“功和功率”考题归类例析

任果

“功和功率”既是初中物理的重点知识，又是解答有关机械效率问题的前提与关键；由功、功率与机械效率组合而成的综合应用题，可基本涵盖力学的主要知识，能有效甄别学生的素质与能力，在中考中占有举足轻重的地位。对于中考必考点和考查重点的“功和功率”，一要理解概念；二要掌握判断、计算的方法；三能灵活运用，分析解答有关问题。其类型及其解题策略与方法如下：

一、判断是否做功

判断力是否对物体做功（或力做功、施力物体做功），依据是做功的两个必要因素，先分析物体是否受到力的作用；再分析物体是否在这个力的方向上移动了距离。二者缺一，则力对物体不做功。

如图1所示的单摆，让小球从A点静止释放，小球从A点向B点摆动的过程中，小球受到的重力对小球

功，细绳对小球的拉力

功。（均填“做”或“不做”）

解析：小球从A点向B点摆动的过程中，小球的高度降低，在重力的作用下沿重力的方向移动了距离，故小球受到的重力对小球做了功；细绳对小球的拉力方向与小球的运动方向垂直，小球没有在拉力的作用下移动距离，故细绳对小球的拉力没有做功。

答案：做 不做

【温馨提示】在判断某力是否做功时，要抓住“力”与“距离”这两个必要因素，根据“移动距离与力的方向的对应关系”进行分析。

（1）三种做功的情况：①物体移动方向与力的方向一致，力对物体做功；②物体移动方向与力的方向相反，此时力为阻力，物体克服阻力做功；③物体移动方向与力的方向有一个夹角，此时物体虽然没有直接沿力的方向移动，但从移动的效果来看，实质上已经在力的方向上移动了一段距离，力对物体做功。

（2）三种不做功的情况：①由于惯性运动的物体，无力、有距离，不存在力对物体做功；②受力而静止的物体，有力、无距离，力对物体不做功；③力的方向与物体运动方向垂直，物体在力的方向没有发生移动，力对物体不做功。

二、区分功与功率

功和功率是两个概念不同、密切相关而又容易混淆的物理量，它们之间有本质的区别，“功”表示做功的“多少”，而“功率”表示做功的“快慢”，“多少”与“快慢”的意义不一样。

例2.推土机甲的功率比推土机乙的功率大，下列说法正确的是（ ）

A.甲做的功比乙多

B.甲做的功比乙少

C.甲做的功可以与乙一样多

D.以上说法都不对

解析：甲的功率比乙的功率大，说明甲做功快，但不一定做功多；根据功的公式W=Pt可知，甲的功率大，如果做功时间少，甲做的功就少，有可能与乙做的功一样多。

答案：C

【温馨提示】正确辨析功与功率，一要弄清它们的物理意义及其之间的关系；二要会用控制变量法分析，在判断功与功率的关系时应保持所用时间不变，判断所用时间与功率的关系时应保持做功多少不变。

三、比较功与功率

分析比较做功多少与功率大小，依据是功和功率公式。

1.比较做功多少

根據功的公式W=Fs分析比较，一般方法是：力相同比距离，距离大的做功多；距离相同比力，力大的做功多；力与距离均不同，比较Fs的大小。

例3.如图2所示，光滑斜面AB>AC，沿斜面AB和AC分别将同一重物从它们的底部拉到顶部，所需拉力分别为F1和F2，所做的功分别为WA和WB。则（ ）

A.F1

B.F1

C.F1>F2，WA>WB

D.F1>F2，WA=WB

解析：斜面光滑说明不计摩擦力，拉力所做的功等于克服重力做的功，则把同一物体沿斜面AB和AC分别拉到顶端A，高度h相同，由W=Gh可知，两次做的功相同，即WA=WB；因AB>AC，而WA=WB，由功的公式W=Fs可知，F1

答案：A

例4.如图3甲所示，小红用弹簧测力计拉木块，使它在同一水平木板上滑动，图3乙是她两次拉动同一木块得到的路程随时间变化的图象。请根据图象判断：在相等时间内，木块两次受到的拉力F1

