平而不淡有回甘——对2017年全国高考理科数学Ⅰ卷的分析与思考

魏有莲 黎 明

（三明市第一中学，福建 三明 365001）

平而不淡有回甘
——对2017年全国高考理科数学Ⅰ卷的分析与思考

魏有莲 黎 明

（三明市第一中学，福建 三明 365001）

2017年全国高考理科试卷看似平淡，实则回甘无穷。全卷在遵循考纲要求、突出能力考察、强调实际应用、题目难度适中、重视运算能力、题设情境新颖、适当求变创新等方面亮点突出，是一份平淡处有波澜，细微处见真章的典范性试卷。2018年高考数学总复习必须高度重视试卷透露的信号，在领会考试大纲、培养数学能力、提高建模水平、精准教学预设、强化运算教学、重视情境教学、深化高考研究等方面深入研究，教会学生数学本质的东西。

高考试卷；亮点分析；教学思考

一、对2017年理科数学Ⅰ卷亮点分析

（一）遵循考纲

2017年理科数学I卷严格遵循“考试大纲”和“课程标准”的要求，坚持基础性知识的考查。如：选择题和填空题考查了集合（第1题）、数列（第4题）、函数性质（第5题）、几何体三视图（第7题）、三角函数图象变换（第9题）、指数与对数运算（第11题）、向量（第13题）、线性规划（第14题）、双曲线离心率（第15题）等知识点。这些知识点是考纲中相关章节的基础知识，体现新课程理念，直击高中数学教学。

（二）突出能力

2017年修订的“考试大纲”强干削枝，突出能力的考查。今年的试卷高度重视数学能力考查，充分体现了考纲精神。如：第21题第（1）问要求考生先求导函数零点，再对参数分类讨论，最后分析函数单调性。在第（1）问的基础上，第（2）问根据函数有两个零点的条件，进行分类讨论，确定参数的取值范围。试题分步设问，层层深入，逐渐递进，考查学生思维的缜密性、推理的准确性、分类的完整性等。

（三）强调应用

理科数学Ⅰ卷命题十分强调数学知识的应用，将数学知识与实际问题紧密结合，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，对学生阅读理解、信息提取和数据处理等能力有较高的要求。如：第12题，以数列知识为背景，考查学生分析解决实际问题的能力；第19题，以工厂生产流水线上对产品质量监督与抽样分析调查引入问题，考查统计学中常见的正态分布，体现了数学的实际应用价值。

（四）难度适中

理科数学Ⅰ卷的整体难度适中，各种难度的试题比例得当，没有偏题和怪题，与考试大纲和课程标准要求相一致，有利于考生水平正常发挥。试卷中设置了较多的基础题，考查的是单一知识点或基础知识交汇点，如：第 1、2、3、5、6、7、10、11、13、14、15 等小题，占了选择题和填空题的69%，得分率可超过80%。选择题和填空题分别有一道压轴题，第12题是新定义的数列创新题，第16题考查了立体几何和函数与导数，均有一定的综合性。第19题是全卷最出彩的亮点，考查了过去解答题从未涉及的正态分布，有较好的区分度。第20、21题两道压轴题的难度都低于2016年。

（五）重视运算

虽然考生感觉整份卷子难度适中，但是得势不得分的现象普遍存在，取得高分的考生比例较低。原因是卷子的数学运算量较大，对考生运算能力要求较高，这是今年理科数学Ⅰ卷的又一特点。如：第19题，在没有计算器的考场中要准确算得最后结果颇不容易，可能失之毫厘，差之千里。第20题是传统的圆锥曲线题，题目设置了较多的数、式、方程的计算和变形，得高分得满分不易。

