孙庆宏
数学教学观是数学教师对数学本质以及学习数学的认知过程的一种认识,它不仅涉及数学的性质与特征,更涉及获得知识的认知过程,或者说学习数学的规律。它除了思考教学内容的数学知识与方法的科学性以外,必须确定对教学形式与方法的认识,同样要以科学的方法确定传授数学知识的条件与实质。数学教师在教学过程中的所作所为,取决于他们的基本观念以及对数学与数学教学的基本看法、信念与态度,数学教学观会影响数学教学的实践与效果,是数学教学设计的灵魂。笔者认为,数学学习的主要目的是“获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”;数学学习的内容是“现实的、有意义的、富有挑战性的,这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动”;内容的呈现方式是“采用不同的表达方式,以满足多样化的学习需求”;有效的数学学习方式是“主动·探究·合作”;数学学习的优劣主要表现为学生对数学的理解和能否积极参与活动,是否获得了积极的情感体验,能否善于反思,即建构主义理论下的数学教学观。
一、对建构主义数学教学观的认识
一方面,建构主义认为:学习不应被看成是对教师所授知识的被动接受,而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构活动;学生根据自己的经验背景,对外部信息进行主动的选择、加工和处理;学习不是简单的知识累积,更重要的是包含新旧知识经验的冲突以及由此而引发的认知结构的重组;学生学习活动主要是在教师的直接指导下完成的。为此我们强调学习的积极性、建构性、累积性、目标指引性、诊断性与反思性、探究性、情境性、社会性以及问题定向的学习、基于案例的学习、内在驱动的学习,等等。建构主义理论充分肯定了学生在数学教学活动中的主体地位。数学教学不再是一种“授予—吸收”的过程,而是在一定社会环境中学生作为主体的主动建构过程。另一方面,《数学课程标准》强调:“鼓励学生自主探索与合作交流。有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆,教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动,从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。”因此我们要打破传统数学教学观的束缚,以建构主义理论为基础,建立探究性数学教学观,培养学生提出问题与解决问题的能力,发展学生的创新意识和实践能力。
1.创设问题情境,激发学生探究数学问题的兴趣。通过创设适宜的活动情境,唤起学生原有认知结构中的知识和经验,调动学生追求问题解决的积极性,造成认知冲突,以形成学生欲证不得、欲罢不能的思维态势。例如,在教学“二项定理”之前,教师提出这样一个问题:今天是星期一,再过1515天是星期几?显然,利用简单的计算无法完成该问题。在这种情境下,教师告诉学生:如果我们学会了二项式定理,那么很快就能得出结果。在这种状态下,课堂气氛和谐活跃,师生共同探究二项式定理的规律性及其应用,取得了良好的教学效果。
2.让学生动手做,在探究中学习数学。建构主义理论以学生的自主活动为基础,以智力参与为前提,又以个人体验为终结。数学学习中“自主活动”强调要在“做数学中学数学”。活动是个人体验的源泉,是语言表征、情节表征、动作表征的源泉,所以对建构主义学习来说,活动是第一位的。例如,在教学“椭圆的标准方程”时,教师准备好实验器材,学生分组动手画出椭圆。实验探究:保持绳长不变,改变两个图钉之间的距离,画出的椭圆有什么变化?学生思考:根据上面的探究实践活动,椭圆是满足什么条件的点的轨迹?教师引导学生概括椭圆定义,这样学生对椭圆的概念才能掌握得深刻。在这种学习情境中,学生不只是掌握一些基本规律,还在动手操作中体验数学知识产生的过程,领会其中的数学思想方法,逐渐形成探究数学问题的意识和探索未知世界的积极态度。数学教学中,教师应该做的事就是让学生通过自己的参与,通过“做数学”来体验数学,引导学生学会用数学的方式去思考、去探索。
3.学生要学会收集资料、筛选资料,以便开展探究性数学课题。开展探究性数学课题学习,是培养学生创新意识和实践能力的重要方式之一。在数学教学中,教师不应成为“居高临下”的指导者,而应成为一个“平等”的参与者。在教师指导下,学生从学习生活和社会生活中选择和确定探究性数学课题,主动地获取知识,应用知识来解决问题。这些都意味着学生要学会有选择地获取有价值的数学知识,其中一个重要的途径就是利用网络技术收集资料、筛选资料,获取有价值的信息。教师要培养学生具有适应信息时代需要的信息素养,既要发展学生利用信息技术的意识和能力,又要发展學生对浩如烟海的数学信息进行反思和辨别的能力。如在教学“利用数列计算利息”时,笔者就先让学生在生活中去调查银行利息的实际情况。拉近数学知识与学生现实之间的距离,有利于学生采集数学信息,有利于激发学生解决问题的兴趣,有利于学生提取和利用生活经验,从而有效地发现知识,发现规律,发现问题。
二、建构主义数学教学观的实践与探索
“数学是研究人类思维方式的科学。”因此,中学数学教学的目的就是通过教授数学知识,把知识的学习和能力的培养结合起来,通过知识的教学,培养学生的能力, 在能力提高的基础上,不断发展和完善学生的综合素质。
