基于漏探概率的车轴探伤周期制定方法

丁　然，李　强

(北京交通大学 机械与电子控制工程学院，北京　100044)

在运营中周期性地对车轴进行探伤以便及时发现裂纹并更换，是保障车轴安全运营的重要手段。车轴探伤是车轴安全寿命设计的重要补充，两者相辅相成[1]。由材料疲劳导致的断轴事故大多伴随着裂纹漏探。而目前常用的超声波探伤技术在某些情况下，即使对于4 mm深的大裂纹探出概率仍不足0.4[2]。缩短探伤周期可以使裂纹在失稳扩展前得到更多探伤机会，对裂纹有较高的累积探出概率；但探伤周期过短又会增加人力、物力成本，甚至影响列车运营。因此合理制定探伤周期对实现列车连续安全运营有重要意义。

现行的探伤周期制定方法[1，3]多是首先基于断裂力学公式计算出车轴的剩余寿命N；再规定剩余寿命内累积探伤次数不少于M-1次，以获得较大的累积探出概率；最后取探伤周期为N/M，并验算此探伤周期的可靠度是否满足要求。但这种探伤周期的制定方法有以下3点不足。

(1)由于车轴在设计上有很大的强度冗余，使用NASGRO公式[4]或其他类似的断裂力学模型[5]计算车轴裂纹时通常会得到不满足裂纹扩展的判据，从而无法求出车轴的剩余寿命。应用中，Beretta[3]通过放大初始裂纹到5 mm或者提高载荷水平，Zerbst[1]则通过减小材料应力强度因子变程门槛值ΔKth，迫使裂纹扩展。这些手段虽可得到偏安全的剩余寿命，但与实际工况偏差较大。

(2)只能通过事先给定的M值验算可靠度，无法在一定可靠度要求下制定尽量长的探伤周期以减小成本。

(3)由于受随机因素的影响，车轴剩余寿命的分散性很大[6-7]，因此用非随机算法计算车轴剩余寿命并不理想[8-9]，而由随机裂纹扩展计算模型得到的车轴剩余寿命又是随机的，无法计算其可靠度。

本文基于伽马随机过程模型分析试验或运营中取得的裂纹扩展数据，从统计学的角度描述裂纹扩展过程，并在该模型下推导车轴的失效函数及可靠度函数，揭示车轴的剩余寿命、漏探概率和车轴可靠度三者的关系，克服现有方法的不足，为车轴剩余寿命分析和探伤周期的制定提供理论基础。

1　基于伽马随机过程的裂纹扩展模型

为描述裂纹扩展的随机性而使用随机过程最为自然，伽马(Gamma)随机过程适合描述随时间缓慢扩展且扩展速率逐渐变大的裂纹扩展过程。该模型有很强的数据拟合能力，近年来在疲劳数据分析和剩余寿命估计等领域已有了非常广泛的应用[10-12]，但目前尚未见在车轴领域的应用。为简单起见，本文将沿周向扩展的车轴表面裂纹的深度抽象为一维伽马随机过程。为使探伤周期的制定方法更加具有普遍性，本文不假设车轴的形式(如：空心轴、实心轴；客车轴、货车轴)及裂纹的萌生位置(如萌生于轴颈过渡圆弧处或轮座压装区)。

1.1　模型定义及相关假设

设裂纹的初始深度为a0，t时刻裂纹的深度为at，则裂纹的扩展量为Δa(t)=at-a0。 假设Δa(t)为伽马随机过程，则它满足如下条件。

(1)初始时刻裂纹的扩展量为0，即Δa(0)=0。

(2)独立增量：对任意时刻，有t0

(3)伽马增量：对于任意时刻t≥0和任意时间增量Δt>0，Δa(t+Δt)-Δa(t)服从参数为α(t)和λ(λ>0)的伽马分布，即

Δa(t+Δt)-Δa(t)～

(1)

式中：Γ(·)为伽马函数；α(t)为t的增函数。

设裂纹扩展临界深度为au，即当at≥au时判定车轴失效。则车轴的剩余寿命N≤t等价于at≥au或Δa(t)≥au-a0。利用伽马函数的性质可求得t时刻剩余寿命的累积分布函数FN(t)为

(2)

在已知tr时刻裂纹深度的条件下，ts(ts>tr)时刻剩余寿命的累积分布函数FN(ts|atr)为

(3)

1.2　参数估计

待估参数为式(1)中的α(t)和λ。α(t)常取为幂函数的形式[10]，则系数为k、 指数为b的α(t)为

α(t)=ktb

(4)

因此模型的待估参数为k，b，λ，可利用极大似然法求得。

观察m条裂纹的独立扩展过程。若对第i(i=1, 2, …,m)条裂纹观察ni次，其对应的观察时刻分别为ti,1,ti,2,…,ti,ni，对应时刻的裂纹深度分别为a(ti，1),a(ti，2), …,a(ti,ni)， 则可算得ni个裂纹深度的增量Δai,j=a(ti,j)-a(ti,j-1；j=1, 2, …,ni；且ti,0=0。

