新说二次函数解析式的求法

【摘要】二次函数的解析式有三种形式，第一种是一般式： ，它反映了二次函数的式子特点；第二种是顶点式： ，它反映了抛物线的对称轴及顶点坐标；第三种是交点式： ，它反映了抛物线与 轴交点的坐标.在具体求二次函数解析式的问题中，怎样选择合适的方法解决问题是需要我们认真思考的，方法选择得好，可以事半功倍.

【关键词】二次函数；解析式；交点型

我们知道，二次函数的解析式有三种形式，第一种是一般式： ，它反映了二次函数的式子特点；第二种是顶点式： ，它反映了抛物线的对称轴及顶点坐标；第三种是交点式： ，它反映了抛物线与 轴交点的坐标.在具体求二次函数解析式的问题中，怎样选择合适的方法解决问题是需要我们认真思考的，方法选择得好，可以事半功倍.

下面，我们通过一个实例来说明如何灵活运用这几种函数形式来解决求二次函数解析式的问题.

引例：若一条抛物线经过点 ， ， ，求此抛物线的解析式.

[分析一]知抛物线上三点求二次函数解析式是非常典型的二次函数问题，很自然我们会想到运用二次函数的一般式，将三点代入得到一个三元一次方程组解之可得.

（法一）解：设所求抛物线解析式为： 则

点 ， ， 在此抛物线上

解之得

故所求抛物线解析式为： .

[分析二]在这个问题中，用一般式求此抛物线解析式是很典型的解法，不过，如果我们仔细看这三个点不难发现，有两个点纵坐标均为2，这个特点是否一定程度反映了此抛物线的一个什么特点呢？我们可以思考一下，要是 、 两点纵坐标是 该有多好呀！那样，我们就可以运用交点式来求此抛物线的解析式了.想到这里，我们可以从动态的角度来看待这个问题，可以看成这条抛物线刚开始经过点 ， ，后又整体向上平移2个单位得到.这样，我们就可以设此抛物线解析式为： ，将 点代入得到 即可.我们试试看能否得到该抛物线解析式.

（法二）解：设此抛物线解析式为： 则

点 在此抛物线上

故所求抛物线解析式为： .

以上解答过程所得到的抛物线解析式与第一种方法得到的解析式是吻合的，说明我们的思考是正确的.

由此，我们可以得到这样一个结论：

若一抛物线经过点 ， ，则可设此抛物线解析式为： .

这一形式的得到是类比交点式得到的，我们不妨称之为交点型.事实上，交点式 是交点型的一种特殊情况，特殊在 .

[分析三]换一个视角，我们知道，每一条抛物线都关于一条对称轴对称，对称体现在哪里呢？事实上，除顶点外，其余点都是成双成对出现的，每对对称点纵坐标均相等，对称轴是每对对称点所连线段的垂直平分线，因此，只要有抛物线上一对对称点，就可以找到对称轴.

在这个具体的问题中，由于点 ， 的纵坐标均为2，显然是一组对称点，如图，连接 ，取线段 的中点 ，由中点坐标公式可得： 点坐标为 ，过点 作线段 的垂线，所得直线 即是所求抛物线的对称轴，恰好 点坐标为 ，说明 点是抛物线与对称轴的交点，由此可见： 点就是所求抛物线的顶点，这样，我们还可以运用顶点式来求此抛物线的解析式.

（法三）解： 点 ， 关于直线 对称

点 是所求抛物线的顶点

设所求抛物线解析式为： 则

点 在此抛物线上

故所求抛物线解析式为： .

通过法三的思考，我们可以得到这样一个结论：

若一抛物线过点 ， ，则此抛物线的对称轴为： .

我们这个问题可以运用顶点式带有一定的偶然性，因为刚好点 就是此抛物线的顶点.有些时候，我们可以运用这个结论快速解决抛物线对称轴的问题，例如：

若一抛物线过点 ， ， ，则此抛物线的对称轴为.

[分析]点 ， 由于纵坐标相等，均为3，故A、B是抛物线上一组对称点，则此抛物线的对称轴为： ，故应填： .

有了这个结论，在这样的问题中就可以快速找到对称轴，省去了求抛物线解析式的麻烦.

通过运用三种方法解决上面知抛物线上三点求抛物线解析式的问题，我们发现：用一般式求抛物线解析式是通法，所有知三点求抛物线解析式的问题均可以用一般式解决，但是，解三元一次方程组时运算量较大，容易出错；当有两点纵坐标相等时，我们就可以采用交点型，将第三点代入确定二次项系数，化为一般式即可，较一般式，计算过程简单得多；至于第三种方法，利用顶点式，由于很偶然，我们只需要掌握如何通过一组对称点快速寻找对称轴即可.

综上可得：在知抛物线上三点求抛物线解析式的问题中，运用一般式求抛物线解析式是通法，当有两点纵坐标相等时，运用交点型可达到事半功倍的效果.

作者简介：姓名：高燕峰，性别：男，民族：汉族，出生日期：1982.1，籍贯：云南陆良，学历：大学本科，单位：云南省安宁市第一中學，职称：中教一级，研究方向：中学数学教学