F2；两次拉力对木块做的功W1

W2。（填“>”“

解析：由图象可以看出，图象为一条过原点的倾斜的直线，说明两次拉动过程中木块均做匀速直线运动，则不论木块速度大小如何（v1>v2），都受到平衡力的作用，即在水平方向上拉力和摩擦力是一对平衡力，故两次拉动木块的拉力和摩擦力均大小相等，即F=f；因两次拉动过程中木块所受的摩擦力f相等，故木块两次受到的拉力F1=F2。

由图象可知，在相等时间内，木块两次运动的距离不同，第1次木块通过的距离大；由功的公式W=Fs可知，在相同拉力作用下，第1次拉力对木块所做的功多，即W1>W2。

答案：= >

【温馨提示】在比较做功多少时，要抓住“力的大小”与“在力的方向上移动距离的大小”进行分析，勿受“光滑面”、“粗糙面”、“斜面”或“速度大小”等条件的干扰。

2.比较功率大小

根据功率公式P=Wt分析比较，方法是：先确定做功的多少和做功所用时间的长短；再比较功与做功时间的比值大小。在相同时间内，做功多的功率大；做功相同，所用时间短的功率大；只知功或做功所用的时间，无法比较和判断功率的大小。

例5.在自由下落过程中物体运动速度会越来越快。一个物体由A点自由下落，相继经过B、C两点，已知AB=BC，如图4所示，物体在AB段重力做功W1，做功功率P1；在BC段重力做功W2，做功功率P2，则下列关系正确的是（ ）

A.W1≠W2P1≠P2

B.W1=W2P1=P2

C.W1=W2P1>P2

D.W1=W2P1

解析：已知AB=BC，根据W=Gh可知，物体在AB段和BC段重力所做的功大小相等，即W1=W2。

因小球在自由下落时做加速下落运动，由速度公式的变形式t=sv可知，小球在BC段运动的时间短；由功率公式P=Wt可知，物体在AB段重力做功功率小于BC段重力做功功率，即P1

答案：D

例6.甲、乙两人在相同的水平路面上，分别以1 m/s和0.5 m/s的速度将两个完全相同的木箱沿直线匀速推动了10 m。在此过程中，甲推木箱的力

（填“大于”“小于”或“等于”）乙推木箱的力；

（填“甲”或“乙”）做功的功率大。

解析：“相同的水平路面”，说明木箱在两种情况下受到的摩擦力相同；木箱在推力和摩擦力的作用下均做匀速直线运动，由二力平衡的条件可知，人对木箱的推力相等，即甲推木箱的力等于乙推木箱的力。

由功率公式P=Wt和功的公式W=Fs、速度公式v=st可推導出：P=Wt=Fst=Fv，因甲、乙对木箱的推力相等，甲的速度大于乙的速度，故甲的功率大于乙的功率。

答案：等于 甲

例7.图5是使用汽车打捞水下物体的示意图。在物体从水底拉到井口的过程中，汽车以恒定速度向右运动，忽略水的阻力和滑轮的摩擦，图6所示的汽车功率P随时间t变化的图象中，正确的是（ ）

解析：物体在水中受到拉力F、重力G和浮力F浮的作用，汽车以恒定速度向右运动，即物体上升的速度v不变，则F=G-F浮；将物体逐渐拉出水面的过程中，浮力F浮=ρ水gV排减小，则拉力F增大；由功率公式的导出式P=Fv可知，v不变，故P在增大；当物体完全在水面下和全部拉出水面以后，拉力不变，功率P也不变。

答案：C

例8.已知雨滴在空中竖直下落时所受空气阻力与速度大小的二次方成正比，且不同质量的雨滴所受空气阻力与速度大小的二次方的比值相同。现有两滴质量分别为m1和m2的雨滴从空中竖直下落，在落到地面之前均做匀速直线运动，那么在两滴落地之前做匀速直线运动的过程中，其重力的功率之比为（ ）

