例谈高中数学教材试题的衍生

【摘 要】教材试题的衍生是命题者命制试题的主要手段。对近几年江苏高考数学试题进行了研究，总结提炼出教材试题衍生的方法：“从特殊生长到邻近，从邻近生长到一般”、“组合生成，逆向衍生”与“背景转换，代数与几何跨界”等，并对衍生试题的分析提供了方法。

【关键词】命制试题；江苏高考数学；试题衍生；衍生试题的分析

试题源于教材， 绝大多数高考试题是教材习题的变式衍生。本文论述了教材试题衍生方法及衍生试题分析。

一、从特殊生长到邻近，从邻近生长到一般

从“特殊问题”（问题原型）生长到特殊问题“邻近问题”，再从“邻近问题”生长到“一般性问题”。

试题原型 设x是实数，求证：2x+2-x≥2

分析知原命题当且仅当x=0时取等号，即g（x）=2x+2-x-2有且只有1个零点。从“语言互译”角度命制“邻近问题”，形成1稿。

1稿 设x∈R，求证：g（x）=2x+2-x-2有且只有1个零点。分析知将“a=，b=2”推广到“01”，若g（x）=ax+bx-2有且只有1个零点，则ab值依然为1。从“命题推广”与“条件与结论互换”角度命制“一般性问题”，形成2稿。

2稿 已知f（x）=ax+bx，其中01，g（x）=f（x）-2有且只有1个零点，求ab值

二、组合生成，逆向衍生

将两个或两个以上试题进行组合嫁接， 生长成新试题。将新试题条件与结论互换，逆向衍生增加试题难度，使其具有压轴性。

题1（苏教版必修5教材第105页思考运用13（1））设f（x）=（m+1）x2-mx+m-1，若方程f（x）=0有实根，则实数m的取值范围是____

题1“邻近问题”若方程x2+（a-1）x+1-a=0有两不等实根，求实数a的范围。

题2（苏教版必修1教材第96页练习5）利用计算器，求方程x3=2x+1的近似解。

题2 “别解”思路 本题也可不用计算器计算，设f（x）=x3-2x-1.∵f（-1）=0∴x1=-1是方程的解.∴f（x）=（x+1）（x2-x-1）

将题1“邻近问题”与题2“别解”用“组合法”与“语言互译”编拟，形成1稿

1稿 当f（x）=（x+1）[x2+（a-1）x+1-a）]有3个不同的零点时，求a的范围。

1稿修改 由于（x+1）[x2+（a-1）x+1-a]=x3+ax2+1-a，发现等号右边三次式的二次项系数与常数项和为1。引入参数c替换1，“条件与结论互换”后求c，形成2稿。

2稿 当f（x）=x3+ax2+c-a（c是与a无关的常数）有3个不同零点时，a的取值范围恰好是（-∞，-3）∪（1，）∪（，+∞），求c值。

三、背景转换，代数与几何跨界

同一数学问题，转换其呈现背景后，借助背景力量可改变问题难度，也可实现代数与几何跨界，生成新问题。

教材习题 求函数y=sin2θcosθ（0≤θ≤）最大值。试题修改：用“背景转换法”对教材习题处理，有两种处理方向：①处理成侧棱长为1，高线长未知的正四棱锥体积；②处理成母线长为1，高线长未知的圆锥体积。为使处理情况具有一般性，将“侧棱长为1”、“母线长为1”均改为“长为a”.

（1）按处理方向①处理，形成1稿。

1稿 已知正四棱锥P-A1B1C1D1高为PO1，侧棱长为a（a>0），记∠A1PO1=θ（0<θ<），求其体积V最大值及此时PO1长。

2稿 现设计一仓库，上部分形状为正四棱锥P-A1B1C1D1，其侧棱长为a（a>0），其底面正方形中心为O1，下部分形状为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，其底面正方形中心为O，要求正四棱柱高O1O是正四棱锥高PO1的k（k>0）倍，求仓库容积V最大时PO1长。

2稿简析：记∠A1PO1=θ（0<θ<），V≤（+2k）a3，PO1max=acosθ=a。

2016年江苏高考第17题为2稿特例（高考题为a=6，k=4情况）

（2）按处理方向②处理，形成问题变式。

变式 现设计一仓库，上部分形状是顶点为P，底面圆圆心为O1的圆锥，其母线长为a（a>0），下部分形状是底面圆面积与上部分圆锥的底面圆面积相等的圆柱，其下底面圆圆心为O，要求圆柱高O1O是圆锥高PO1的k（k>0）倍，求仓库容积V最大时PO1长。

四、衍生试题的合理性分析

①验证“条件与结论互换”后的合理性。如本文第一部分的推广，通过计算与反证法论证后，发现“ab值依然为1”。②从代数问题跨界到几何，借助几何背景命制试题时，需注意变量范围是否受到几何图形限制。“实际运用类”试题命制，为保证计算结果数据美观，先构造计算结果美观的方程或不等式。根据构造好的方程或不等式逆推并结合实际问题背景，生成新试题。此过程，也需注意自变量范围。③用“命题推广”衍生试题时，需注意推广是否具有合理性。④用“组合法”衍生试题时，用来“组合”的试题间需衔接自然，切忌将试题“强行”组合。⑤用“语言互译”衍生试题时，转译前后试题切忌产生歧义。

【参考文献】

[1]刘蒋巍.语言互译，有效转化——浅谈2016年常州中考数学第18题的命制[J].科学中国人，2016（30）

[2]刘蒋巍.命题转换的9种方法在教学中的运用[M].南昌：江西科学技术出版社，2016

[3]刘蒋巍.试题编制中的“组合与分离”——2016年常州中考數学第17题的命制[N].中学生报（教研周刊），2016-09-09（080）

[4]刘蒋巍.“背景转换法”在变式教学中的运用[J].中学课程辅导（教师通讯），2016（15）