导数的概念及其运算

沈辉　管秀娟

导数进入高中数学教材后，作为分析解决问题的一个重要工具，给函数问题注入了生机和活力，开辟了解题的新视觉、新途径和新方法，拓宽了高考对函数问题的命题空间. 其中，利用导数的定义、几何意义及其运算法则解决相关问题，已成为高考命题中的重要考点. 然而，在平时的学习中，由于这部分内容比较基础、简单，同学们往往对其相关概念及运算法则不太重视，与之相关的错误时有发生. 下面就导数的概念及其运算的常考题型做一些归纳和探讨，以供借鉴.

利用导数的定义求函数的导数

例1 利用导数的定义求函数[f（x）=1x+2]的导数.

解析 因为Δy=f（x+Δx）-f（x）

=[1x+Δx+2-1x+2=][-Δx（x+Δx+2）（x+2）]，

所以[ΔyΔx]=[-Δx（x+Δx+2）（x+2）Δx]

=[-1（x+Δx+2）（x+2）].

所以y′=[limΔx→0ΔyΔx=limΔx→01（x+Δx+2）（x+2）]

=[-1（x+2）2].

點评 利用定义法求函数的导数时，要紧扣导数的定义，分三个步骤求解. 即一差，求函数的改变量[Δy=f（x+Δx）-f（x）]；二比，求平均变化率[ΔyΔx=f（x+Δx）-f（x）Δx]；三极限，取极限，得导数[y′=f（x）=limΔx→0ΔyΔx]. 这种求解方法可简记为“一差、二比、三极限”. 当然，后面学习的导数公式及运算法则比用导数公式法求函数的导数更简洁.

利用导数的定义求极限

例2 已知函数f（x）在[x0]处的导数为[23]，求[limΔx→0f（x0+3Δx）-f（x0）Δx]的值.

解析 因为[limΔx→0][f（x0+3Δx）-f（x0）Δx]

=[limΔx→0][[3?f（x0+3Δx）-f（x0）3Δx]]

=[3limΔx→0][[f（x0+3Δx）-f（x0）3Δx]]

=3[f（x0）]，

又函数f（x）在[x0]处的导数为[23]，

所以[limΔx→0f（x0+3Δx）-f（x0）Δx=3×23=2.]

点评 任何模块的知识都是以基本的定义作为基础的，导数的定义也不例外. 本题中所求的极限与导数的定义式极为相似，故可以考虑利用导数的定义进行求解. 这里解决问题的关键是熟练掌握定义的本质属性，把握其内涵和外延，对所求极限的表达式进行恰当地变形，将其配凑成[f（x0）]=[limΔx→0][f（x0+Δx）-f（x0）Δx]或[f（x0）]=[limΔx→0][f（x）-f（x0）x-x0]的形式.

利用导数的定义求瞬时速度

例3 已知一物体运动方程为（位移：m，时间：s）：[s=3t2+2， t≥3，29+3（t-3）2，0≤t<3.]

求：（1） 物体在t∈[3，5]内的平均速度；

（2）物体的初速度[v0]；

（3）物体在t=1时的瞬时速度.

解析 （1）因为物体在t∈[3，5]内的时间变化量为

[Δt=5-3=2]，

物体在t∈[3，5]内的位移变化量为

Δs=3×25+2-（3×9+2）=48.

∴物体在t∈[3，5]内的平均速度为

[ΔsΔt=482=24m/s].

（2）求物体的初速度[v0]，即求物体在t=0时的瞬时速度.

∵物体在t=0附近的平均变化率为

[ΔsΔt]=[f（0+Δx）-f（0）Δx]

=[29+3（0+Δx-3）2-29-3（0-3）2Δx]

=[3Δt-18]，

∴物体在t=0处的瞬时变化率为

[limΔt→0][ΔsΔt]=[limΔt→0][（3Δt-18）]=-18m/s，

即物体的初速度[v0]为-18m/s.

（3）物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率.

∵物体在t=1附近的平均速度为

[ΔsΔt]=[29+3（1+Δx-3）2-29-3（1-3）2Δx]=[3Δt-12]，

∴物体在t=1处的瞬时速度为

[limΔt→0][ΔsΔt]=[limΔt→0][（3Δt-12）]=-12m/s，

∴物体在t=1处的瞬时速度为-12m/s.

点评 定义是反映事物本质属性的最基本的思维形式，本题是运用导数的定义解决物理问题的典型例题. 物体在某一时刻附近的平均速度[v]（即平均变化率），当时间改变量[Δt]趋向于0时的极限值，即为瞬时速度，也就是位移对时间的导数，这是导数定义的物理意义. 另外也要注意到速度对时间的导数，即为加速度，这是导数定义的另一物理意义. 因此，学科间知识的融合应引起我们足够的重视.

利用导数公式及运算法则求导数

例4 已知f1（x）=sinx+cosx，记f2（x）=[f1（x）]， f3（x）=[f2（x）]，…，fn（x）=[fn-1（x）]，n∈N*，n≥2，求[f1（π2）]+f2[（π2）]+…+f2016[（π2）]+f2017[（π2）]的值.

