化归思想在常微分方程教学中的应用

韩晓方

（南昌工学院，江西 南昌 330108）

化归思想在常微分方程教学中的应用

韩晓方

（南昌工学院，江西 南昌 330108）

通常来说，一个数学问题有多种解题方法，其中，化归思想便是较常用的一种，在常微方程的解法中也多有应用。如果能够在常微分方程中较好的学习使用化归思想，那么便能够更好的学习认识常微分方程，掌握常微分方程的理论和解决方法，同时学生的思维能力和实际应用能力也能够得到很大的提升。由此，作为教师应该引导学生在数学学习中应用化归思想，借以提高学生的学习思维能力。

化归思想；常微分方程；教学

化归思想是一种常见的重要的解题思想，也是人类基本的思维方法，与此同时，它更是一种有效的数学思维方式。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决数学问题时通过运用某种手段将问题变换使之转化，进而解决问题的方法。一般来说就是将复杂问题简单化；将难解的问题转化为容易求解的问；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，化归思想在数学解题中应用十分广泛，化归思想概括来说就是将生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，化归思想的实质就是以运动变化发展的观点来看待问题，注重事物之间相互联系，相互制约的关系，从此出发对所要解决的问题进行变换转化，从而使问题得以解决。

1 一阶常微分方程

在一阶常微分方程中，最基础的两个是分离变量方程和恰当方程，其他的比较复杂的方程比如齐次方程、线性方程、伯努利方程等都可以通过化归思想，将它们变换转化为分离变量方程或恰当方程，将复杂变简单，变成已经解决的问题，这就是化归思想在一阶常微分方程中的体现。下面举例子为证。

求解：dx/dy=8x3-4xy3+4x/6x2y2-12y5+6y2

分析：等式右边的式子中都有公因式，可以将之提出来，整个式子就变成了dx/dy=4x(2y2-y3+1)/6y2(y2-2y3+1)

也就是6y2dx/4xdy=2y2-y3+1/y2-2y3+1,

在这里进行等量代换,即 u=x2，v=y3，就变成了dv/du=6y2dx/4xdy，

这样方程进一步变成了dv/du=2u-v+1/u-2v+1

这道题计算到这里之后，还要再继续进行两次等量变换，最终将式子简化到变量分离方程式这样的基础方程式，之后两边通过积分求解解得最终答案。

通过这个例子，可以了解到一阶常微分方程经过多次等量变换，层层运用化归思想，最终将其变换成最基础最简单的分离变量方程进行最后的求解，这样的化归思想的解题方法不仅加深了同学们对微分方程的理解，也更加了解化归思想的实质，对学生以后进行数学解题的思维和应用有很大的提升。

2 高阶常微分方程

对于高阶常系数的齐次线性方程来说，一般情况下都是通过求其特征根来求解的。运用特征根求解首先要做的是求得其基本的解组，这样做能够使积分运算的复杂程度有效降低，将复杂问题简单化。对于某些高阶非齐次线性方程应该首先将其转化为该方程对应的齐次线性方程求其通解，然后在运用待定系数法求得其结果。这些也都是化归思想在常微分方程上的应用，都将问题尽量简单化，变换成可以解决的问题，降低了解决数学问题的难度，提高了解决问题的效率。以下面的为题为例做说明。

例：求解微分方程x（4）-2x“+x=t2-3

首先应写出其对应齐次线性方程的特征性方程，求出其特征根，求出其通解，然后在运用待定系数法求出该方程的另一个通解。学生可以通过这个例子来感受化归思想在高阶常微分方程中的运用方法，然后进一步提升自己运用化归思想解决问题的能力。

3 线性微分方程组

化归思想在非其次线性方程中也有运用。如果我们要对一个非齐次线性方程组求得其解，那么求解的关键部分就在于如何求得该方程组对应的基解矩阵。只要求出其对应的基解矩阵，那么就可以在这个基解矩阵中求得该非齐次线性方程组对应的所有解。一般来说系数矩阵是通过求解常微分齐次线性方程而得到的，这个矩阵是常数矩阵，那么同样的，基解矩阵就可以通过前面求出的系数矩阵来进行求解。这个求解过程一般运用拉普拉斯变换法或者是特征向量法。上述的整个过程便是化归思想在线性微分方程组求解中的体现，它将包含有常系数的线性微分方程组转换成为一般的简单的代数问题，大大降低了问题的难度，以下面的例题为例做说明。

例：试求微分方程组x‘=Ax+f（t）的解。

应该先求得其对应的齐次线性方程组的基解矩阵，再通过非其次线性方程组通解公式求得其最终结果。

化归思想作为数学学习的一种基本思维，虽然在面临不同的题目不同的情况下化归思想的体现并不是完全一样的，但是其本质大体相同，都是将复杂的问题简单化，将抽象的问题具象化直观化，将模糊的问题变得更加清楚。学生在数学学习的过程中掌握化归思想的运用后有助于他们更好的理解数学抽象的理论知识，更加清楚地理解数学问题的本质，在生活中更好的解决问题。因此，教师在进行数学的教学时，一定要有意识地引导学生用化归思想的方法解决问题，从而进一步提供他们的思维能力和综合素质。

[1]何天荣.化归思想在一阶微分方程初等解法中的体现[J].科技风，2016，（18）：43.

[2]张恩宾.化归思想在常微分方程求解中的应用[J].河南科技，2014，（22）：244-245.

韩晓方，女，讲师，硕士研究生，主要研究方向：常微分方程。

作者简介：郑惠清（1964-），女，广西南宁人，工程师，会计师，主要研究方向：机械设备维修管理、液压与气动技术、工业企业经济教学与研究。