A.m1∶m2 B.m1∶m2

C.m2∶m1 D.m31∶m32

解析：因雨滴落到地面前均做匀速直线运动，故雨滴所受的重力和空气阻力是一对平衡力，即雨滴受到的阻力：f=mg=kv2，则雨滴的速度：v=mgk；由功率公式的导出式P=Fv可知，两雨滴功率之比：P1P2=F1v1F2v2=m1gv1m2gv2=m1v1m2v2=m1·m1gkm2·m2gk=m31m32。

答案：D

【温馨提示】若已知物体在力F的作用下，以速度v做匀速直线运动，则力F做功的功率P=Wt=Fst=Fv（注意F和v同向）。利用功率公式的导出式P=Fv可方便地解答有关P、F、v的问题，应用该式判断功率的大小时，先找出力的大小，再确定物体在该力的方向上的速度大小，然后分析比较。

四、功与功率的计算

根据功的公式W=Fs计算功，先明确研究对象，分析研究对象受到几个力的作用；再弄清要求的是哪个力做功，分析该力的大小及在力的方向上移动的距离的大小；然后代入功的公式计算。注意“F”和“s”的同体性、同向性和同时性。

根据功率的公式P=Wt计算功率，先由功的公式W=Fs求出功；再确定对应的做功时间；然后代入功率的公式计算。有时可利用功率的导出式P=Fv计算功率，要注意力的大小必须与所对应的速度相乘，绝对不能张冠李戴。

利用功、功率的公式的变形式可求出相关的其他物理量。

例9.如图7所示，质量为40 g的金属小球从导轨的a处自由滑下，依次经过b、c处，到达d处时恰好停下。在从a到b的过程中，重力做功为

J。（g取10 N/kg）

解析：利用重力公式求出小球所受的重力；再利用重力做功公式求出重力所做的功。

小球的重力：

G=mg=40×10-3 kg×10 N/kg=0.4 N

小球从a到b的过程中，重力做功：

W=Gh=0.4 N×0.5 m=0.2 J。

答案：0.2

【温馨提示】计算重力做功，可分为两种情况：

（1）物体在重力作用下自由下落或物体竖直向下运动，重力做功：W=Gh。

（2）物体沿斜面或其他非竖直路径下滑，重力做功与具体路径无关，只与物体竖直高度的变化有关，重力做功：W=Gh。

例10.一辆在水平路面上沿直线匀速行驶的货车，行驶时所受的阻力为车总重的0.1倍，货车（含驾驶员）空载时重为2.5×104 N。

（1）求货车以36 km/h的速度空载匀速行驶时，10 s内货车牵引力做的功；

（2）当货车以90 kW的额定功率、90 km/h的速度匀速行驶时，求货车最多可装载多重的货物。

解析：利用速度公式的变形式s=vt求出行驶路程；货车空载匀速行驶时，牵引力与阻力为一对平衡力，F=f，利用阻力与车重的关系求出阻力f；再利用功的公式求出牵引力做的功；利用功率公式的导出式P=Fv求出牵引力，货车匀速行驶时f=F，再利用阻力与车重的关系求出货车总重，其最多可装载的货物的重等于货车总重与空车重之差，进而利用重力公式求出货物质量。

