一类常利率下带干扰的双险种风险模型

刘扬,何先平

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

一类常利率下带干扰的双险种风险模型

刘扬,何先平

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

讨论了一类常利率下带干扰、保单收取次数为复合Poisson过程、保险赔付次数服从负二项分布的风险模型，运用鞅方法和盈余过程的性质得到了破产概率的表达式和Lundberg不等式。

风险模型；破产概率；鞅；Poisson过程

瑞典精算师Filip Lundberg于1903年首次将Poisson过程引入破产理论研究，时至今日，破产理论日益丰富，已成为一门应用数学模型来描述和研究保险公司经营的重要学科。经典风险模型[1,2]用常数速率考虑保费的收取问题，但实际生活中无论是保费的到达还是险种的赔付往往是随机的，所以有必要将经典的风险模型加以推广。文献[3]引入了广义双险种模型，但未考虑利率因素对模型的影响。文献[4]加入了利率因素，但没考虑市场通货膨胀及保险公司本身的不确定因素形成的干扰。文献[5]引入了随机扰动项对模型的影响，文献[6]进一步将模型推广到常利率下带干扰的风险模型，但单位时间内保费的收入为常数，文献[7]丰富了保费收入，建立了保费收入和理赔均为复合Poisson过程的风险模型。笔者将单一险种推广为双险种，为考虑干扰项和常利率因素，假设保费收取次数为Poisson过程，理赔次数符合负二项分布，建立了常利率下带干扰的双险种风险模型，最终求解出新模型的破产概率表达式和Lundberg不等式。

1 模型的建立

设u≥0 ，以下随机变量都定义在给定的概率空间(Ω，F,P) 上,建立风险模型：

式中，U(t)，S(t)分别表示保险公司在时刻t的盈余与盈利；u为保险公司的初始资本；c为常数，是保险公司单位时间内收取的保费；常数i表示利率；M(t)表示在[0,t]内收到的保单总数，且服从参数为λt的Poisson分布；Nj(t)(j=1,2)分别表示第j险种在[0,t]内发生的理赔次数，且分别服从参数为(t,pj)(00为干扰因子； {Xi,i≥1},{Yi,i≥1},{Zi,i≥1},{M(t),t≥0},{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0},{W(t),t≥0}是相互独立的。

定义1T=inf{t|U(t)<0}为破产时刻，若对任意t≥0,均有U(t)≥0，即破产不会发生，记T=∞。则在初始资金为u的条件下，保险公司的最终破产概率为：

ψ(u)=P{T<∞|U(0)=u}

为保证公司稳定经营，要求单位时间内平均保费收入大于平均理赔额，即：

2 主要结果

引理1 盈利过程{S(t),t=0,1,2,…}具有平稳独立增量。

定理1 对于盈利过程{S(t),t=0,1,2,…} ，存在函数g(r)，使得E[e-rS(t)]=etg(r)。

证明 因为：

=etg(r)

所以：

其中，MX(-r)、MY(r)、MZ(r)分别为Xi、Yi、Zi的矩母函数。

定理2 方程g(r)=0在(0,+∞)存在唯一的正解R，称R为调节系数。

证明 由于：

因为g″(r)>0，所以曲线g(r)在r>0内是上凹的，g′(r)在r>0内单调递增，且：

又因为r→+∞时，g′(r)→+∞，所以存在r1∈(0,+∞),使得g′(r1)=0，从而g(r1)为g(r)在(0,+∞)上的极小值。

又因为g(0)=0,r→∞时,g(r)→∞,所以g(r)=0在(0,+∞)存在唯一的正解R。

定理3 对于盈利过程{S(t),t≥0}，定义事件域：

令:

证明 对于任意t1∈[0,t]，由定理1有：

=Mu(t1)

定理4 在风险过程{U(t),t≥0}下，设R为调节系数，则最终破产概率为：

证明

E{exp}[-rU(t)]}=E{exp[-rU(t)]|T≤t}P(T≤t)

+E{exp[-rU(t)]|T>t}P(T>t)

(1)

因为：

所以式(1)左端可以写为：

由定理2，取r=R，有g(R)=0,E[e-RU(t)]=e-Ru(1+i)，则式(1)变为：

e-Ru(1+i)=E[e-RU(t)|T≤t]P(T≤t)+E[e-RU(t)|T>t]P(T>t)

(2)

又因为：

U(t) =U(T)+(U(t)-U(T))

所以式(2)右端第1项：

E[e-RU(t)|T≤t]P(T≤t)

=E[e-RU(T)+(t-T)g(R)|T≤t]P(T≤t)=E[e-RU(T)|T≤t]P(T≤t)

因为:

E{exp[-RU(t)]|T>t}P(T>t)=E[e-RU(t)·I(T>t)]≤E[e-RU(t)·I(U(t)>0)]

式中,I(T>t)为{T>t}的示性函数。

又因为0≤e-RU(t)·I(U(t)>0)≤1，故由强大数定律可得：

由Lebesgue控制收敛定理得：

于是当t→∞时，式(2)可化简为：

e-Ru(1+i)=E{exp[-RU(t)]|T≤t}ψ(u)

即：

推论1 在上述风险过程{U(t),t≥0}下，最终破产概率ψ(u)符合Lundberg不等式，即ψ(u)≤exp[-Ru(1+i)]，e-Ru(1+i)为ψ(u)的Lundberg上界。

3 结语

在经典风险模型的基础上，加入了利率因素和通货膨胀、管理者自身等不确定因素造成的扰动项，最终得到了新模型的破产概率一般表达式及破产概率上界，加深和丰富了风险模型的讨论。但随着保险业的发展，险种类别愈加多样化，险种不仅局限在相互独立的状态下，还出现了相关联的情况。今后该模型可在险种间的保费到达过程、索赔到达过程及干扰项的相关性问题上做出进一步改进，实现可以为风险预警和控制提供重要指标、更加贴近现实需要的风险模型。

[1]GrandellJ.AspectsofRiskTheory[M] .NewYork:SpringerVerlag， 1991.

[2] 蒋志明, 王汉兴. 一类多险种风险过程的破产概率[J]. 应用数学与计算数学学报, 2001,14 (1):9～16.

[3] 郭立娟, 刘冬元. 一类广义双险种二项风险模型的破产概率[J]. 数学理论与应用, 2007, 27 (4):49～52.

[4] 陈奕含，杨璐. 一类带干扰的离散风险模型[J]. 佳木斯大学学报, 2015,33(1):140～141.

[5] 陈凤丽, 施齐焉. 一类双险种风险模型的破产概率研究[J]. 福州大学数学报, 2012, 40 (4):449～452.

[6] 吕伟春, 陈新美. 常利率下带干扰的双险种风险模型[J]. 湖南文理学院学报, 2010, 22 (1):7～9.

[7] 贠小青. 带干扰的泊松风险模型的破产概率及推广[J]. 统计与决策, 2013,373(1):18～21.

[编辑] 洪云飞

2016-09-27

国家自然科学基金项目(60873021/F0201)。

刘扬(1986-)，女，硕士生，现主要从事数理统计、风险模型方面的研究工作。

何先平(1964-)，男，硕士，教授，现主要从事数理统计方面的教学与研究工作,hxp@yangtzeu.edu.cn。

O211.6

A

1673-1409(2017)01-0036-04

[引著格式]刘扬,何先平.一类常利率下带干扰的双险种风险模型[J].长江大学学报(自科版)，2017,14(1)：36～39.