（六）情境新颖

理科数学Ⅰ卷在保持题型结构稳定的基础上，对题干的情境设置下了一番功夫，希望考查考生在新情境中解决问题的能力。全卷题干的情境新颖、背景丰富，富有时代气息、人文气息，贴近生活、贴近社会。如：第2题的“太极图阴阳鱼”，展示了中国优秀的传统文化。第7和16题以三视图和球为载体设置情境，综合考察考生的空间想象能力和数学建模能力。第12题，通过“软件激活码”活动，引入一个新型数列，考出了数学的科学与人文价值。

（七）适当创新

卷子延续性好，稳定性强，题目稳中有新、稳中有变，有许多微创新，体现了命题者的良苦用心。如：第8题，虽然算法内容很简单，但是对循环结构理解不到位就会失分，考到了这类题的痛点。第23题（不等式选讲），考查了函数、方程与不等式三者之间的关系，难度较往年有所提高。第19题，情境新、立意高、设问好，考查学生数学应用能力和创新能力。另外，全卷的学科立意和思想价值较高，很好地体现了对数学学科核心素养的考查。

二、对2018年理科数学复习教学思考

高考命题逐步走向成熟与稳定，今年理科数学Ⅰ卷透露的信号，呈现的亮点，有利于课堂教学改革，有利于创新人才培养，对当下数学课堂有积极的导向作用，2018年高考数学复习必须以此为据做深入思考。

（一）领会考试大纲

高考试题有随机性，但随机之中蕴含着规律，规律背后的支撑就是考试大纲。考试大纲是试卷命制的依据，体现了考试的宗旨，规范了命题的原则，确定了考试的范围，需要一线数学教师深刻领会。2017年的考试大纲增加了对数学文化的要求，试卷第2题，以太极图为载体，设计考查几何概型计算，让学生感受我国优秀传统文化的博大精深和源远流长。人教版《数学·必修》和《数学·选修》中分别有“中外历史上的方程求解”“祖暅原理与柱体、维体、球体的体积”“割圆术”“海伦和秦九韶”“九连环”“‘杨辉三角’中的一些秘密”等内容，依照现行考试大纲，学生对这些内容的学习与掌握要更加到位，对数学文化的了解与感受应更加深刻。

（二）培养数学能力

现行“考试大纲”强调考查数学能力。今年试卷重视基础性知识考查，淡化特殊技巧，强化通性通法，其目的就是考查学生数学学习情况，进而考查数学能力。如：解析几何问题（第20题），基本以圆锥曲线为背景，涉及函数与方程、化归与转化、分类与整合、数形结合等数学思想，涉及定义法、待定系数法、设而不求、整体代换等解题通法，全面考查学生数学能力。这一题型近年来还呈现出一个新的特点，即淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向及计算方法的合理性，适当与向量、解三角形等结合。这种在多个知识交汇处命题，综合性强的题目，对学生知识结构清晰度和数学能力要求很高，总复习应做专门的训练，以培养学生良好的数学能力和学科素养。

（三）提高建模水平

针对理科数学Ⅰ卷强调数学知识应用的特点，总复习要全力培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。将一个生产生活中的实际问题转化为数学问题，并加以解决，这其中最重要的一个环节就是数学建模。如：第16题，虽然综合考了直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养，但最重要的主线是数学建模。数学建模步骤有三：

1.分析题意，厘清问题，即：求当△ABC的边长变化时，折成的三棱锥体积的最大值。

2.抽象概括，建立模型，即：想象三棱锥模型，通过逻辑推理，构造△ABC的边长与三棱锥体积的函数关系式。

3.综合运算，求解模型，即：注意到△ABC的边长取值范围，推理运算后，用导数求得最值。通过建模让数学走进生产生活，让数学课堂充满活力，提高师生在数学课堂中的生命价值。

（四）精准教学预设

初看今年试卷难度均衡，学生感觉良好，可是最后成绩并不如意，反映出总复习还存在不少问题。从教师方面来说，一个重要原因是备课不充分，预设不精准。为此，总复习课切忌这五点:

1.切忌平均用力。考试大纲规定的考点有217个，随着命题成熟稳定和突出重点，每年试卷涉及的考点大约只有30%，对所有考点切忌平均用力，面面俱到，尤其是第二轮小专题，第三轮大综合更应侧重重点知识与方法。