（1）货车速度：v=36 km/h=36×13.6 m/s=10 m/s

10 s内行驶的路程：

s=vt=10 m/s×10 s=100 m

货车匀速行驶，牵引力：

F=f=0.1G=0.1×2.5×104 N=2.5×103 N

牵引力所做的功：

W=Fs=2.5×103 N×100 m=2.5×105 J

（2）货车速度：

v'=90 km/h=36×13.6 m/s=25 m/s

由P=Wt=Fst=Fv可得，此时牵引力：

F'=Pv'=90×103 W25 m/s=3600 N

因货车匀速行驶，故此时货车受到的阻力：

f'=F'=3600 N

由f=0.1G可得，货车总重：

G'=f'0.1=3600 N0.1=3.6×104 N

货车最多可装载货物的重力：

G货=G'-G=3.6×104 N-2.5×104 N=1.1×104 N

货车最多可装载货物的质量：

m货=G货g=1.1×104 N10 N/kg=1.1×103 kg=1.1 t

答案：（1）2.5×105 J （2）1.1 t

【溫馨提示】计算动力做功及其功率时，要注意两点：

（1）物体在动力F的作用下，沿动力F的方向上移动的距离为s，则动力F做功：W=Fs；动力做功的功率：P=Wt=Fst。在已知阻力f的情况下，可利用二力平衡条件由阻力f而确定动力F。

（2）若物体沿动力F的方向以速度v做匀速直线运动，则动力F做功的功率：P=Fv。在计算题中，利用此式时应有推导过程，即P=Wt=Fst=Fv。

例11.新建成的牛栏江引水济昆工程，是将水从海拔较低的德泽水库，引到海拔较高的盘龙江上游。每年对昆明提供5.67亿立方米的水，耗电及相关运行费用已近10亿元。所以，珍惜水资源是每一个市民应尽的责任和义务。此工程是在德泽水库库区建泵站，将水泵入山坡高处的水池后，再自流回昆明。泵站的提水高度约220 m，每秒流过水流横截面的水量是18 m3。在泵站提水过程中，水泵连续正常抽水1 h，水泵对水所做的功是

J，做功的功率是

W。（g取10 N/kg，ρ水=1.0×103 kg/m3）

解析：利用密度公式的变形式m=ρV求出水泵1 h抽水的质量；水泵对水所做的功等于克服水的重力所做的功，利用公式W=Fs=Gh=mgh求出水泵对水所做的功；利用功率公式求出做功的功率。

由每秒流过水流横截面的水量是18 m3可得，水泵1 h抽水的质量：

m=ρVt=1.0×103 kg/m3×18 m3×3600 s=6.48×107kg

水泵对水所做的功：

W=Fs=Gh=mgh=6.48×107 kg×10 N/kg×220 m=1.425 6×1011 J

水泵对水做功的功率：

P=Wt=1.425 6×1011 J3600 s=3.96×107 W

答案：1.425 6×1011 3.96×107

【温馨提示】对于“提升”类问题，将物体提升某一高度：

（1）计算克服重力所做的功时，克服重力做功：W=Gh=mgh。

（2）计算动力所做的功（或人、机械对物体所做的功）时，若不能直接计算，可利用动力做功与克服阻力所做功的关系求解，仅克服重力做功时，W=Fs=Gh=mgh；考虑克服阻力做功时，W=Fs=WG+Wf。

例12.小华参加体育中考的跳绳考试时，她在1 min内连续跳了150次，获得跳绳项目的满分。已知小华的质量为45 kg，跳起时重心升高的平均高度为4 cm，g取10 N/kg。求：

（1）小华跳一次所做的功；

（2）小华跳绳时的平均功率。

（3）若小明在1 min内连续跳了100次，试问：成绩好的小华做功一定比小明多吗？说出你的理由。

解析：跳绳时人做的功等于克服自身重力所做的功。利用功的公式W=Gh求出跳一次做的功；跳一次做的功乘以跳的次数即为跳150次所做的功，再利用功率公式求出平均功率。

（1）跳绳一次所做的功：

W1=Fs=Gh=mgh=45 kg×10 N/kg×0.04 m=18 J

（2）跳绳150次所做的功：

W=nW1=150×18 J=2700 J

跳绳时的平均功率：

P=Wt=2700 J60 s=45 W

（3）相同时间内做功多少与重力大小、跳起高度、次数有关，而本题中只明确了次数的关系，重力和高度的关系均不明确，无法得出明确的结论，所以成绩好的小华，做功不一定多。