设各个裂纹样本间相互独立，由式(1)可得极大似然函数L(Δai,j|k,b,λ)为

L(Δi,j|k,b,λ)=

(5)

而在实际应用时，用于模型待估参数估计值的裂纹扩展数据可以从仿真、试验或经验数据中获得；也可先通过仿真获得待估参数的估计值，再由实际运营的探伤数据加以修正。为简单起见，本文后面的数值算例使用仿真所得数据进行计算。

2　基于漏探概率的失效函数及可靠度函数

探伤系统的探伤能力通常用探出概率曲线描述[13-14]，它综合反映裂纹深度与相应探出概率间的关系。设PD(a)为裂纹深度为a时的探出概率，则其对应的漏探概率为PN(a)=1-PD(a)。

在可靠性理论中，失效函数F(t)通常被定义为t时刻系统已失效的概率。因为车轴是关键安全部件，探得裂纹就会被更换，因此车轴的失效函数F(t)可具体解释为： 在t时刻(用载荷循环数或运营里程表示)，裂纹始终未被探伤发现并已扩展至临界尺寸au的概率。记车轴的失效时刻为tf，即atf=au。若取车轴的探伤周期为T，可将区间(0,t]按计划探伤时刻tq=qT划分为n+1个区间，即(tq-1,tq](q=1, …,n)和(tn,t]。则tf≤t等价于tf∈(tq-1,tq]和tf∈(tn,t]这n+1 个不交事件的和。图1为tf∈(t3,t4] 和tf∈(t4,t]这2种裂纹扩展过程的示意图。

为计算F(t)还需引入一些事件：记Ai为事件“至第i次探伤裂纹仍未被发现”，则

(6)

式中：P(Ai)为事件Ai发生的概率，规定P(A0)=1。

记Bi为事件“至时刻ti裂纹已扩展至临界尺寸”，则P(Bi)=P(ai≥au)。 规定P(Bt)=P(at≥au)。应用全概率公式可得

Ai-1)+P(An)P(Bt|An)

(7)

图1　tf∈(t3, t4]和tf∈(t4, t]的2种裂纹扩展过程

下面分别计算式(7)中诸项的概率。

式(7)中i=1对应项P(A0)P(B1|A0)，表示车轴在第1次探伤前车轴已失效的概率。由式(2)可得

P(A0)P(B1|A0)=FN(t1)

(8)

式(7)中i=2对应项P(A1)P(B2|A1)， 记pΓ(·)为伽马分布的概率密度函数，则由全概率公式和式(3)可得

P(A1)P(B2|A1)=

(9)

对式(7)中i>2的诸项应用全概率公式，需要计算an

PN(a1)l-1PN(al)

(10)

利用条件概率的定义和全概率公式以及式(10)右侧第1项，可得i=l对应项P(Al-1)P(Bl|Al-1)的上限为

(11)

式中：pB(·)为贝塔分布的概率密度函数。

同理，可得该项的下限为

(12)

将式(8)、式(9)、式(11)和式(12)代入式(7)即可计算F(t)的上、下限。

F(t)为t的函数，因此将其在t→∞的极限值F作为失效度指标更为方便、合理。进而可定义评价探伤周期的可靠度指标R=1-F。

3　数值算例

3.1　与断裂力学模型的对比

图2　本文模型与断裂力学模型结果的对比

探伤周期取为1万km，探出概率曲线取为文献[2]中超声远端扫描曲线，将相关数据代入式(7)算得F(t)的上下限曲线如图3所示。由图3可见：随t的增大F(t)趋于一个小于1的极限，这说明周期探伤可以在一定的范围内维护车轴整体的运营可靠度。

图3　失效函数F(t)的上下限

文献[3]中按现行的断裂力学方法取M=4，即车轴失效前累积探伤3次，求得探伤周期为0.82万km并算得其可靠度为99.4%。取相同探伤周期，按本文模型算得可靠度上下限分别为99.8%和99.1%。与现行方法所得结果基本一致；另一方面，本文模型相当于在给定的探出概率曲线下，导出了探伤周期与可靠度间的函数关系。因此可以方便地利用插值函数等数值方法，反过来根据要求的可靠度制定探伤周期。而现行的断裂力学方法无法反求。表1对比了2种模型的计算结果，并计算了按95.0%和99.9%可靠度制定的探伤周期。