2.切忌贪多求全。即使对重点知识与方法也切忌贪多求全，应针对复习进程和学生水平，适量够量即可。

3.切忌以师定教。如果教师是课堂的主宰、学生的上帝，以师定教，不肯放手让学生自主建构，学生知识结构不能优化和重组，能力水平不能再次升华，复习效果当然不佳。

4.切忌一味拔高。冲刺阶段因为学生有了长足的进步，学生盲目自信，教师盲目乐观，教学基点一味抬高，教学难度一味加大。其实这时更要回归课本，回归双基和通性通法。如：第4题，用数列基本量计算即可，特殊技巧反而累赘。

5.切忌固守陈规。再好的复习方法与策略成功只在当年，来年必做更新，固守陈规注定要失败，高考复习一定要推陈出新，在变中求胜。

（五）强化运算教学

高考数学对运算能力考查已渗透到各类题型之中，并且有从单一运算能力转向多种运算能力同时考查的趋向。总复习教学必须摒弃数学运算不是数学知识、不是数学思想，仅是一种工具的肤浅认识，不断强化运算能力，抓好运算的“三性”:

1.准确性。没有正确的运算就没有成功的解题，准确性是运算最基本的要求。如：第19题，只有数的运算基本功扎实才能得到正确结果。

2.合理性。运算合理才能高效、快捷、准确。如，第16题，设弦BC的弦心距为x，构造三棱锥体积的函数，运算高效快捷。如果设边长BC为x，构造三棱锥体积的函数，则运算繁杂，费时费力，还易出错。

3.技巧性。要将提高运算技巧与发展创新能力融合在一起，发现巧妙灵动的运算方式。如，第10题，用特值法，取直线AB的斜率k=±1，可以速解。

（六）重视情境教学

面对题设新情境，一些学生“现场”学习能力低下，无法从中提炼、概括，不能将问题转化为熟悉的模型或类型。总复习要高度重视情境教学，有意识地进行新情境问题的专题练习。新情境设置似可从这八个方面进行：引进数学历史、设计生活（生产）情境、引入讨论参数、设置隐含条件、改变设问方向、综合多个问题、增加问题层次、融合不同模块。另外，教材中的阅读材料也正在成为新情境的来源，比如，人教版《数学·必修3》第79页“生产过程中的质量控制图”就是今年理科试卷第19题的背景，甚至该阅读材料中就有第二小题的第一问的标准答案。

（七）深化高考研究

今年试卷有所创新，在注重思想与方法考察的同时，更凸显数学的基础性，应用性和工具性等学科特色。教师应加大对高考全国卷的研究力度，提高引导水平，改进学生复习行为，让福建学子更加适应全国卷。目前高考命题背景有六大来源：课本背景、名题背景、竞赛背景、高数背景、生活生产背景、往年考题背景。这些背景如何生成新高考题要深入研究。如，高数背景题。高考是为高校选拔新生的，为考查学生进入高校后的学习潜能，“试题在主体上考查中学数学的同时，体现进一步学习高等数学的需要”是必须的。近几年，递推数列、函数方程、函数不动点、微分中值定理、泰勒展开式、伯恩斯坦多项式、数论同余等背景都出现过，从知识点来说有些超纲，但它们只是考查能力的载体，只要能化归到中学现有知识框架中就一定能解决问题，如何化归就值得深入研究。

［1］甘志国.2017年全国高考模拟题（全国新课标理科数学卷）［J］.高中数理化,2017（5）.

［2］吴平生.2017年全国卷数学高考数列复习备考研究［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2016（10）.

［3］梁金中.精准把脉深度复习——2017年高考物理第二轮复习方略［J］.福建教育，2017（1）.

G633.6

A

1673-9884（2017）08-0123-03

2017-07-25

魏有莲，女，三明第一中学高级教师，特级教师。