高考数学几个基本问题的再认识

葛 军

高考数学几个基本问题的再认识

葛 军

要想轻松应对高考数学，需要反思几个基本问题。教师应当对高考的属性有所认识，仔细研读考试说明，指导学生熟练掌握教材内容，从“四识”的角度研读经典题型，对基本知识与技能达到“熟与细”的境界。

高考数学；应考分析；教学反思

纵观现今高考数学的教与学，我们看到高中生学习数学的负担并未减轻，而且近年来总有“好心人”借用我的名义谈论如何应对高考，因此，我觉得有必要再与大家共同探讨高考数学的几个基本问题:高考考什么？我们当前在高考数学教与学中缺失的是什么？学生虽然做了大量的习题但见效不大的根源在哪儿？能否做到轻松迎考？

一、高考数学考试是属于选拔性的考试还是结业考试？

要回答上面的诸多问题，首先需认识清楚高考数学考试是属于选拔性的考试还是结业考试。若是后者，仅需设定一个达标分数线，至多再设一个“A”等第。当然也可以不设“A”等第，因为测试的是每个学生是否符合高中三年数学学习的基本要求，这样的测试不需要在意区分度。若是选拔性考试，则需要侧重于区分度，且要设计相对合理的阶梯式区分要求。倘若既是结业考试又是选拔性考试，即两者兼顾，则首先需要贯彻区分度。因为，如果不将区分度放在首位，会出现学生的数学成绩可能都较高，但因平时数学学习水平不太高，导致学生不适应高要求的大学学习的状况，这样反而损伤了此类学生向上发展的趋向。因此，我希望大家对这个问题必须要有一个清醒而明确的认识。

二、高考数学考什么？怎样考？

当有人说在“撸袖”搞高考数学应试时，我总以为大家懂得应试，即应对考试。所谓应对考试就是针对高考必考的知识点与方法进行有针对性和有效性的训练。但在多次的交流中 我发现，不少人将“应试”一词曲解了，曲解为反复地、大量地做练习（不需要考虑练习题质量的），曲解为搞“猜题押宝”等不恰当活动。

其实，对照江苏省高中数学的教学要求以及考试说明，是容易知道相关考试内容的难度要求的。例如，填空题前6题，大概覆盖了集合基本运算、简单概率计算、统计知识（样本关系、直方图）、复数运算、流程图、函数基本性质（单一性质的理解）、立体几何中的体积计算等知识点。再如，解答题的第15题、第16题一定是简单的基本题，且依据考试要求，其中的立体几何题也是容易题，是期望所有的考生可以准确解答的问题。

如果仔细分析近年来考卷的问题设定特点，容易发现文理合卷160分的试题难度可以分为五级，第一级难度题是填空题的第1至第6题；第二级难度题是填空题的第7至第9题，解答题的第15题、第16题；第三级难度题是第10和11题，解答题的第17题；第四级难度题是第12、13题，第18题；第五级难度题是第14题，第19和20题，这里是从题目的整体性来说的。需要特别指出的是:第18题的前一半的问题、第19题与第20题中第一问的难度仅是第三级难度，一般仅需认真读题，将题干中的基本数据代入便可得到解答。我在这里列出这样的粗浅认识，只是想引发大家分析理解近年来的考卷，做到心中有数，有的放矢，我的认识并非完全合理，但可以作为参考，去指导不同的学生形成各自的答卷策略，以利于有效的高考应试（如:“先做会做的”“会做的一定要做对”），并取得最优的结果。

三、高考数学教学中存在着三大问题

首先，教材不知在何处。因近年来“学案”的大力推行，有些学生高中三年未将教材完整读过一遍，书上定理公式未亲自证过一遍，例题未做过一遍并对照规范解答验视一遍，书上练习、习题未做过一遍；到了高三本应将上述“四个一遍”再做一遍的，可事实上这些学生却将教材束之高阁，而做起了所谓的高考复习题。有的学生对教材不熟悉，一旦考不好，不是反思自己的学习方式，而是将怨气撒到教材上，因此就有了烧教材的坏现象。

其次，心中无“经典”。若去问学生，请他回忆一道必考型的立体几何证明题，不少学生未必可以顺畅地说出。但愿高三数学教师是能够顺畅地说出一些题的。有的学生对经典题型的漠视已经到了麻木无知的地步，但同时又陷入了大量的“新题”题海之中，陷入了在一些“专家”的误导之下追觅语义不详、逻辑错误、人为拼凑的“创新”题中。若问学生，是否做过以往的高考题？一部分学生回答是做了，一部分回答是考过的题不是不考吗，这还要做？若问:这样的题做了几遍？回答是一遍。还能回忆这些题是什么样子吗？得到的答案是记不得了。于是，我再无勇气追问诸如“有几种解法？”“涉及到哪些知识点？”“每个解法是如何想到的？”“是书上哪两三道基本题整合而成的？”等等问题了。古人云，一事习得三遍熟！可懂得这样道理的教师和学生却不见得有很多。

