从“拓展性栏目”到数学文化

徐瑾

摘要：新课程基本理念指出：数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。本文通过人教版高中数学必修1中所配置的“章引言”、“阅读与思考”、“探究与发现”、“实习作业”等学习内容蕴涵的数学文化知识，例举高中数学课堂教学中利用课本素材，挖掘蕴藏在其中的丰富的数学文化资源，渗透数学文化教育的几点想法。

关键词：挖掘；素材；数学；文化

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新课程基本理念指出：数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。数学文化是人类传播思想的一种基本方式。南开大学的顾沛教授认为其内涵有狭义和广义之分。狭义内涵是指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。广義内涵是指除上述内涵以外，还包括数学家、数学史、数学美及数学教育、数学发展中的人文成分、数学和文化的关系。

数学作为一种文化，是教学的重要内容.有着它自己的丰厚的文化渊源。然而多少年来，在学生的心目中，数学就是为了考试而学、枯燥乏味。以往我们的数学教学都是强化知识，过分注重知识的传递，数学技巧的训练，过分强调数学的工具作用，而漠视数学本身所蕴含的鲜活的文化背景，很少将其教学内容当作一种文化来对待。

随着新课标的颁布并实施，这种状况已有很大的改变。新课标明确指出数学是人类文化的重要组成部分，并把“体现数学的文化价值”作为新课程设计的基本理念。数学教育不仅仅是知识的传授、能力的培养，更是一种文化精神的传播，已逐步成为人们的一种共识。数学教学中如何渗透数学文化，使学生在数学学习的过程中体验数学文化，受到文化感染，产生文化共鸣，从而实现数学文化的教育功能，更是引了起大家广泛的关注。

教材是学生学习数学的一种主要的学习资源。人教版高中数学教材内含丰富的数学文化内容。本文以人教版高中数学必修1为例，就高中数学课堂教学中利用课本素材，挖掘蕴藏在其中的丰富的数学文化资源，渗透数学文化教育谈几点想法。

一、从章引言，到数学建模

数学模型是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。

必修1第一章的章头图表现了运载“神舟”五号载人航天飞船的火箭升空，以及“神舟”五号载人航天飞船进入预定轨道后在太空飞行的场景。告诉学生其中包含了一些可以用函数描述的变化规律，如上升过程中飞船离地面的距离随时间的变化而变化，飞船外的温度和气压随飞船与地面的距离的变化而变化，等等。引言中又介绍现实世界中的许多运动变化现象都表现出变量间的依赖关系。数学上，我们用函数模型描述这种依赖关系，并通过研究函数的性质了解它们的变化规律。我们在讲课时要再作进一步的讲解，初步渗透数学建模的思想。

第二章章头图的主图是海底游弋的鱼，配图是一块鱼化石。章引言不仅指出了章头图所蕴涵的数学模型，并且还列举了这些数学模型的其他背景实例，章头图与章引言还说明了数学模型与实际问题之间的关系--任何数学模型都是以大量的具体例子为现实原型的。这样就给出了建模的基本方法，因此，教学时要充分注意从实际例子中观察、抽象概括并建立数学模型，同时，又要注意把数学模型应用到实际问题中去，进一步渗透数学建模的思想。

第三章章头图是一群兔子，给出了一个种群的数量，如果在理想状态下，那么它们将呈指数增长；但在自然状态下，种群数量一般符合对数增长模型。这样，面对不同情况时，如何选择恰当的函数模型描述它们就很重要。我们要教会学生选择模型、应用模型，让学生学会数学建模。

二、从阅读与思考，到数学发展的过程及数学家的魅力

必修1中共有四个阅读与思考，我就它们具体一一说明。

1.集合中元素的个数：在这一部分主要介绍历史上数学的三次危机。

第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊数学家毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯学派，边长为1的正方形的对角线不可度量。第一次数学危机的产物—数域扩充为实数。

第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。第二次数学危机的产物--微积分更完善。

第三次数学危机经过第一、二次数学危机，人们把数学基础理论的无矛盾性，归结为集合论的无矛盾性，集合论已成为整个现代数学的逻辑基础，数学这座富丽堂皇的大厦就算竣工了。看来集合论似乎是不会有矛盾的，数学的严格性的目标快要达到了，数学家们几乎都为这一成就自鸣得意。英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素（1872—1970）宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称“罗素悖论”。 第三次数学危机的产物——数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。 这一过程中还可以介绍说谎者悖论、理发师悖论、阿基里斯追龟、飞矢不动等引起学生的兴趣，让学生了解数学发展的过程。

2.函数概念的发展历程：这段材料主要讲述了函数概念从变量说到对应说的一个简单发展过程，让学生阅读后再简单介绍材料中涉及到的数学家及成果。

主要给学生介绍莱布尼兹与微积分；李善兰与《几何原本》对中西方数学融合做出的贡献；约翰·伯努利及伯努利家族的三代八位数学家；狄利克雷的抽屉原理；欧拉从19岁开始发表论文直到76岁的孜孜不倦，失明后17年里写1400余篇论文的坚毅不拔；高斯3岁能帮爸爸算账、10岁能快速计算出1+2+3+…+100的结果的机智，19岁能给出正十七边形的尺规作图方法的才智，一生对数学的执着。通过这些让学生感受数学和数学家的魅力。

