例谈卫星的变轨问题

摘要：本文从中学物理的角度，通过实例解析人造卫星发射过程中的变轨运动，并给出变轨过程小结.

关键词：人造卫星；轨道变化；运动

作者简介：许文，1988年毕业于华中师范大学物理系，从事中学物理教学与物理竞赛辅导工作近28年，擅长于高中物理教学与研究，主研2个省级教科研课题，发表260余篇教学论文及20个多媒体教学课件，参加过湖北省试验教材的开发与编写，为省级中学物理骨干教师举行师资培训工作，荣获全国教改优秀教师称号.

我国的天宫二号空间实验室与神舟十一号载人飞船分别于2016年9月15日22时4分、10月17日7时30分发射升空.天宫二号入轨后先在离地面393km的圆轨道上运行，于10月19日凌晨与神舟十一号飞船在离地380km的圆轨道上顺利实现交会对接，两名航天员进驻天宫二号进行一系列的科学实验.飞船与天宫交会对接相关的一些物理问题将成为高考关注的热点.本文通过实例从中学物理的角度解析卫星变轨与轨道调整中的相关物理问题.

一、卫星的圆周运动

如图1所示，设地球的质量为M、半径为R、表面的重力加速度为g、距地心O点r（r≥R）处绕地球圆周运动的人造卫星质量为m、线速度大小为v、角速度大小为ω、周期为T.有G MmR2= mg；G Mmr2=mv2r=mω2r = m2πT2r，可得

v=GMr∝1r；ω=GMr3∝1r3；

T=4πr3GM∝r3.

二、卫星的变轨问题

卫星速度改变时，卫星将变轨运行.当卫星的速度突然增大时，卫星将会做离心运动，其周期变长，机械能增加，最终稳定在高轨道上圆周运动时的速度比在低轨道上小；当卫星速度减小时，卫星将做向心运动，其周期变短，机械能减少，最终稳定在低轨道上时的速度比在高轨道上大.

1同一運动平面内的变轨

例12016年9月15日，我国“天宫二号”空间实验室飞船发射升空，由长征运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，B点距离地面高度为h，地球的中心位于椭圆的一个焦点上.“天宫二号”飞行几周后进行变轨，进入预定圆轨道，如图2所示.已知“天宫二号”在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，万有引力常量为G，地球半径为R.则下列说法正确的是

A“天宫二号”在椭圆轨道B点的向心加速度大于在预定圆轨道B点的向心加速度

B“天宫二号”从A点开始沿椭圆轨道向B点运行的过程中，其机械能守恒

C“天宫二号”从A点开始沿椭圆轨道向B点运行的过程中，动能先减小后增大

D由题中给出的信息可以计算出地球的质量为M=4π2n2（R+h）3Gt2

解析在B点，由GMmr2=ma知，无论在哪个轨道上的B点，其向心加速度相同；“天宫二号”在椭圆轨道上运行时其机械能守恒；“天宫二号”从A点开始沿椭圆轨道向B点运行的过程中，动能一直减小；对“天宫二号”在预定圆轨道上运行，有GMm（R+h）2=m（R+h）4π2T2，而T=tn，故M=4π2n2（R+h）3Gt2.

答案BD

小结航天器在同一运动平面内变轨问题主要表现在对轨道高度进行调整，要注意几点：

（1）航天器变轨时轨道半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v=GMr判断；

（2）航天器在变轨运行时，若速度突然增大（发动机短时间内对其做正功）会做离心运动，轨道半径增大，万有引力做负功，其动能减小，但机械能变大；若速度突然减小（发动机短时间内对其做负功）会做向心运动，轨道半径减小，万有引力做正功，其动能增大，但机械能减小；在变轨过程中关闭发动机运行时其机械能守恒；

（3）航天器经过不同轨道相切的同一点时其加速度相等，但外轨道的速度大于内轨道的速度.

例2我国的国土范围在东西方向上大致分布在东经70°到东经135°，所以我国发射的通信卫星一般定点在赤道上空36万公里，东经100°附近.假设某颗通信卫星计划定点在赤道上空东经104°的位置，经测量卫星刚进入轨道时位于赤道上空36万公里，东经103°处，为了把它调整到东经104°处，可以短时间启动卫星上的小型喷气发动机调整卫星的高度，改变其周期，使其“漂移”到预定经度后，再短时间启动发动机调整卫星的高度，实现定点.关于两次调整高度的方向依次是

A向下、向上B向上、向下

C向上、向上D向下、向下

解析同步卫星运行在地球赤道上空一定高度处，且卫星的运行方向应与地球的自转方向相同，即由西向东转，故应向东调整.但调整卫星高度和速度与调整前相比应不变.我们从北极点上空俯视地球（如图3所示），在同步轨道东经103°处应先将卫星向下调低轨道，使其角速度变大，让卫星相对地球向东运动，再向上调高轨道，使其角速度减小，最终可使卫星到达地球同步轨道东经104°处相对地球静止.

答案A

点评本题以同步卫星为背景，考查万有引力定律在人造卫星上的应用，定性分析人造卫星运行的线速度、角速度、周期的变化问题.问题的求解要具有一定的空间想象能力，能够转换角度从“北极点”上空俯视地球，合理构建地球与卫星运动情景的示意图.

2不同运动平面内的变轨

例3（2015全国卷Ⅱ）由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道.当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行.已知同步卫星的环绕速度约为31×103 m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为155×103 m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图4所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为

A西偏北方向，19×103 m/sB东偏南方向，19×103 m/s

C西偏北方向，27×103 m/sD东偏南方向，27×103 m/s

解析试题给出的一平面示意图，在理解题意后，我们可以画出如图5所示的立体示意图，这有利于从全方位把握对问题的分析.卫星在转移轨道与同步轨道相同高度处（即两轨道的交点处），转移轨道上的速度大小为v1=31×103 m/s，同步轨道上的速度大小为v2 =155×103 m/s.启动卫星上发动机使卫星获得一个附加速度Δv后，卫星的速度应由v1调整到v2 .如图5所示，v1、v2、Δv应组成一个矢量三角形.由余弦定理Δv=v21+v22-2v1v2cos30°=19×103m/s，方向为东偏南方向.

答案B

感悟卫星在不同运动平面内的变轨问题，除了考虑卫星运行的线速度、角速度、周期随轨道半径的变化外，还要考虑在变轨瞬时速度的合成与分解.问题的求解需要考生有一定的理解与分析能力，具有一定的空间想象力，合理地将卫星运动的平面视图转化为立体视图，灵活地运用所学的知识解决问题.

练习

1如图6所示，“神舟十一号”与“天宫二号”在交会对接前“神舟十一号”飞船先在较低圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫二号”对接.M、Q两点在轨道1上，P点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速.下列关于“神舟十一号”变轨过程的描述，正确的有

A“神舟十一号”在M点加速，可以在P点与“天宫二号”相遇

B“神舟十一号”在M点经一次加速，即可变轨到轨道2

C“神舟十一号”经变轨后速度大于变轨前的速度

D“神舟十一号”变轨后的运行周期大于变轨前的运行周期

2某人造地球卫星在半径为r的轨道1上做圆周运动，动能为Ek，变轨到轨道2上后，动能比在轨道1上减小了ΔE，在轨道2上也做圆周运动，则轨道2的半径为