低轨道下运行的卫星-太阳帆板系统的刚-柔-热耦合动力学建模

左亚帅， 刘锦阳

(上海交通大学 船舶海洋与建筑工程学院，上海　200240)

低轨道下运行的卫星-太阳帆板系统的刚-柔-热耦合动力学建模

左亚帅， 刘锦阳

(上海交通大学 船舶海洋与建筑工程学院，上海200240)

传统地考虑热效应的卫星-太阳帆板动力学模型只考虑太阳直接辐射热流的影响，仅适用于高轨道运行的航天器。以低轨道下运行的卫星-太阳帆板系统为研究对象，提出了一种通用的分析其在宇宙空间各种热流作用下刚-柔-热耦合动力学特性的建模方法。考虑太阳帆板热变形、卫星的姿态运动和太阳帆板受到的各种辐射的热流密度之间的耦合关系，分别给出了太阳直接辐射热流、地球红外辐射热流以及地球反照辐射热流的计算公式。将系统视为中心刚体-悬臂梁模型，首先建立了悬臂梁的热传导方程，然后通过引入考虑热应变的应力-应变关系，用虚功原理建立了卫星-太阳帆板多体系统的考虑热效应的动力学方程，对热传导方程和动力学方程联立求解。对低轨道下运行的卫星-太阳帆板系统进行了数值仿真分析，分析了考虑地球红外辐射和地球反照辐射热流对热振动的影响，以及考虑刚-柔-热耦合效应对系统动力学特性的影响，并给出了系统热振动稳定时特征参数的范围。

低轨道卫星-太阳帆板；刚-柔-热耦合动力学；热振动

航天器在轨运行时，不断地受到宇宙空间各种热流(主要是太阳直接辐射、地球反照辐射以及地球红外辐射)的作用，由于太阳帆板上下表面接收到的热流密度不同，太阳帆板表面及内部产生不均匀的温度分布，随着航天器的位置变化，这些热流的大小也发生周期性的变化，导致太阳帆板表面及内部温度场也不断发生改变，从而使太阳帆板内部产生随时间变化的热应力。在内部热应力的作用下，太阳帆板产生持续的热变形及热振动，同时引起航天器的姿态变化，有可能导致航天器失稳，无法完成既定的任务，甚至产生结构破坏，造成严重危险。

秦文波等[1]采用有限差分法对某刚性卫星太阳帆板进行热分析，通过数值求解得到了刚性太阳帆板表面的温度场分布，及其随时间的变化情况；LI等[2]在对复合材料太阳帆板阵进行研究时，考虑了轨道高度、地球阴影区等因素的影响，采用有限元法，得到了卫星在不同轨道高度下运行过程中，太阳帆板的全域温度场及其时变情况。虽然他们的研究都考虑了太阳直接辐射热流、地球红外辐射热流以及地球反照辐射热流的综合作用，但是由于研究对象是刚性太阳帆板，因而他们都没有考虑到太阳帆板的热变形和热流密度之间的耦合效应。乔博[3]利用软件Marc2003分析了某柔性复合材料太阳帆板在各种空间热流作用以及其他因素的影响下的温度场分布规律，为结构分析提供了参考依据。孔祥宏等[4-6]在研究航天器柔性附件时，采用热-结构解耦方式求解，得到了航天器运行全周期内结构的温度场分布以及变化情况，将温度场变化情况输入到结构计算有限元程序中，得到了结构的动态响应，并进行了仿真分析。JOHNSTON等[7-8]采用混合坐标法，推导了太阳帆板的热振动方程，通过数值计算得到了太阳帆板自由端的端点的热变形，进而又研究了太阳帆板的热扰动对卫星运动的影响；薛明德等[9-12]在研究简单的hub-beam耦合系统时，建立了中心舱体-外部活动部件的中心刚体-悬臂梁模型，采用有限元分析方法，建立了由柔性附件的热-结构耦合的瞬态热传导方程以及航天器中心刚体-悬臂梁的刚-柔耦合动力学方程组成的刚-柔-热耦合的系统方程，通过数值分析，揭示了系统的热振动现象，虽然他们在研究过程中考虑了卫星-太阳帆板的刚-柔-热耦合效应，但是热分析都只考虑了太阳直接辐射热流，没有考虑地球红外辐射热流以及地球反照热流的影响。

