原子干涉仪相对论效应的理论分析

刘琳霞，董蕴华



原子干涉仪相对论效应的理论分析

刘琳霞，董蕴华

（河南工学院，河南 新乡 453003）

利用高灵敏度的原子干涉仪开展广义相对论效应的实验研究，需要考虑各种相对论效应对原子干涉的影响。结合量子力学与广义相对论，分析了原子干涉仪中的广义相对论效应，以及相对论效应中的引磁效应。初步分析计算结果表明，在牛顿力学框架下，地球自转引起原子的科里奥利加速度的量级为~10-4g，其相对论修正，即引磁效应的量级约为~10-13g。

原子干涉仪；相对论效应；原子波

0 引言

原子干涉仪的工作原理类似于光学干涉仪，它是利用物质波的特性来实现干涉的。但物质波的原子运动速度远小于光速，其相干性较好，因此，原子干涉仪比光学干涉仪的灵敏度更高。由于其高灵敏度性，原子干涉仪在精密测量领域有广泛的应用,如牛顿引力常数、重力加速度与转动、导航定位等方面[1]。高精度的原子干涉仪也用来开展广义相对论效应的实验检验，包括等效原理的实验检验、引力波的探测等[2]。

对于检验广义相对论效应的实验，需要考虑各种广义相对论效应对原子干涉的影响。目前，虽然已有不少文献分析和讨论了原子干涉仪中的广义相对论效应，但这些工作只关注某些特定的相对论效应[3]。在本文中，我们介绍了原子干涉仪广义相对论效应及其研究方法，并结合量子力学与广义相对论，初步分析了广义相对论中的引磁效应对原子干涉的影响。

1 原子干涉仪的广义相对论效应

1.1 研究现状

对于原子干涉中广义相对论效应的研究，早期的研究者有Varju小组[4]，主要是为解释原子或中子干涉仪中的相对论效应。但是，要想全面分析原子干涉仪中与自旋相关的相对论效应，需要考虑实验过程中激光与原子自旋的耦合效应。Wajima 和 Anandan等人分析了量子干涉仪中相对论的引力效应[5]，主要是用来估算中子干涉仪中由地球引力场的相对论修正部分带来的干涉相移。Audretsch小组考虑了利用原子干涉仪测时空弯曲[6]，主要关注的是牛顿引力的主要阶效应。Borde等人讨论了物质波干涉仪与弱引力场作用的相对论相移，但方程的计算非常困难，且不能直接计算出与原子相关的广义相对论效应。后来的Dimopoulos小组，利用广义相对论分析了无自旋原子的干涉相移[7],他们考虑了光子与原子的相互作用，由于计算非常复杂，借助计算机平台，给出了忽略地球自转效应的干涉相移标量表达式。

以上对于原子干涉仪相对论效应的讨论，都不是针对特定的、切实可行的实验，而是侧重于计算方法。因此，对于原子干涉仪，除了需要研究有限光速效应的分歧，还要研究适用于原子三维运动的相对论理论计算模型，来分析具体的某个实验。

1.2 引磁效应

最近实验证实了广义相对论预言的引磁（时空拖曳）效应。当一个宏观物体(尤其是大质量物体)旋转时，会引起周围时空的扭曲,这在形式上类似于电动力学的磁现象,根据广义相对论，这种效应被称为引力磁场（引磁）效应。引磁场可通过两种方式影响物体的运动，一是产生一个作用在旋转物体质心的引磁力，改变物体的运动轨迹[8]；二是产生一个力矩作用在旋转物体上，使物体转动轴的指向在自由落体过程中发生改变[9]。这些经典系统的理论和实验研究进展，启发人们开始思考经典时空背景引力场中的量子系统的引力效应，如原子干涉仪实验。原子干涉仪实验可高精度地检验等效原理和其他微弱的广义相对论效应。目前对量子系统引磁效应的研究工作较少，初步的估计表明引磁效应对量子系统的影响非常微弱，因此实验上利用量子系统对引磁效应进行探测也应该十分困难。

1.3 计算方法

原子干涉仪通过激光操控原子测量引力场，是非常独特的量子系统。引力场既影响原子的运动，也改变着激光的相位。关于原子干涉仪相对论效应的常用计算方法是由Kasevich提出的测地线计算法[10]，这一方法通过在原子干涉相位的半经典近似计算基础上直接引入相对论的修正。早期原子干涉仪的实验精度不是很高，通常采用半经典近似法计算干涉相位，这一方法在处理原子自由演化时，将原子作为点粒子计算其经典轨迹。