3.对数的发明：这段材料主要介绍对数的发明，给学生再讲述一些纳皮尔的故事如：纳皮尔邻家养的鸽子吃了他的粮食，他感到烦恼。他恫吓邻居道：“如果你再不管好你的鸽子，让它们乱飞，我就要把它们抓起来了。”邻居根本不相信纳皮尔能捉住鸽子，就对他说：“如果你能捉住它们，尽管捉好了。”第二天，邻居看到他的鸽子正在纳皮尔的草坪上摇摇晃晃地走着，而纳皮尔把它们一只只装进大口袋，感到十分惊讶。原来，纳皮尔在草坪上撒上了用白兰地酒泡过的豌豆，醉倒了鸽子。还有一个故事，纳皮尔怀疑他的仆人暗地里偷他的东西，为了找出小偷，納皮尔宣称自己的黑公鸡有识别罪犯的特异功能。随后，他要求仆人按顺序进小黑屋轻拍黑公鸡的背，当然他已私下将黑公鸡涂了一层烟灰。等所有的仆人出门后摊开双手的那一刻，小偷自然原形毕露，因为只有他的手是干净的——不知情的小偷害怕自己的劣迹被发现而不敢触摸那只神奇的“黑公鸡”。 让学生再一次感受数学家的幽默与魅力。

4.中外历史上的方程求解：在这主要介绍我国古代数学家的成就。

约公元50年—100年编成的《九章算术》，就以算法形式给出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的具体方法；公元7世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法；公元11世纪，北宋数学家贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出的“开方作法本源图”，以“立成释锁法”来解三次或三次以上的高次方程式。同时，他还提出了一种更简便的“增乘开方法”；公元13世纪，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“正负开方术”，提供了一种用算筹布列解任意数字方程的有效算法，此法可以求出任意次代数方程的正根。再介绍一些中国古代数学的成绩，让学生感受中国古代数学的魅力，并产生强烈的爱国主义情怀。

三、从探究与发现，到思维过程的展示

必修1的探究与发现是互为反函数的两个函数图象之间的关系，教材以问题串的形式由学生熟悉的两个函数 和 出发，运用所学的数学知识发现这两个函数图象的对称关系，然后推广到同底的指数函数和对数函数的图象的对称关系。

问题1 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数 及其反函数 的图象。你能发现这两个函数图象有什么对称关系吗？

问题2 取 图象上的几个点，如 ， ， ， 关于直线 的对称点的坐标是什么？它们在 的图象上吗？为什么？

问题3 如果点 在函数 的图象上，那么 关于直线 的对称点在 的图象上吗？为什么？

问题4 由上述探究过程可以得到什么结论？

问题5 上述结论对于指数函数 且 及其反函数 且 也成立吗？为什么？

这样将思维过程展示出来，让学生亲自体验发现奥秘的快乐。

四、从实习作业，到体验数学的应用价值

必修1有两个实习作业，一个是以了解函数形成、发展的历史为目的的实习报告，这个作业可以作为十一长假的写作业，让学生自己查找资料，在前面介绍了函数发展的背景下再查一查函数在现实生活中的应用，可以在网上阅读权平健一郎的《函数在你身边》，这样既让学生看到了数学的应用价值又使得抽象的函数具体化、生动化。另一个是牛顿的冷却模型，指导学生设计一个方案，对牛的的冷却模型进行验证。然后在探究以下问题：

1.一杯开水的温度降到室温大约需要多少时间？

2.应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？

3.在寒冷的冬季，是冷水管容易结冰，还是热水管容易结冰？

让学生进一步感知函数就在身边，数学无处不在，体验数学的应用价值。

数学的文化特征不仅仅在于它的历史性和美学价值，凝聚在数学之中的数学思想方法及在应用方面的广泛性，它还包括用数学思维和思考问题的方式和方法。随着课程改革的深入，数学文化将会真正渗透到教材、进入课堂、溶入教学之中，成为数学教学中的重要组成部分。我们在平时的数学课堂教学中在承认和弘扬数学工具价值的同时，更应该看到它的文化价值。要充分挖掘教材中所蕴藏的数学文化的素材，让学生接受它的熏陶。通过渗透数学文化的教育，使学生感受数学文化的魅力，使学生的人格品性的得到教育，使学生的数学素养真正得到提高。

参考文献：

[1]《数学美拾趣》 科学出版社

[2]《情境课程的操作与案例》 教育科学出版社

[3]《数学文化》 人民教育出版社

[4]《数学思维方法》 人民教育出版社

[5]《中学数学名师教学艺术》 华东师范大学出版社