本文以低轨道下运行的卫星-太阳帆板系统为研究对象，假定卫星太阳帆板始终对日定向，综合考虑太阳直接辐射热流、地球红外辐射热流以及地球反照辐射热流的影响，考虑系统的热变形和热振动与热流之间的耦合效应，采用中心刚体-悬臂梁模型，通过将系统的热传导方程与动力学方程联立，建立系统的刚-柔-热耦合模型，进而揭示了系统的热振动现象；通过数值计算，给出了耦合效应以及除太阳直接辐射热流以外的地球红外辐射热流和地球反照辐射热流的影响，热振动稳定时，卫星中心刚体与太阳帆板转动惯量之比、太阳帆板初始姿态角以及太阳帆板阻尼系数之间的关系。

1　宇宙空间热流计算

图1为地球阴影区划分示意图，P表示卫星所处位置，PA相切太阳于A点，PB相切地球于B点γ1、γ2、γ3意义如图所示。图2标注了卫星运行到某一位置时与热流计算相关的角度，αθ表示太阳帆板表面法线与阳光负方向的夹角，β表示太阳帆板表面法线与星地连心线的夹角。根据卫星所处区域的不同，太阳帆板表面单元dA接受到的太阳直接辐射热流角系数ψ1，地球红外辐射热流角系数ψ2以及地球反照辐射热流角系数ψ3[13]可表示如下

(1)

(2)

(3)

如图3所示，建立卫星-太阳帆板的中心刚体-悬臂梁模型。取卫星太阳帆板对日定向、初始姿态角为零时中心刚体的连体基o-xy为参考基，卫星中心刚体为刚体Ⅰ，建立连体基O1-x1y1，两块太阳帆板取为刚体Ⅱ和Ⅲ，并建立浮动基O2-x2y2和O3-x3y3。φ为卫星与地心连心线和日地连心线的夹角(表征卫星所处轨道位置)，θ2为太阳帆板Ⅱ的浮动基相对参考基的转角，θ3为太阳帆板Ⅲ的浮动基-x相对参考基的转角。

图1　轨道阴影区示意图Fig.1 Shadows of the earth

图2　卫星运行过程示意图Fig.2 Illumination of the satellite in orbit

图3　卫星-太阳帆板刚-柔-热耦合模型Fig.3 Rigid-flexible-thermal coupling modelof satellite-solar panel system

(4a)

太阳帆板Ⅲ下表面(y3=-h/2)热流计算相关角度为

(4b)

同理可得太阳帆板Ⅱ上下表面热流计算相关角度。为方便起见，本文后续仿真分析均以太阳帆板Ⅲ为准。

太阳帆板表面接受到的净热流为吸收到的宇宙空间热流与自身向外辐射的热流之差，即：

(5)

式中，αi为该表面的吸收率，S0为太阳辐射常数，ρE为地球表面平均反照率，εE为地球表面发射率，TE为地球表面平均温度，σ为史蒂芬玻尔兹曼常数，εi为该表面的发射率，Ti为该单元表面的温度。

2　有限元离散热传导方程的建立

热传导方程及其边界条件的等效积分形式为

(6)

式中：ρ为材料密度；c为材料的比热容；kx，ky为材料x，y方向的热传导系数；Qt为材料内热源强度；nx,ny为边界外法线在x,y方向上的投影，h为材料的对流换热系数，Ta为环境温度；Γ2对应第二类边界条件的表面；Γ3对应第三类边界条件的表面。

