突扩式水跃跃长的计算公式推导与验证

傅铭焕，卢志男，惠祥明，郑 艳，孙培学

(浙江省水利水电勘测设计院，杭州 310002)

突扩式水跃跃长的计算公式推导与验证

傅铭焕，卢志男，惠祥明，郑 艳，孙培学

(浙江省水利水电勘测设计院，杭州 310002)

水跃长度为突扩式消力池设计的重要参数，对消力池安全稳定以及经济合理的影响效果显著。通过建立水跃区水体质点的运动方程，研究突扩式消力池水跃跃长的变化规律。提出了突扩式水跃跃长的半理论公式，并用已有文献的实测数据对其进行验证。研究表明：突扩式消力池水跃长度是跃前断面弗劳德数、跃前断面平均水深、水跃共轭水深比和消力池突扩比的函数，并随着跃前断面弗劳德数、跃前断面平均水深和水跃共轭水深比的增大而增大。结果显示，公式计算的突扩式水跃长度平均误差为4.32%，在5种体形共48组工况下只有5组工况的水跃长度相对误差>10%，且最大相对误差为-12.52%，其余工况下相对误差均<10%。

突扩式消力池；突扩比；运动方程;水跃跃长；计算公式

1 研究背景

突扩式水跃是指闸下出流的水体从较窄的宽度突然三维扩散到较宽宽度时形成的空间水跃，常见于多孔水闸和泵闸结合的水利枢纽中。由于突扩式水跃的复杂性，其水力特性的研究远没有一般二元水跃研究深入和透彻。

Rajaratnam等[1-3]试验研究了突扩式水跃的水力特性，并将其分为远驱水跃(R型水跃)和稳定水跃(S型水跃)。研究发现，突扩式消力池急流水流向两侧突然扩散过程中，能显著降低水跃跃后水深，减小水跃长度，较一般二元水跃具有更好的消能效果。Hasan等[4]、卢士强[5]、Hager[6]通过列水跃区水体的动量方程从理论上研究了突扩式水跃的跃后水深，结合各自试验给出了突扩式水跃跃后水深的半理论公式。结果表明，突扩式水跃跃后水深是跃前断面弗劳德数和消力池突扩比的函数。文献[5]和文献[6]虽给出了水跃长度计算的经验公式，但由于水跃的紊动特性，目前尚未有学者提出突扩式水跃跃长的理论计算方法。

詹明安等[7]、吴宇峰等[8]通过追踪水跃区水体质点的运动方程，分别研究了平底二元水跃和渐扩散水跃的水跃长度，获得了很好的效果。

笔者试图通过突扩式消力池水跃区水体质点的运动方程，探索其水跃跃长理论计算的可行性，为工程设计提供技术支撑。

2 公式推导

水流从急流到缓流的过渡过程中，上下游水流存在压力差使得水体向上跃起形成回流，而闸下水流由较窄溢洪道突然扩散到较宽溢洪道时，边壁水流与壁面发生脱离，主流沿其流动的垂直方向发生扩散，并在扩散区形成回流。假定当突扩式水跃稳定时，边壁回流区水体同主流水体不产生质点交换，主流区中线水流质点仍服从二元流特性。同时，由于下游的突然扩散，额外作用于水流质点竖直方向上的加速度为kβf(k为常数)，则突扩式水跃水体质点的受力情况如图1所示。

图1 突扩式水跃示意图Fig.1 Sketch of abruptly expanding hydraulic jump

图1中：b为上游消力池宽度；B为下游消力池宽度；h1，h2分别为跃前断面和跃后断面平均水深；v1，v2分别为跃前断面和跃后断面平均流速；Lj为水跃长度；g为重力加速度；β=B/b为突扩式消力池扩散比；f为一般二元消力池水流向上跃起的加速度。

水跃区水体质点在竖直方向y上的运动方程为

(1)

式中:t为水跃区水体质点从跃前断面往跃后断面运动的时间；y为水体质点在t时间内在竖直方向上运动的距离。坐标原点位于跃前断面水体表面，假设此处水体质点速度方向为主流方向，即与图1中x轴同向。

对式(1)求不定积分可得：

(2)

(3)

式中c1，c2为积分常数。

假设在t=0时，水体质点位于坐标轴原点，则

(4)

将式(4)代入式(2)和式(3)，可得c1=0，c2=0，则式(3)可化简为

(5)

根据总流方程，假定流量Q=v1bh1=vxB(h1+y)=vxβb(h1+y)。其中vx为水体质点流经x断面处的断面平均流速。假定水体质点运动至x断面时，在x轴方向上的瞬时速度正比于该断面的平均流速，可得

(6)

式中a为流速系数。

将式(5)代入式(6)，并对其推导可得

(7)

(8)

式(8)整理可得

(9)

根据假定，t=tj时，水体质点从原点运动至跃后断面水面处，此时y=h2-h1。将其代入式(5)得

(10)

将式(10)代入式(9)，即

(11)

式(11)整理得

(12)

(13)

卢士强[5]试验研究了6种不同突扩比体形下突扩式水跃(稳定水跃)的变化规律，突扩比β分别为1(不扩散)，1.2, 1.5, 2, 3, 5。将突扩比β=1体形下共10种工况的实测数据代入式(13)，可求得A。研究表明10种工况下A的变化幅度较小，取其平均值为A=5.487 5。当β=1时，消力池没有扩散，所以kβ=0，故可求得流速系数a，即