1.知识应该以“系统中的知识”的面貌出现在学生面前。在教学中,笔者着眼于知识之间的联系和规律,使学生养成从系统的高度去把握知识、认识世界和进行思考。站在系统的高度把数学教学分了三层意思:(1)每个数学概念、定理、公式等知识的教学,都是在见树木更要见森林的状况下进行的。(2)在教学过程中,对任何细节都要鼓励学生追根溯源,凡事都去问为什么,寻找它与其他事物之间的联系。(3)在知识系统中进行教学。笔者认为这种做法所起到的作用是:“使学生发现知识之间盘根错节又浑然一体,而到后来,知识好像在手心里,了如指掌,不再是一堆杂乱无章的瓦砾、一片望而生畏的戈壁滩。”
2.着眼于数学思想的渗透,更着重哲理观点的升华。人类历史上伟大的数学家、物理学家同时也是思想家、哲学家。如牛顿、高斯、欧拉、莱布尼茨等,他们都是站在思想的高度、哲理的高度进行观察与思考的。把这些数学家、物理学家的思想和哲理观点编成教材来教学生,学生无法接受或只是机械地接受,无助于他们以此为武器进行思考和应用,当然增长不了才干。而在数学教学中点点滴滴地长期渗透,则会使学生在耳濡目染的过程中得到熏陶。在课本中有不少数学家的小故事,很多教师不讲这部分内容,甚至不要求学生看。这样就会浪费很好的数学教育资源,因为这些故事和我们的数学教学内容紧密相关。笔者每次不仅要花很多时间讲授这部分内容,而且还查找大量的资料来补充。事实证明,这样更能激发学生的学习兴趣。
3.使学生成为学习的主人,形成学生“超前思维,向老师挑战”的课堂气氛。教学时,例题写出来了后,学生先思考、分析,再让学生到讲台上讲解;教學数学定理、公式时,在写出条件后,就鼓励学生想出它们的结论;再进一步,学生主动构造数学定理、公式,甚至提出应该给谁定义和如何定义;对于教师课堂上的讲解内容,学生敢于抢在老师前面猜想它的下一句是什么……这样做锻炼了学生的思维能力。同时,学生亲自参与,历经艰难过程,熟知其中的“沟沟坎坎”,必将印象深刻,记忆久远。学生向老师挑战,如果思考失误了,将从反面加深对正确认识的理解。另外,这种给学生在自己同伴面前展示自己才华的机会,将很好地促进他们积极追求进步。
4.一题多解,多解归一。学数学需要做题,别的课程也如此,但怎样才能发挥做题更大的作用?笔者认为,题不在多而在精。在这里,题目的精不单是指题目本身无错误,而且是题目的解题思路应充满数学思想。更重要的,是一题多解(达到熟悉)、多解归一(寻求共性)。
一题多解将使学生身临其境,加深理解;多解归一,是寻求不同解法的共同本质,乃至不同知识类别及思考方式的共性,上升到思想方法、哲理观点的高度,从而不断地抽象出具有共性的解题思考方法。有很多学生问笔者:老师,上课我都听懂了,为什么还是不会做题?笔者回答:“你是听懂了,但你并没有看透。”为了这种“把题看透、做透”的目标能够实现,教师必须精心设计教案。笔者如果要给学生出一道题,自己要先做至少20道题,从中选出最精彩、最典型、最能启发学生思维的题目。
5.指导学生逐渐学会自主学习。对于学习数学的方法,笔者给学生提出了三个字的要求:“懂、会、对”;每字亦有三个层次的要求,可粗略地表述为知其然也知其所以然。
懂:要掌握课堂上学习的具体知识;要不断深入理解知识发生发展的过程,使用某个方法解决问题时要了解这个方法的适用范围与局限性;要注意不断关注知识方法之间的联系与差别,将所学的知识方法体系化。
会:要会将课堂上学习的知识方法应用到类似情景中去,要会抓住解决问题方法的本质,会将所学的方法应用到新的情景中去;会通过比较归纳,将知识与方法体系化为自己认知体系的一部分,逐步形成解决问题的策略体系。
对:要能比较熟练地用所学的知识方法准确地解决问题;要特别重视解决问题时推理或计算所依据的算理、算法,关注结果的合理性,不断提高解决问题的自我调控的元认知能力;要能根据学科与学习心理的特点,逐渐通过积累归纳,形成有效的自我检查的方法体系,并不断提高应用这一体系的能力。
学生在努力达到这样的学习要求时,必须自主有效地完成很多学习的“软”任务,进而不断提高自己的学习能力与综合素质;还应该看到,不是所有学生在学习的各个阶段都能尽善尽美地达到这三个层次的要求的,学生必须根据自己的学业水平、精力和将来的发展需求,自我安排、自我控制学习进度、广度与深度。
“懂、会、对”的学习要求,是一个开放的学习方法体系,也是一个可以不断优化的学习方法体系。教师在指导学生形成、使用这一体系时,也在不断深化对数学观念方法体系的认识,不断提高对学习规律的认识。
6.教给学生科学的学习方法。俗话说,授人以鱼,不如授之以渔。笔者带过多届高三毕业班,在每届3年的数学教学中,笔者都要努力做到:(1)近一半的例题、定理、公式都是引导学生自己动手完成的。(2)从数学学科特点出发,在知识上指导学生注意追根溯源,寻找知识之间的联系和规律,在比较中学习新知识,站在哲理的高度思考问题,注重联想。(3)提倡和指导学生开展问题研究,练习写论文、写总结。(4)不断回顾总结,学生完成作业后,引导学生回顾、总结、反思,只有掩卷反思才会有所发现和优化。(5)凡事需问“所以然”。知其然更知其所以然,凡事都要问一个为什么。鼓励学生勇于探索大胆创新,各抒己见,展开争论。
笔者认为,教师给学生讲题,如果只把题目的解答过程一步一步讲清楚,哪怕再细致明白,也讲不出这些解法步骤是怎么想出来的,对提高学生的解题能力效果不大,甚至会起消极作用。教学中,教师要讲清楚自己当时的思考过程和想法,在思考中学会反思,学会提出问题、解决问题。知识本身并不重要,通过数学教学,让学生追问数学上的为什么,养成科学的思维习惯才是最重要的。知识都是相互联系的,课堂上教师常会重复以前的知识,这时候学生应努力找到新旧知识的联系,这样学习数学就变得简单而有趣了。