对于本文研究采用的柔性梁模型，将梁上任一点的温度沿y方向进行泰勒展开：

(7)

式中，Tr为参考温度，T0(x,t)表示梁中线上的点的温度分布，T(k)(x,t)表示中线上的点的温度在y方向上的k阶导数。

采用一致质量法对柔性梁进行有限元离散，将柔性梁等分为N个单元，则梁上任一点的第k阶温度导数可表示为

(8)

式中，Sek为单元形函数矩阵，Bek为布尔矩阵。

将式(7)，(8)代入式(6)，热传导方程的等效积分形式化为如下形式：

(9)

式中，Cij，Kij，Fi的具体表达式见文献[14]。

因此，可得柔性平面梁的有限元离散热传导方程为

(10)

卫星在太空中运行时,处在高真空的环境下，热辐射为太阳帆板接收到的主要外热流，热对流可以忽略不计，即h+=h-=0，太阳帆板本身无内热源，故Qt=0，而q+,q-可以由式(5)得到。

3　卫星-太阳帆板系统动力学方程

本文采用的平面柔性梁模型基于以下假设：①欧拉-伯努利梁，材料各向同性均匀，截面处无偏心距，变形后的截面仍垂直于梁的中面，梁为小变形；②太阳帆板弹性模量在研究过程中不随温度变化而变化(太阳帆板温度变化不大，影响可以忽略)。

图4　作大范围平面运动的柔性梁模型Fig.4 Model of the flexible beam in large overall motion

(11)

式中：A为柔性梁的横截面积；L为柔性梁的长度；I为柔性梁对中面的惯性矩。

对于离散化的柔性梁，中线上任意一点的伸长量及横向变形位移可用下式表示：

(12)

δWE=δpT(-KEp+FT)

(13)

其中，

(14)

(15)

由Jourdain速度变分原理，可得单平面梁Bi的动力学变分方程：

(16)

式中，Mi为广义质量阵，Qi为广义力阵，可表示为Qi=Qii+QiF+[0T(-KiEqi+FiT)T]T,其中，Qii表示离心力和哥氏惯性力项之和，QiF表示外力引起的广义力阵。Mi，Qii和QiF表达式见参考文献[9]。

对于本文选取的卫星-太阳帆板所系统，如图3所示，选取系统广义坐标阵为：

式中φi表示刚体姿态角。

引入拉格朗日乘子λ，利用第一类拉格朗日方程增广形式，将系统约束方程引入，得到考虑刚-柔-热耦合效应的系统的动力学方程：

(17)

4　数值仿真及分析

本文所采用的卫星及太阳帆板的参数如下：太阳帆板长度L=7.5 m，假定横截面为均匀的矩形，横截面的宽B=0.02 m，高度H=0.02 m，密度ρ=36.8 kg/m3，弹性模量E=1.93×109Pa，热膨胀系数αT=2.3×10-5K-1，斯特潘玻尔兹曼常数σ=5.670×10-8W/(m2·K4)，比热容c=921 J/(kg·K)，热传导系数kx=ky=15 W/(m·K)，卫星中心刚体回转半径取为RC=1 m，太阳帆板表面的吸收率α=0.79，太阳帆板面向太阳的一面的发射率ε1=0.81，太阳帆板背向太阳的一面的发射率ε2=0.86，地球半径RE=6.4×106km，地球表面发射率εE=0.7，地球表面反射率ρE=0.3，地球表面温度TE=289 K，日地距离RSE=1.496×1011m，太阳半径RS=6.963×103m，太阳辐射常数S0=1 350 W/m2。计算所取的温度场的泰勒展开式的阶数m=3，太阳帆板限元离散单元数取为N=10。

