星体的对偶Orlicz Hausdorff度量*

冯 丽 容

(重庆师范大学 数学学院，重庆 401331)

星体的对偶Orlicz Hausdorff度量*

冯 丽 容

(重庆师范大学 数学学院，重庆 401331)

星体;对偶Hausdorf度量；对偶LpHausdorff度量；对偶Orlicz Hausdorff度量

1914年，Hausdorff引进了Hausdorff度量[1-2]：假定(X,d)是一个度量空间，那么对于空间X上的非空有界子集K，L的Hausdorff度量如下：

hK(u)=h(K,u)=max{(u,x):x∈Sn-1}

其中，(u,x)表示u和x在in上的内积.

1985年，Vitale[3]引进了关于K，L∈Kn的Lp(1≤p<∞)Hausdorff度量，定义如下：

1≤p<∞

最近，Jin，Leng和Guo[4]引进了所有凸体集体上的Orlicz Hausdorff度量.设φ:[0,∞)→[0,∞)是一个严格增凸函数且φ(0)=0,对于K，L∈Kn的Orlicz Hausdorff度量定义如下：

μ(du)≤φ(1)

Jin，Leng和Guo[4]将Orlicz Hausdorff度量与经典Hausdorff度量和LpHausdorff度量进行比较；令￡=φ:[0,∞)→[0,∞)是一个严格增凸函数且φ(0)=0,则有：

命题A 设φ∈￡,K，L∈Kn,则δφ(K,L)≤δ∞(K,L).

命题B 设φ∈￡,K，L∈Kn,则δφ(K,L)≥δ1(K,L).

如果in上的一个集合是紧集(内部是闭的)，则称这个集合是一个体；如果称一个体关于原点是星形的即满足原点与K的边界点的连线段在K的内部；若K是非空、紧的且关于原点是星形的，那么它的径向函数ρK(·)定义如下：

ρK(u)=max{λ≥0，λu∈K}

其中，u∈Sn-1使得通过u的直线与K相交.

,

1≤p<∞

此处引进了在所有星体上的对偶Orlicz Hausdorff度量的概念，并介绍了星体的对偶Orlicz Hausdorff度量性质.

,L)=infλ>0:

下面为本文在对偶Orlicz Hausdorff度量定义上得到的主要结果.

1 准备工作

定义在in×in上，d满足下列4个条件：

i)d(K1,K2)≥0；

ii)d(K1,K2)=0⟺K1=K2；

iii)d(K1,K2)=d(K2,K1)；

iv)d(K1,K3)≤d(K1,K2)+d(K2,K3)，K1，K2，K3∈in.

称函数d(K1,K2)是一个度量.

2 主要结果及证明

,L)=infλ>0:

μ(du)在区间(0,∞)上是严格递增的，因此得到

,L)=λ0⟺

(1)

,L)=infλ>0:

μ(du)=φp(1)

由此可见

1=(φp)-1(φp(1))=

因此，

对于∀ε>0，t1，t2∈[0,∞),只要d(t1,t2)<ε,就有d(φ(t1),φ(t2))<ε，因此φ是一致连续函数,于是

μ(du)=φp(1)

由此可见

证明 如果K=L,结果显然成立.假设K≠L，因为φ-1(·)是递增的，由Jensen不等式可得

,L)≤L≤

其中，1≤p≤q≤∞. 对于等号，设u∈Sn-1,有

(ρK(·)和ρL(·)是连续的)因此，如果ρK(·)=ρL(·)+γ，γ>0,K由L平行γ得到.

φ

那么

3 对偶Orlicz Hausdorff度量的性质

μ(du)=φi(1)

同时，由

μ(du)=

因此必有λ1=λ2.

μ(du)=φ2(1)

因为φ1(1)≤φ2(1),由此可见

μ(du)≤

故有λ1≤λ2.

μ(du)=φi(1)

则{λi}有一个收敛子列，依然记为{λi},使得λi→λ′.

μ(du)=φi(1)

于是

μ(du)=φ0(1)

[1] SCHNEIDER R,CONVEX B.The Brunn-Minkowski Theory[M].New York:Cambridge University Press,2014

[2] GARDNER R J.Geometric Tomography[M].New York:Cambridge University Press,2006

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责任编辑：李翠薇

Dual Orlicz Hausdorff Metric for Star Bodies

FENG Li-rong

(School of Mathematical Sciences, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

star bodies; dual Hausdorff metric; dualLp; Hausdorff metric; dual Orlicz Hausdorff metric

2016-03-14;

2016-05-09.

国家自然科学基金天元项目(11326073).

冯丽容(1990-)，女，重庆市万州区人，硕士研究生，从事几何分析研究.

10.16055/j.issn.1672-058X.2017.0002.006

O159

A

1672-058X(2017)02-0026-05