最后，教师教学偏重题量而忽视“四识”。有的教师热衷于让学生大量地“认”题目，而缺乏热情引导学生去“识”题目。教师的教学本应引导学生至少达成“四识”:一识规范解答；二识求解解法，这里所说的解法一定是基本的解法，不是人为刻意牵强的解法，这样学生可以从中选择适合自己的解法加以巩固；三识解题关键、知识与方法；四识题是从哪里来的，或者说这道题是怎样生成的，即要知道这一道题的变化，并进一步思考一般化的问题又该如何解决。虽然“让学生多认些题”的初衷是好的，但是凡不在“识”的层面上的“认”，都只是暂时记忆的（甚至是瞬时的），是靠不住的，会让学生吃尽题海的苦头。更为可怕的是，学生在经历了“怪题”（乃至“错题”）的不良刺激后，难以分得清“怎样的题才是高考题”，久而久之，出现了猜题押宝的消极心态，也就不足为怪了。

四、时下复习在乎“熟与细”

我们都知道一个道理:一道题做“透”了，要远胜于做一百道题；判断一个数学题是否是优质题，其标准是看它能否衍化出新类型的题来。但是，道理虽懂，我们却未能落实到位。所谓落实到位就是努力精进，做到“熟与细”的地步。这里的“熟”，是指能用多种方式表述基本知识，能够举出若干容易的例子来说明基本方法的运用；对多种基本思路、基本解法都能明了于心。所谓的“细”，是指对于“简单的性质、定理、例题、问题”的基本思路、基本环节需明晰，对基本过程的每一步表达都清楚、明白。要达到“熟、细”，需要不忘初心，回归到关注经典题，做到题题有“四识”，步步有细节。

对于这道题目，一识正确解答，每个计算环节都应准确无误。二识三种基本解法，解法一是代数解法、运算较繁；解法二可以利用平行性质将问题转化为横坐标之间的代数关系，运算简捷；解法三可以利用椭圆的参数方程进行三角运算。三识基本知识与方法，本题包含的基本知识与方法有二次方程根与系数的关系、两根之差与系数的关系、整体运算、参数方程、三角运算、平行线性质等。四识习题的本质，此题本质是直线与二次曲线的关系，解题中需要两次思考这样的关系，学生需要有“同理”的思维意识 （“同理”的思维意识是必考的）。关于此题的一般性思考有:是否在其他顶点都有类似的结论？若是不过顶点，而是经过x轴上一点的直线，结论如何呢？反过来呢，即满足结论的直线有几条？等等。在此思考的过程中，就可以产生新的有意义的试题了。上述的解析几何题，可以认为是高考解析几何中中档偏上难度的问题。

再如，一道经典的函数题:设函数f（x）=ex-1-x-ax2，（Ⅰ）若 a=0，求 f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0 时 f（x）≥0，求 a 的取值范围。

对于这道题目，一识此题的解答:（Ⅰ）a=0时，f（x）=ex-1-x，f′（x）=ex-1。当 x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0；当 x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0。 故 f（x）在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加。 （Ⅱ）f′（x）=ex-1-2ax，由（Ⅰ）知 ex≥1+x，当且仅当 x=0时等号成立，故f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，从而当 1-2a≥0，即 a≤时，f′（x）≥0（x≥0），而 f（0）=0。于是当 x≥0 时，f（x）≥0。 由 ex＞1+x（x≠0）可得，当 a＞时，f′（x）＜ex-1+2a（e-x-1）=ex（ex-1）（ex-2a），故当 x∈（0，ln2a）时，f′（x）＜0，而 f（0）=0，于是当 x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0。综合得a的取值范围为（-∞，］。

二识此题的第二种基本解法，即对函数g（x）=f′（x）=ex-1-2ax 求导，即 g′（x）=ex-2a（x≥0），这里g（0）=0，接着通过 g′（x）的正负性推得 g（x）的单调性，进而得到 g（x）的正负性，从而推得 f（x）的正负性（读者可以尝试写出此解法的完整解答）。

三识基本知识与方法。在此题解答的过程中，利用了基本不等式ex≥1+x，这是高考必考的知识点，在解法一中运用此不等式进行了估算，将-x用e-x-1来放缩，这是一个基本的代换手法。在解法二中，认识到导函数依然是一个新的函数，可以继续求导数，从而逐步逆推得到答案。连续求两次导数，这也是高考函数解答题中要求的，熟悉这两个解法，就可以把握高考中此类问题了。

四识此类题的变化，如在2017年的江苏考试说明中类似的问题，除了复杂性以外，其基本思路是相同的。

限于篇幅，仅给出上述两例，权当抛砖引玉。教师和学生只要“熟、细”解答与题根，掌握变化的道理和思路，就可以坚定信心，坦然面对各类变化，展现所学，轻松迎考。

G633.6

A

1005-6009（2017）35-0020-02

葛军，南京师范大学附属中学（南京，210003）校长，教育学博士，南京师范大学兼职教授，硕士生导师。