几何概型与蒲丰投针问题

曹腾之

摘要：1777年，法国科学家蒲丰提出了著名的蒲丰投针问题，将等可能事件的个数从有限拓展到无限，并提出了几何概型。经典的蒲丰投针问题可以用微积分等多种方法解答，而数学家们在原有问题的基础上将蒲丰投针问题从二维拓展到了多维情形。由于蒲丰投针问题的结果包含π，因此数学家们也用蒲丰投针问题来模拟π的值，现代也可以利用计算机模拟蒲丰投针过程来估计π。

关键词：蒲丰投针；几何概型；随机模拟

G633.6

在蒲丰提出投针问题之前，传统随机概型的事件个数是有限的。蒲丰投针问题将随机事件的个数由有限拓展到无限，并据此提出了几何概型。传统蒲丰投针问题的结果可以由微积分等多种方法解得，由于该结果包含无理数π，数学家们也用蒲丰投针过程来模拟估计π的值。通过对蒲丰投针及其推广问题的解答过程的研究，可以进一步理解几何概型的含义，同时，通过研究数学家们对投针问题结果的应用，可以更好地理解不同领域之间的相互交叉和共同发展。

一、蒲丰投针问题的突破性提出与概率论发展史

（一）概率论的起源

概率论起源于赌博问题。18世纪，雅各布.伯努利的《猜度术》和亚伯拉罕.棣莫弗的《机遇论》的诞生使得概率论具有了数学基础，这两本书中也给出了一系列计算复杂概率问题的方法。伯努利证明了一系列基础的大数定理，这些定理表明在大量的随机试验中，平均结果很可能趋近于均值。在很长的一段时间里，概率论的研究对象都是有限个离散的随机事件，直到蒲丰投针问题提出，数学家们的研究對象才从古典概型扩展到了几何概型。

（二）蒲丰投针的突破性提出及其意义

古典概型是指包含有限个等可能随机事件的概率模型，在很长一段时间内是数学家们的研究主题。1777年法国科学家蒲丰提出了著名的蒲丰投针问题，将随机事件的个数从有限拓展到无限，并据此提出了几何概型。

后来数学家们将投针问题扩展到投小圆片等，这一类问题都被称之为“蒲丰问题”。这些问题都具有无限个等可能的随机事件。因为蒲丰投针问题的结果恰好和π相关，而当时人们普遍关注π的近似计算，因此蒲丰投针问题获得了很大进展。曾经有数学家自己进行数千次投针实验，利用频率近似等于概率的思想得到无理数π的近似值。在蒲丰提出投针问题的时候，数学家们并没有预料到这个突破性地引出了几何概型的经典问题，在未来会被如此之多地应用到无理数π的近似求解中。