考虑相对论效应时，Kasevich将原子和光子的经典轨迹用测地线代替，从而可以计算干涉仪的相对论效应。这种半经典近似方法的精度一般都不高，采用测地线方程虽然包含了相对论效应，但原子毕竟不能作为点粒子，原子的演化应由量子力学描述，原子波函数的极值点可近似为经典轨迹。高精度计算干涉仪相位的方法需采用Borde的ABCD矩阵法计算原子演化的波函数[11]。

2 引磁效应计算分析

原子干涉仪的原子波函数的演化方程为

Dirac拉氏量为

相互作用表象下的哈密顿算符为

对于低速运动的质量源，如转动的地球，线性化场方程和洛伦兹条件进一步写为

引磁效应源于地球的自转，由上式初步估计，在牛顿力学中，地球自转引起原子的科里奥利加速度的量级为~10-4g，其相对论修正，即引磁效应的量级约为~10-13g。

结合原子干涉仪的工作原理，如果要严格计算引磁效应产生的相移，其计算过程非常复杂，需要借助计算软件对过程进行编程计算，后续研究工作正在进行。

原子干涉仪的相对论效应可分为狭义相对论效应和广义相对论效应。在实验检验方面，狭义相对论效应由光速的有限性引起，通过改变原子初速度，可直接检验。广义相对论效应的主要项由引力的非线性特征引起，主要效应为牛顿引力效应，实验探测主要采用差分测量方式。

3 结论

分析了原子干涉仪中的相对论效应和计算方法，主要计算了原子干涉仪中由地球自转引起的引磁效应。利用弯曲时空中的协变狄拉克方程，结合原子干涉仪的工作原理，初步估算出了引磁效应的量级约为~10-13g。虽然初步计算结果表明引磁效应比较小，但对于高精度的原子干涉仪相对论实验还是有一定的影响，需要更严格的计算。

（责任编辑王 磊）

[1] Borde C J. Atomic clocks and inertial sensors[J]. Metrologia.2002,39(5):435-463.

[2] Herrmann S, Dittus H, Lammerzahl C. Testing the equivalence principle with atomic interferometry[J]. Class. Quantum Grav. 2012,29(18):329-346.

[3] Dimopoulos S, Graham P W, Hogan J M, Kasevich M A. Testing General Relativity with Atom Interferometry[J]. Phys. Rev. Lett. 2007,98(11):111102-111105.

[4] Varju K, Ryder L H. Comparing the effects of curved space and noninertial frames on spin 1/2 particles[J]. Physical Review D, 2000,62(2):1-5.

[5] Wajima S, Kasai M, Futamase T. Post-Newtonian effects of gravity on quantum interferometry[J].Physical Review D, 1997,55(4):1964-1970.

[6] Audretsch J, Marzlin K P. Ramsey fringes in atomic interferometry: Measurability ofthe influence of space-time curvature[J]. Physical Review A,1994,50(3):2080-2095.

[7] Dimopoulos S, Graham P W, Hogan J M. General relativistic effects in atom interferometry[J]. Physical Review D, 2008,78(4):298-317.

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[10] Kasevich M, Chu S. Atomic interferometry using stimulated Raman transitions[J]. Physical review letters, 1991,67(2): 181-184.

[11] Borde C J, Houard J C, Karasiewicz A. Relativistic phase shifts for Dirac particles interacting with weak gravitational fields in matter—wave interferometers[J]. Lecture Notes in Physics,2001,562:403-438.

Theoretical Analysis of the Relativistic Effect of Atomic Interferometer

LIU Lin-xia，et al

(Henan Institute of Technology, Xinxiang 453003, China)

The effects of generalized relativistic effects on the atomic interferometer need to be considered, by using the highly sensitive atomic interferometer to carry out the experimental study of the general relativity effect. Combination of quantum mechanics and general relativity, the generalized relativistic effect in the atomic interferometer and the magnetic effect in the relativistic effect are analyzed. The results of preliminary analysis and calculation show that，in the Newtonian mechanics, Carioles acceleration of the atom causing by the rotation of the earth is about 10-4g. The relativistic correction, namely magnetic effect magnitude is about 10-13g.

atomic interferometer; relativistic effect; atomic wave

O412

A

1008–2093(2017)05–0001–04

2017-08-28

河南省高等学校青年骨干教师资助计划项目(2014GGJS-132)

刘琳霞（1978―），女，河南开封人，副教授，博士，主要从事引力理论和实验研究。