4.1综合热流仿真分析

如图5 所示，横坐标表示卫星所处轨道位置，纵坐标表示太阳帆板表面接受到的热流密度，图(a)表示只有太阳辐射热流时的作用结果，图(b)表示太阳直接辐射热流、地球反照辐射热流以及地球红外辐射热流的综合作用结果。与只考虑太阳直接辐射的热流情况对比可以发现，在低轨道情况下，地球红外辐射热流以及地球反照辐射热流对卫星太阳帆板对日面影响较小，但是对太阳帆板背日面影响较大，尤其是在会日点附近，影响尤为显著(会日点附近地球反照热流影响明显)。因而，研究过程中，需要考虑地球红外辐射热流以及地球反照辐射热流的综合影响。

(a)综合热流

(b)太阳直接辐射热流

4.2耦合效应对于太阳帆板热变形的影响

如图6所示，卫星处于φ=0°，初始姿态角φ=20°，太阳帆板阻尼系数ζ=0.4×10-3，转动惯量之比η=200(无量纲量η=Jc/J表示卫星中心刚体与太阳帆板的转动惯量之比)时，耦合和非耦合(热流密度不随太阳帆板热变形和卫星的姿态的变化而变化)时卫星热运动情况对比。由图可知，不考虑耦合效应时，太阳帆板上下表面温度差、太阳帆板端点挠度、中心刚体相对初始姿态角的改变量以及中心刚体角速度均趋于稳定值，而考虑刚-柔=热耦合效应时，以上变量均趋于不稳定。由于太阳帆板产生热变形的根本原因是内部热应力的作用，而热应力是与太阳帆板内部温度差直接联系的， 因此，在考虑刚-柔-热耦合效应时，内部温度差失稳是导致太阳帆板热振动失稳的根本原因。

图6　考虑耦合效应与否对比Fig.6 Comparison of the results obtained by coupling and non-coupling models

4.3综合热流与太阳直接辐射热流影响对比分析

如图7所示，表示卫星处于φ=0°，初始姿态角φ0=20°，太阳帆板阻尼系数ζ=0.67×10-3，中心刚体与太阳帆板转动惯量之比η=200时，只考虑太阳直接辐射热流与考虑综合热流的卫星热运动情况对比。由图可知，在此种参数下，只考虑太阳直接辐射时，太阳帆板上下表面温度差、太阳帆板端点挠度、中心刚体相对初始姿态角的改变量以及中心刚体角速度均趋于稳定值趋于稳定值，而考虑综合热流影响时，以上变量均趋于不稳定。由此可见，对低轨道运行的航天器，在计算热稳定性区域时有必要考虑地球反照辐射热流以及地球红外辐射热流的影响。

图7　只考虑太阳直接辐射热流与考虑综合热流情况对比Fig.7 Comparison of the results considering only solar heat flux and those considering all the heat flux

4.4系统热振动影响因素分析

针对卫星中心刚体与太阳帆板不同转动惯量之比，研究卫星不同初始姿态角时阻尼系数的稳定性区间，得出以下卫星-太阳帆板热振动的稳定性区间，见图8。

图8　不同转动惯量比的稳定性区间Fig.8 Stable region for satellite of different moment of inertia

图8横坐标表示卫星的初始姿态角，纵坐标表示太阳帆板的阻尼系数，图中曲线表示卫星位于(太阳和地球连心线上)时，中心刚体与太阳帆板转动惯量之比为100、200、300，只考虑太阳直接辐射热流与综合考虑三种热流辐射时太阳帆板热振动的临界阻尼，曲线上方表示太阳帆板热振动稳定性区间。由图可知，卫星初始姿态角越大、太阳帆板阻尼系数越小，中心刚体转动惯量越大，系统稳定性区间越小，越容易发生不稳定热振动；对比只考虑太阳直接辐射热流和综合考虑太阳直接辐射热流、地球反照辐射热流以及地球红外辐射热流的情况可以发现，后者的稳定性区间更大。由图5可知，与只考虑太阳直接辐射热流相比，综合考虑各种热流时太阳帆板对日面和背日面接受到的热流密度之差较小，导致内部温度差变化较小，产生的热应力应变也较小，因而稳定性区间更大。

