者在丹麦技术大学长期对数学专业高年级学生和研究生讲课基础上形成的成熟的大学数学教材，由作者的专著《Fundamental Concepts in Morden Analysis》（现代分析的基本概念，World Scientific，1999）发展而成。它初版于2006年，获学术界好评，特别是关于自伴线性紧算子的谱理论的论述以及习题的配备是其亮点。现在的第2版作了增补。主要是扩充了第1章中关于赋范向量空间及其算子的材料，包括开映射定理、闭图象定理及哈恩-巴拿赫（HahnBanach）定理的证明。还将关于赋范向量空间算子的论述扩充为新的专论弗雷德霍姆（Fredholm）理论的第6章，等等。

全書正文含6章：1.度量拓扑学的基本原理。是全书的基础和预备，简明地给出包含度量结构的空间的一般拓扑学基础，特别是关于赋范向量空间及其算子的一些基本定理（开映射定理等等）的完全证明；2.函数空间新的类型。主要研究Lp空间的结构，还讨论了序列空间lp，给出赫尔德（Holder）不等式和闵可夫斯基（Minkowski）不等式的证明等；3.希尔伯特空间理论。从复习内积空间开始，引进希尔伯特空间概念，还讨论了可分希尔伯特空间的基本性质，以及弱收敛性等。第4章：希尔伯特空间上算子。讨论了有界线性算子的自伴算子和紧算子；5.谱理论。着重研究可分希尔伯特空间上的自伴线性紧算子的谱理论；6.弗雷德霍姆理论。在巴拿赫空间上有界算子的框架下给出弗雷德霍姆算子理论的基础，讨论了积分算子和积分方程，以及弗雷德霍姆型的算子方程。这些结果对于实际应用有重要意义。本章的取材和论述受到M.Pedersen的《Functional Analysis in Applied Mathematics and Engineering》（应用数学和工程中的泛函分析，C&H/CRC，2000）的影响。正文之外单独给出各章习题（总共141个）。

本书可作为我国理工科大学高年级学生和研究生的教材或参考书，也可供有关科研人员阅读。

朱尧辰，研究员

（中国科学院应用数学研究所）