一道力学题的两种数理巧解

李 力 肖光绪

(1. 重庆市清华中学,重庆 400054; 2. 重庆市木洞中学,重庆 401338)

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一道力学题的两种数理巧解

李 力1肖光绪2

(1. 重庆市清华中学,重庆 400054; 2. 重庆市木洞中学,重庆 401338)

图1

题目.如图1,在水平桌面上放置正方形木板abcd,木板上放一个质量为m的物块.现以dc边为轴将木板缓慢向上转动角度θ1,再以bc边为轴将木板缓慢向上转动角度θ2,设转动过程中木块始终未在木板上滑动,求两次转动后,木块受到的静摩擦力大小.

图2

方法1:以图1中c点为原点O,cd、cb方向以及竖直向上分别为x轴、y轴与z轴正向,建立如图2所示的空间直角坐标架O-xyz.第1次绕x轴(即cd边)转动θ1,生成坐标架O-x1y1z1,第2次绕y1轴(即cb边)转动θ2,生成坐标架O-x2y2z2.由于平面总垂直于它的法向量,从而Ox2y2面(即两次转动后的木板)和Oxy面(即水平桌面)之间的夹角α等于z2轴与z轴的夹角.

众所周知,任一单位向量可以表示为e=icosα+jcosβ+kcosγ,其中α,β,γ是e分别与x轴、y轴与z轴的夹角,cosα,cosβ,cosγ称之为方向余弦.[4]据此,不难写出如下变换式:

i1=i,

jcosθ1+ksinθ1.

-jsinθ1+kcosθ1.

-isinθ2+(-jsinθ1+kcosθ1)cosθ2.

注意到i·k=j·k=0,k·k=1,所以有

cosα=k2·k=[-isinθ2+(-jsinθ1+

kcosθ1)cosθ2]·k=cosθ1·cosθ2.

方法2:第1次绕cd旋转后,重力对平板的正压力(相当于平板的法向量)为mgcosθ1(另一分力mgsinθ1在平板上);第2次绕bc旋转后,mgsinθ1仍然平行于平板,而mgcosθ1垂直于此时平板的分力则为(mgcosθ1)cosθ2,此即重力对平板最终的正压力.设最终平板平面与水平面的夹角为α,则平板最终所受正压力也可表示为mgcosα,两相比较即得cosα=cosθ1cosθ2.

1 熊志权.物理原来不能这样考[M].成都:西南交通大学出版社,2012:116-119.

2 黄照欣.这道“小题”确实不可小看[J].物理教学探讨,2005(1):35.

3 郝双.数理同解一道力学题[J].数理天地(高中版),2004(6):42.

4 吴光磊,田畴.解析几何简明教程(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2010:6.

2016-10-08)