5　结　论

本文以低轨道下运行的卫星-太阳帆板系统为研究对象，考虑了除太阳直接辐射热流以外的地球红外辐射热流以及地球反照热流的影响，同时考虑了太阳帆板热变形卫星的热振动与热流之间的耦合作用，建立了太阳帆板的有限元离散热传导方程，引入热弹性应力应变关系，利用虚功原理，Jordan速度变分原理，引入系统约束方程，应用拉格朗日第一类方程，建立了系统的考虑热效应的动力学方程。热传导方程包含太阳帆板热变形及卫星热运动相关量，而动力学方程包含太阳帆板温度等热力学参数，因而需要将方程联立求解，即构成了完整的刚-柔-热耦合系统方程。

对某一给定参数的卫星进行仿真计算，首先比较了综合热流与太阳直接辐射热流之间的大小关系，发现相对于太阳直接辐射热流，地球红外辐射热流以及地球反照热流对太阳帆板背日面的影响较大，而对太阳帆板对日面影响不大；进而对卫星热振动稳定性进行了分析，发现在某些情况下，如果不考虑耦合效应或者只考虑太阳直接辐射，将会得出错误的稳定性结论；然后对卫星中心刚体与太阳帆板转动惯量之比、卫星初始姿态角以及太阳帆板阻尼系数的数值仿真分析，得出初始姿态角越小、太阳帆板阻尼系数越大，中心刚体转动惯量越小，系统稳定性区间越大，越不容易发生不稳定热振动。

本文在在研究低轨道下运行的卫星时，相比于前人工作，除了考虑太阳直接辐射热流，还考虑了地球红外辐射热流以及地球反照辐射热流，研究系统的整体运动时，考虑太阳帆板的热变形、卫星的热运动与热流之间的耦合效应，即卫星-太阳帆板的刚-柔-热耦合效应，模型更加接近卫星的实际运动状态，因而提出的建模方法和仿真结果也更加具有工程参考价值。

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Rigid-flexible-thermal coupling dynamic modeling a satellite-solarpanels system in low earth orbit

ZUO Yashuai, LIU Jinyang

(School of Naval architecture, Ocean and Civil Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

In the conventional dynamic modeling for satellite-solar panels systems, for considering the thermal effect, only the heat flux by direct solar radiation is taken into account, which cannot be extended to satellite-solar panels systems in low earth orbit. In the paper, a general modeling method for analyzing the rigid-flexible-thermal coupling dynamic performance of a satellite-solar panels system in low earth orbits was proposed. The expressions for the heat flux of direct solar radiation, earth infrared radiation and reflected solar radiation by the earth were derived considering the coupling relationship among the thermally induced deformation of panels, attitude motion of satellite and the heat flux caused by different kinds of thermal radiations. Assuming the satellite-solar panels system as a hub-beam multibody system, the heat conductive equation of a cantilevered beam was derived, and then by leading in the thermal stress-strain relationship, dynamic equations of the satellite-solar panels system were obtained based on the principle of virtual work. The heat conductive equation and the dynamic equations were solved simultaneously. A simulation analysis of the satellite-solar panels system was carried out to show the influences of the earth infrared radiation and reflected solar radiation by the earth on the thermally induced vibration. In addition, the influence of considering the rigid-flexible-thermal coupling effect on the dynamic performance of the flexible multibody system was revealed. Finally, the stable regions of some parameters affecting the thermally induced vibration were given.

satellite-solar panels in low orbit, rigid-flexible-thermal coupling dynamics, thermally induced vibration

国家自然科学基金资助(11272203；11132007)

2015-09-17修改稿收到日期：2016-02-06

左亚帅 男，硕士，1991年7月生

刘锦阳 女，博士，教授，1964年9月生

O313.7

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.06.006