则

(14)

将式(14)代入式(12)可得

(15)

图2 参数D随消力池突扩比β的变化Fig.2 Variation of parameter D with abrupt expanding ratioβ of stilling basin

将文献[5]其余5种体形下的工况代入式(15)，则各体形下计算所得D的平均值见图2。

由图2可知，相对加速度函数D与消力池突扩比β近似呈线性关系。

对其进行拟合可得

D=1.330 3β-0.349 3 。

(16)

将式(16)代入式(15)，即

(1.330 3β-0.349 3) 。

(17)

上式即为突扩式水跃跃长的计算公式，公式的适用范围为1≤β≤5，2.76

一般情况下，突扩式水跃跃后条件往往是未知的，这给用式(17)求解突扩式水跃跃长带来困难。笔者研究过突扩式水跃跃后水深的计算方法，提出了跃后水深的计算公式，即

(18)

式中ω为消力池突扩断面处下泄水流与边墙的夹角。

用式(17)和式(18)联合求解，可获得突扩式水跃的水跃长度。

3 验 证

用式(17)和式(18)联合求解文献[5]中5种体形下各试验工况的水跃长度，计算结果见表1。由表1可以看出式(17)和式(18)联合求解的突扩式水跃长度平均误差为4.32%，在5种体形共48组工况下只有5组工况的水跃长度相对误差>10%，且最大相对误差为-12.52%，其余工况下相对误差均<10%，可见式(17)和式(18)计算的突扩式水跃跃长精度很高。

4 结 语

本文假定突扩水跃稳定状态时，边壁回流区水体同主流水体不产生质点交换，主流区中线水流质点仍服从二元流特性，边墙突然扩散额外作用于水流质点竖直方向上的加速度为kβf。在此假设基础上，通过追踪水跃区水体质点的运动方程，推求突扩式消力池水跃跃长的理论计算方法，并用文献[5]的实测资料对公式中各参数进行验证。结果表明，突扩式消力池水跃长度是跃前断面弗劳德数、跃前水深、跃后水深和消力池突扩比的函数。在1≤β≤5，2.76

表1 水跃长度比较Table 1 Comparison of length of hydraulic jump

[1] RAJARATNAM N, SUBRAMANYA K. Hydraulic Jumps below Abrupt Symmetrical Expansions[J].Journal of the Hydraulics Division,1968, 94(2):481-504.

[2] BREMEN R，HANGER W H. T-jump in Abruptly Expending Channel [J]. Journal of Hydraulic Research，1993，31(1)：61-78.

[3] ZARE H K，BADDOUR R E. Three-dimensional Study of Spatial Submerged Hydraulic Jump[J]. Canadian Journal of Civil Engineering，2007，34(9)：1140-1148.

[4] HASAN M R， MATIN M A. Experimental Study for Sequent Depth Ratio of Hydraulic Jump in Horizontal Expanding Channel[J]. Journal of Civil Engineering (IEB)，2009，37 (1)：1-9.

[5] 卢士强.两侧突然扩散水跃特性的试验研究[D]. 南京：河海大学，2000.

[6] HAGER W H. Hydraulic Jump in Non-prismatic Rectangular Channels[J]. Journal of Hydraulic Research，1985，23(1)：21-35.

[7] 詹明安，周建国，黄文政.关于水跃跃长的计算[J].人民长江，1990,(3)：18-21.

[8] 吴宇峰，伍 超，刘小兵.渐扩散水跃跃长的研究[J].水科学进展，2007，18(2)：210-215.

(编辑：占学军)

Deduction and Verification of the Calculation Foumula for Lengthof Abruptly Expanding Hydraulic Jump

FU Ming-huan,LU Zhi-nan, HUI Xiang-ming, ZHENG Yan, SUN Pei-xue

(Zhejiang Design Institute of Water Conservancy and Hydro-electric Power, Hangzhou 310002，China)

As an important parameter for the design of abruptly expanding stilling basin, length of hydraulic jump has remarkable effect on the safety, stability and economy of the stilling basin. The variation of length of hydraulic jump in abruptly expanding stilling basin was researched through establishing motion equations of flow particle in hydraulic jump zone. Furthermore, a half-theoretical formula for the hydraulic jump length was put forward and measured data from existed literatures was employed to verify the formula. Result shows that the length of hydraulic jump is the function of four parameters, namely upstream Froude number, upstream mean flow depth, conjugate water depth ratio and abrupt enlargement ratio. With the increase of the four parameters, the length of hydraulic jump increases. The mean error of length of hydraulic jump calculated by the proposed equation is 4.32%. Among 48 working conditions of five patterns, the relative errors of only five conditions exceed 10%, with the maximum value of -12.5%.

abruptly expanding stilling basin; abrupt enlargement ratio; motion equations; hydraulic jump length; calculation foumula

2016-01-27；

2016-02-19

傅铭焕(1989-)，男，浙江杭州人，硕士，主要从事水工水力学方面的研究，(电话)0571-87925193(电子信箱)fuminghuan2007@163.com。

10.11988/ckyyb.20160088

2017,34(4):48-51

TV135.2

A

1001-5485(2017)04-0048-04