解析 由题意得，f2（x）=f1′（x）=cosx-sinx，

f3（x）=（cos x-sin x）′=-sinx-cosx，

f4（x）=（-sin x-cos x）′=-cos x+sin x，

f5（x）=sinx+cos x，

f6（x）=cosx-sinx，

…

以此类推，可得出fn（x）=fn+4（x）.

又∵f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）

=2sinx+2cosx-2sinx-2cosx=0，

∴f1[（π2）]+f2[（π2）]+…+f2016[（π2）]+f2017[（π2）]

=504[f1[（π2）]+f2[（π2）]+f3[（π2）]+f4[（π2）]]+f1[（π2）]

=f1[（π2）]=sin[π2]+cos[π2]=1.

点评 利用基本初等函數的导数公式和导数四则运算法则求导数时，应根据所给函数的特征，准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再恰当选择公式并利用运算法则求解. 对不具备求导法则的结构形式要适当恒等变形，转化为易于求导的结构形式，再求导数. 最近几年对导数运算的考查大都以小题形式出现，且往往与其他知识点交汇. 求导、列举、找规律是解决这一类问题的常见思路.

逆用导数的运算法则解题

例5 设函数[f（x）]，[g（x）]分别是定义在[R]上的奇函数和偶函数，当[x<]0时，[f（x）g（x）+][f（x）g（x）>0]，且[g（-3）=0]， 求不等式[f（x）g（x）<0]的解集.

解析 由[f（x）g（x）+f（x）g（x）>0]得，

[[f（x）g（x）]′]>0.

令[F（x）=f（x）g（x）]，

则[F（x）]在[（-∞，0）]上是单调函数.

又因为函数[f（x）]，[g（x）]分别是定义在[R]上的奇函数和偶函数，

所以[F（x）]是奇函数.

故[F（-3）=-F（3）=][-f（3）g（3）=0].

结合[F（x）]的草图可得，不等式[f（x）g（x）]<0的解集为[xx<-3，或0

点评 在利用导数公式和求导法则求导数时，不仅要注意导数运算公式和法则的灵活运用，还要特别注意导数运算法则的逆用. 因为这不仅能使我们进一步巩固对运算法则的理解，而且还能培养发散思维. 本题解题的关键在于：对已知条件的深入挖掘，可联想到逆用乘法运算法则得到[f（x）g（x）+][f（x）g（x）]=[[f（x）g（x）]]，进而利用构造法解题. 当然，还应特别注意数形结合思想在解决函数问题中的特殊作用.

利用导数的几何意义求切线的斜率

例6 已知曲线y=f（x）=[13x3+43].

（1）求曲线y=f（x）在点[P]（2，4）处的切线方程；

（2）求曲线y=f（x）过点[P]（2，4）的切线方程；

（3）求满足斜率为1的曲线的切线方程.

解析 （1）由y=f（x）=[13x3+43]得，[f（x）]=[x2].

又由题意知，[P]（2，4）为切点，

[∴]曲线y=f（x）在点[P]（2，4）处的切线的斜率k=[f（2）=4].

故曲线y=f（x）在点[P]（2，4）处的切线方程切线方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0.

（2）由题意知，[P]（2，4）在曲线上，但点[P]可能是切点，也可能不是切点.

可设曲线y=f（x）=[13x3+43]与过点[P]（2，4）的切线相切于点A（[x0，13x03+43]），

则切线的斜率k=[f（x0）=x02].

[∴]曲线y=f（x）过点[P]（2，4）的切线方程为[y-（13x03+43）=x02（x-x0）]，即[y=x02x-23x03+34]（*）.

又点[P]（2，4）在切线上，

[∴][4=2x02-23x03+34]，

即[x03-3x02+4=0.]

[∴x03+x02-4x02+4=0.]

[∴x02（x0+1）-4（x0+1）（x0-1）=0.]

[∴（x0+1）（x0-2）2=0].

解得，[x0=-1]，或[x0=2].

将[x0]代入式（*）中得，y=4x-4，或y=x+2，

即所求切线方程为4x-y-4=0，或x-y+2=0.

（3）设切点为B（[x1，y1]），

故切线的斜率k=[f（x1）=x12]=1，解得，[x1=±1].

故切点为[（1，53）]，[（-1，1）].

故所求切线方程为[y-53=x-1]，或[y-1=x+1]，

即3x-3y+2=0，或x-y+2=0.

点评 一般地，对于求过定点[P]的曲线的切线方程问题，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，解题的关键是要弄清题目中的定点[P]是不是切点. 这里特别需要注意的是“曲线在点[P]处的切线”不等价于“曲线过点[P]的切线”. “曲线在点[P]处的切线”是指过点[P]且以[P]为切点的切线，从而[P]必须在曲线上；而“曲线过点[P]的切线”则不一定以[P]为切点，点[P]也不一定在曲线上. 当点[P]在曲线上时，点[P]可以是切点，也可以不是切点；当点[P]不在曲线上时，点[P]不可能是切点，此时一般利用本题中第（2）问的求解方法，设出切点并利用方程思想求解.

从以上几个例题可以看出，导数的定义及其运算在数学解题中的应用是十分广泛的. 因此，我们在平常的学习过程中一定要加强对导数的定义及其运算法则的学习， 注重对导数的定义及其运算法则、几何意义的理解， 真正做到融会贯通.