表1　本文结果与文献[3]结果的对比

3.2　计算给定探伤周期的可靠度

对于这种剩余寿命分散性较大的情况，以往研究中没有合适的方法计算探伤周期的可靠度，而采用本文方法可以计算。表2为采用本文方法计算得到的可靠度与按50%可靠寿命进行可靠度校验结果的对比。表中分别校验了M=3, 4, 5时的结果，为说明问题又在其间插入了一些探伤周期的取值。结果表明：①按50%可靠寿命进行校验给出的结果对较短的探伤周期偏激进，这是因为它忽略了剩余寿命偏小带来的风险；而对较长的探伤周期偏保守，例如M=3，是因为现行方法认为此时只有2次探伤机会从而累积探出概率大幅下降。因此利用50%可靠寿命或其他可靠寿命进行校验不能综合反映剩余寿命与漏探概率的关系。②随探伤周期变长，按50%可靠寿命校验的结果并不是单调下降而是忽高忽低。因此现行方法只能对给定M值算出的探伤周期进行可靠度校验，并不能计算任意探伤周期对应的可靠度。而本文可用于任意探伤周期的可靠度计算。

表2　本文结果与按50%可靠寿命校验结果的对比

为方便工程应用，可由下式定义车轴失效前经历探伤次数的期望值M(T)为

(13)

因为tq=qT，所以式(13)定义的M(T)为探伤周期T的函数。这样与现行方法类似，可先计算，比如使M(T)=4的探伤周期T，再根据进一步求得的可靠度对制定的探伤周期进行优化，从而减少大量积分的计算。

4　结　论

(1)用伽马随机过程对车轴裂纹扩展建模是可行的。在反映裂纹随机扩展特性的同时，基于试验和运营中取得的裂纹扩展数据从统计学的角度描述裂纹扩展过程，可克服断裂力学模型不满足裂纹扩展判据的问题。

(2)本文模型可计算任意探伤周期的可靠度，也可在给定可靠度下制定探伤周期，应用更加灵活。

(3)给出了随机裂纹扩展下探伤周期的制定方法，能综合反映车轴的剩余寿命、漏探概率和可靠度三者的关系，所得结果更加合理。

(4)提出了车轴失效前经历探伤次数的期望值M(T)的概念。 利用M(T)进行探伤周期的制定，在工程应用中更方便。

[1]ZERBST U, VORMWALD M, ANDERSCH C, et al. The Development of a Damage Tolerance Concept for Railway Components and Its Demonstration for a Railway Axle [J]. Engineering Fracture Mechanics, 2005, 72(2): 209-239.

[2]周素霞，谢基龙. 高速列车空心车轴损伤容限理论与方法研究[D]. 北京：北京交通大学, 2009.

(ZHOU Suxia, XIE Jilong. Theory and Method Research on Damage Tolerance of the Hollow Axles of High Speed Trains[D]. Beijing：Beijing Jiaotong University, 2009. in Chinese)

[3]BERETTA S, CARBONI M. Experiments and Stochastic Model for Propagation Lifetime of Railway Axles [J]. Engineering Fracture Mechanics, 2006, 73(17): 2627-2641.

[4]NASA Johnson Space Centre. NASGRO[CP/OL]. San Antonio, Texas, USA: Southwest Research Institute, 1999[2017-02-03]. http://www.swri.org/consortia/nasgro.

[5]MADIA M, BERETTA S, SCHÖDEL M, et al. Stress Intensity Factor Solutions for Cracks in Railway Axles[J]. Engineering Fracture Mechanics, 2011, 78: 764-792.

[6]ZERBST U, SCHÖDEL M, BEIER H T. Parameters Affecting the Damage Tolerance Behaviour of Railway Axles [J]. Engineering Fracture Mechanics, 2011, 78(5): 793-809.

[7]BERETTA S, CARBONI M, FIORE G, et al. Corrosion-Fatigue of A1N Railway Axle Steel Exposed to Rainwater [J]. International Journal of Fatigue, 2010, 32: 952-961.

[8]ZHAO Yongxiang, HE Chaoming, YANG Bing, et al. Probabilistic Models for Long Fatigue Crack Growth Rates of LZ50 Axle Steel[J]. Applied Mathematics and Mechanics:English Edition, 2006, 26(8): 1093-1099.

[9]YASNIY O, LAPUSTA Y, PYNDUS Y, et al. Assessment of Lifetime of Railway Axle[J]. International Journal of Fatigue, 2013, 50: 40-46.

[10]VAN Noortwijk J M. A Survey of the Application of Gamma Processes in Maintenance [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2009, 94(1): 2-21.

[11]LAWLESS J, CROWDER M. Covariates and Random Effects in a Gamma Process Model with Application to Degradation and Failure [J]. Lifetime Data Analysis, 2004, 10(3): 213-227.

[12]WANG Xiaolin, BALAKRISHNAN N, GUO Bo, et al. Residual Life Estimation Based on Bivariate Non-Stationary Gamma Degradation Process[J]. Journal of Statistical Computation and Simulation, 2015，85(2): 405-421.

[13]RUMMEL W D, HARDY G L, COOPER T D. Nondestructive Evaluation and Quality Control [M]. Russell Township, Ohio: ASM International, 1994.

[14]BERENS A P, HOVEY P W. Statistical Methods for Estimating Crack Detection Probabilities [M]. Montgomery County, Pennsylvania: American Society for Testing and Materials, 1983.