运用转化拓展开创新思维

江苏省扬州市邗江区方巷镇中心中学(225118)

杨 群●

运用转化拓展开创新思维

江苏省扬州市邗江区方巷镇中心中学(225118)

杨 群●

二十世纪最伟大的数学教育家波利亚曾经说过，解数学题，转化是关键.就是把那些陌生的、较为困难或复杂抽象的数学问题，通过某种方式转化为某些熟悉的、已经解决的或容易解决的数学问题.

转化是解题的灵魂，解题的全过程实质上就是一个不断转化的过程.由于思维角度，方法技巧的不同，转化种类，形式多种多样，当直接以题设条件到结论的推理，演绎复杂，繁琐或无法进行时，可对命题的条件或结论的表达式进行等价转化，或转化为结论的反面.或将原命题转化为与之等价的逆否命题，另辟蹊径，换个角度重新认识，接近本质，使命题趋于简洁、明朗，起到以简驭繁作用.

一、转化策略

解题即意味着把原问题逐步转化为可解的目标问题的过程.学习中从数与式、数与形、特殊与一般等的转化中培养自己把复杂问题简单化，陌生问题熟悉化，抽象问题具体化，非常规问题常规化的能力.

分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明.首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式.a,b,c中至少有一个等于1，也就是说a-1,b-1,c-1中至少有一个等于零，这样，问题就容易解决了.

于是(a-1)(b-1)(c-1)=abc-(ab+ac+bc)-1+(a+b+c)=0.

∴a-1,b-1,c-1中至少有一个等于0，即a,b,c中至少有一个等于1.

评注 不少同学会只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个等于1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题.因此，多练习这种“翻译”是提高转化能力的一种有效手段.

二、条件的转化

例2a、b为实数，满足a2+b2+ab=1,ab-a2-b2=t,试求t的取值范围.

三、动态与静态的转化

动点与定点、动直线与定直线等等，都有动态和静态的特征，从静态中探求结论，为动态情形提供证明或计算的目标，促使矛盾转化，可以简化解题过程.

例3 一游泳者沿河逆游而上，于A处将携带的物品(可漂浮)遗失，在继续前游30分钟后发现物品遗失，即记得返回顺游，距A处3千米的B处追到物品，问此河水流速多少？

不妨先假设人在静水里游泳，30分钟后发现物品遗失，即刻返回追取，物品应在A处，而人回游也需30分钟，现回共用了1小时.

再考虑运动状态，由于物品是漂浮的，它顺水而下，移动了3 km，这段距离是在人来回共用去1小时内完成的，故河水的流速为3km/小时.答：略.

四、一般与特殊的转化

1.特殊化.由于特殊问题常常比较简单，并且特殊问题的解法孕育着一般问题的解决.因此，特殊化是一种常用的解题思想方法.

2.一般化.也许有人会感到：特殊问题比一般问题容易解决.但事实却并非尽然，有时一般问题的解决反会比特殊问题的解决来得简单、明快、奇妙，这是因为带有普遍规律的一般问题揭示了问题的本质属性，而在带有个别特性的特殊问题中，这种本质属性常常被个别特征所掩盖，使人不易发觉，而未能开发利用.

五、善于发掘，化隐为显

例4 计算3(22+1)(24+1)…(264+1)+1.

分析 此题看起来难于动笔，但只要仔细观察结构，很快发掘出隐含条件：3=22-1再逐次运用平方差公式即可.

点评 本例通过仔细观察，挖掘出隐含条件，巧妙运用了平方差公式，培养了学生的创新能力.

六、观察探索，化末知为已知

例5 设a、b为不相等的实数，且a2+2a-5=0,b2+2b-5=0,求a2b+ab2的值.

分析 若用常规方法，需先解一元二次方程分别求a、b的值，再代入求代数式的值.但由已知a2+2a-5=0和b2+2b-5=0的结论特征，可发现a、b是方程x2+2x-5=0的两个不相等的实数根，从而转化成一元二次方程根与系数的关系，很容易求得a2b+ab2的值.

点评 本题的关键是将a,b转化成x2+2x-5=0的两个实数根，将末知的问题向已知转化，达到能用熟悉的知识和方法解决末知问题的目的.

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1008-0333(2017)08-0054-01