答案：（1）18 J （2）45 W （3）见解析

【温馨提示】因每次跳起时重心升高的高度不尽相同，由跳起时重心升高的平均高度求得的功率即为平均功率。

例13.如图8所示，用F=10 N水平拉力，使重为100 N的物体A，沿水平方向在1 s内匀速直线运动了0.5 m，则物体受到地面的摩擦力为

N，拉力F的功率为W。

解析：物体做匀速直线运动，动滑轮对物体的拉力F'和物体受到地面的摩擦力是一对平衡力；有2段绳子承担摩擦力，根据F=12f求出物体受到地面的摩擦力；绳子自由端移动的距离是物体移动距离的2倍，即s=2s'，根据功的公式求出拉力所做的功，再根据功率公式求出拉力的功率。

有2段绳子承担物体所受的摩擦力，摩擦力：

f=2F=2×10 N=20 N

绳子自由端移动的距离：

s=2s'=2×0.5 m=1 m

拉力所做的功：

W=Fs=10 N×1 m=10 J

拉力F的功率：

P=Wt=10 J1 s=10 W

答案：20 10

例14.如图9所示，一滑轮下端悬吊一个重为50 N的物体，在拉力F的作用下使物体在2 s内匀速上升了2 m，不计滑轮、绳的重力和摩擦，则拉力F=

N，滑轮上升的速度v=

m/s，拉力F所做的功W=

J。

解析：根据动滑轮的特点由拉力F与物重G的关系求出拉力；利用速度公式求出滑轮上升的速度；利用功的公式求出拉力F所做的功。

根据动滑轮的特点可知，拉力F=2G；拉力F移动的距离是物体移动距离的二分之一，滑轮在2 s内移动的距离为1 m。

拉力：F=2G=2×50 N=100 N

滑轮上升的速度：v=st=1 m2 s=0.5 m/s

拉力F所做的功：W=Fs=100 N×1 m=100 J

答案：100 0.5 100

【温馨提示】對于“滑轮”类问题，无论水平使用还是竖直使用滑轮组，应在弄清滑轮组的结构的基础上，找出拉力与阻力的关系和二力移动距离的关系，水平使用时阻力为摩擦力，竖直使用时阻力为被提升重物（包括动滑轮）的重力；根据这两个关系，利用功的公式和功率公式进行有关计算。

例15.图10是某种升降电梯工作原理图，它由轿厢、配重、缆绳、滑轮和电动机等部件组成，连接轿厢的两根缆绳非常靠近，轿厢空载时的重量是3100 N，配重的重量是3000 N，某次电梯载货量的重量是1000 N，当电梯匀速上升15 m，所用的时间为10 s，不计缆绳重力和一切摩擦阻力，在此运动过程中，求：

（1）轿厢的速度大小；

（2）配重重力对配重做的功；

（3）电动机的功率至少是多大？

解析：利用速度公式求出轿厢的速度；由图可知，通过定滑轮拉轿厢，当电梯上升15 m时，配重下降15 m，利用功的公式求出配重的重力对配重所做的功；分析轿厢受力确定电动机对轿厢的拉力，利用功率公式的导出式P=Fv求出电动机的功率。

（1）轿厢的速度：

v=st=15 m10 s=1.5 m/s

（2）配重下降的距离h=s，配重重力对配重做的功：

W=Gh=3000 N×15 m=4.5×104 J

（3）当轿厢匀速上升时，轿厢竖直向下受到自身的重力和载货的重力，竖直向上受到配重拉力和缆绳的拉力，则缆绳对轿厢的拉力：

F=G箱+G货-G配重=3100 N+1000 N-3000 N=1100 N

电动机的功率至少为：

P=Wt=Fst=Fv=1100 N×1.5 m/s=1650 W。

答案：（1）1.5 m/s （2）4.5×104 J （3）1650 W

【温馨提示】电动机的“至少”功率，是指“不计缆绳重力和一切摩擦阻力”情况下的功率。电动机的实际功率一定大于这个“至少”功率，因为电动机在工作过程中不可避免地要克服缆绳重力和摩擦阻力做功。