高中三角函数概念建构的思考

杨玉杰

G633.6

在高中数学概念的学习中，有些概念是可以通过与环境的联系来习得的，如大部分基本图形的定义，很容易就能在现实中找到相应的例子，但也有一些数学概念是不能通过这种途径习得的，如高中数学中三角函数的概念，这类概念只能用语言来作出界定，只能依靠高中生门对这些语言的“内涵”与“外延”的理解与学习。这就造成了三角函数概念的抽象性，很多学生包括我在内在角、函数、任意角三角函数等概念的认知上与老师要求的程度还存在不小的差距，同学们普遍反映三角函数的学习很困难，很多学生宁愿使用建立代数函数的方法解决三角形相关问题。可以说，三角函数是高中生数学学习的一个难点。针对这种现象，我结合自自己的学习经验，对造成这种现象的原因进行了分析，并总结了高中三角函数概念的建构方法，希望能对在三角函数概念上有所困惑的同学有所帮助。

一、三角函数的教学难点及其原因

三角函数是高中生接触到的第一个有多对一对应关系的函数，也是高中数学的教学重点之一，更是沟通代数与几何的桥梁。对高中学生而言，三角函数概念的学习存在困难已经成为不可争辩的事实，那么，这些困难具体有哪些方面的表现呢？为此，我对班内的同学们进行了调查，结果表明绝大部分学生都能使用初中学到的锐角三角函数知识解直角三角形，但普遍不理解锐角三角函数的定义，如回答“在直角三角形△ABC中，∠C为直角，则∠A的三角函数是只与∠A有关，还是与Rt△ABC有关？”这个问题时，有接近80%的学生回答与Rt△ABC有关。

为了探讨产生这种现象的原因，我查阅了初中教材上对三角函数的定义。发现在初中数学教材中，三角函数都是在直角三角形中来定义的，利用直角三角形边与边的比来定义锐角的正弦、余弦与正切函数，虽然教材也对高中三角函数的引入进行了一定的铺垫，但从当前高中阶段在三角函数方面的学习效果来看，这些铺垫很显然没有起到多大效果。究其原因，首先是部分初中数学老师们在教学时偏重于对解题的教学，忽视对定义的教学，其次是很多教材在章头问题上存在不少先入为主的影响。在本次调查中，发现能准确理解并掌握三角函数概念的学生，只占了不到班内总人数的20%，有接近50%的学生在三角函数概念的理解上存在不同程度的困难。在调查中，很多学生都谈到了以下两个问题：（1）为何高中教材要用坐标法来定义三角函数概念呢？（2）在用坐标法定义三角函数概念时，为何∠α中边上的点P能够任意选取呢？那么如何帮助同学们建构三角函数这一概念结构呢？为此我积极向老师请教，和同学们探讨，思考出了以下几点采取措施。

二、高中三角函数概念的建构方法

1.复习初中三角函数的定义，建构三角函数的新定义

从复习初中教材入手，有助于激活学生对相关内容的记忆。再利用高中函数观点来解析初中三角函数概念，即“高中三角函数概念是对初中三角函数概念的深化，也是对初中三角函数概念的局限性（主要指定义域上的局限性）的揭示，是建构三角函数新定义的‘催化剂”。函数思想是高中数学学习的重要内容，对帮助学生理解三角函数新定义具有很大的帮助，是学生实现从旧定义向新定义转化的有力保证。在高中函数定义的解释下，学生能准确的看到初中定义的不足：旧定义中的自变量局限为锐角，只能解决锐角三角函数的相关问题，而高中三角函数概念中，角的范围变大了，因此，三角函数的定义域也必须相应扩大才行，将角纳入到直角坐标系中，在规定了始边与终边之后，用“坐标法”来定義三角函数概念的方法也就更加容易理解了。将角纳入到直角坐标系中之后，角就变得更加富有“生命力”了，新定义也不再那么抽象，而是在涵盖旧定义的基础上有了新的内涵。

2.巩固新定义，重视数学思想方法

在三角函数概念的定义中，旧定义内容少、浅、易，而新定义内容丰富，外延广泛，概括程度高，理解难度大，学生在学习新定义时，常对新定义的把握不够稳定，容易还原，因此，不间断、及时的帮助学生巩固新定义是老师们不得不考虑的问题。

我们知道，三角函数旧定义的最大优点就是直观性和情境性较好，“形”的特征突出，而新定义则是“数”、“形”兼备：距离、坐标、比值属于“数”的范畴，而坐标系的引进，角的旋转，则属于“形”的范畴，以“数”解“形”、以“形”助“数”、“数”“形”结合是我们帮助学生理解新定义的有力武器，转变学生的数学思想方法，培养学生数学思想方法，无疑是帮助学生巩固三角函数新定义的明智途径。

3.课堂上注重教学情境，挖掘问题本质，引出三角函数的定义

在数学课堂上，老师们可以向学生讲述数学悠久的历史，并由此引出三角函数的定义，这样在学生的心中就能够其出现的背景以及发展的历程，同时还能够开发学生的智力，也就是由具体的问题到抽象的概念。选择较为恰当的教学情境，让学生能够在学习的过程中体会到乐趣，如此他们才会对这个概念在充分理解的情况下有更深刻的记忆。

三、结语

在新的数学课程标准中，明确的标定要掌握三角函数，也就是说，能够将三角函数的相关内容全部理解并且能够准确无误的应用在实际的例子中。可以说，三角函数的应用价值非常高，仅仅是利用其图像和性质，在数形结合使用方面体现为：求解三角不等式、三角方程，证明三角不等式、恒等式，倘若将“数”“形”分开对待，能够成为三角函数研究其基本问题的重要工具。三角函数对于老师们来说，详细准确的讲解也是非常困难的，倘若老师们在讲解之前进行足够的铺垫渲染，那么相信我们学生理解起来就会容易多了。

总而言之，在高中教学阶段，定义性的数学概念的教学与学习是存在较大难度的，以上方法也只是我自身的探讨，具体的效果还需要同学们自己去感悟和理解。我相信，只要切实理解高中生门的学习难处，加强新旧知识的衔接，做好师生间的沟通，就一定能使学生更好的掌握三角函数的新定义，为后续学习打下良好的基础。 。