杏子河流域地貌多重分形特征与传统地貌量化参数关系研究

王 民，李占斌，崔灵周，李 鹏

(1. 河南省水利勘测设计研究有限公司，郑州 450016；2.中国科学院水利部水土保持研究所黄土高原土壤侵蚀与旱地农业国家重点实验室，陕西 杨凌 7121002；3.温州大学生命与环境科学学院，浙江 温州 325027；4.西安理工大学西北水资源与环境生态教育部重点实验室，西安 710048)

流域地貌形态特征量化研究一直是地貌学研究的热点问题之一。数学物理方法首先被引入到流域地貌的形成、演化研究中，并在传统地貌特征量化和流域水系定量关系的研究上得到了广泛的应用。流域地貌的定量研究始于R.E.Horton[1]，运用地貌形态数量分析方法，对美国几十个流域进行研究，发现流域水系的定量关系。S.A.Schumm[2]、A.N.Stranhler[3]和A.E.Scheidegger[4]等将数学物理方法在流域地貌以及整个地貌学研究中进行了推广应用。陈浩、秦富仓等[5,6]分别对黄土塬区及黄土丘陵区典型沟道小流域地貌形态要素之间的关系进行了研究，发现各地貌形态要素之间存在着内在联系，且这种联系的密切程度在各要素之间有明显的差异。张丽萍等[7]建立了沟壑密度随切割深度变化的理论极值模型和相应地貌阶段的函数关系。传统数学物理方法虽应用广泛，但是对流域地貌形态的整体性和综合性特征量化存在一定的局限性。分形理论的引入则突破了流域地貌特征传统量化方法的局限，开辟了新的研究思路。杨玉荣[8]对线维数、盒维数一、盒维数二等3种维数的性质和在地貌中的特点进行了分析。邹宁等[9]将分形布朗运动模型FBM引入地貌分形研究。肖高逾等[10]运用分形布朗运动模型对地貌形态模拟进行了研究。崔灵周等[11,12]基于计盒法和GIS技术，对岔巴沟流域地貌形态分形特征进行了量化研究。综上所述，现有流域地貌量化参数各具特色，但流域地貌形态多重分形特征及其与传统地貌要素之间的关系研究还很少涉及。

为此，本文以黄土高原丘陵沟壑区的典型流域杏子河为研究对象，采用流域地貌多重分形模型及其实现方法，利用杏子河流域的地貌数字高程DEM，对该流域中的12个子流域地貌多重分形典型参数地貌奇异指数分布范围Δα进行了计算并分析了其空间分异规律；分析了Δα与沟谷密度、平均坡度、相对高差、流域主沟比降、地表粗糙度和平均地形起伏度等传统地貌量化参数的关系。本研究对于有效地解决地貌学中的复杂性问题，全面掌握各种地貌现象的特征及规律具有非常重要的意义。

1 杏子河流域概况

杏子河发源于白于山南坡，为延河的一级支流，流域位置在北纬36°46′-37°12′，东经108°41′-109°21′，全长106 km，流域面积1 486.1 km2，流域高差776.0 m，沟壑密度4～6 km/km2，流域内以梁峁状丘陵为主，地面切割破碎，丘陵起伏，为典型的黄土梁峁丘陵沟壑区。依据流域内地貌的形态特征、水流状态及物质组成等特征，杏子河流域划分为河源区、梁峁丘陵区、宽谷梁峁丘陵区等3个侵蚀地貌区。河源区位于杏子河上游，地势高差大，地貌以宽梁大峁为主，梁顶平缓，峁坡陡峻、坡面长，沟谷深窄。梁峁丘陵区位于杏子河中游，该区地貌层状结构明显，河谷内第2级阶地宽阔平坦，梁峁坡的坡形以直形为主，在沟头地段有复形坡分布，沟头多掌地，坡面上浅沟发育。宽谷梁峁丘陵区位于杏子河流域下游，梁窄峁小，沟谷较中下游开阔，沟头有掌状凹形坡地分布，但规模较小。

2 研究方法

2.1 研究子流域选取

根据杏子河流域的地貌类型及空间分布特点，分别在杏子河流域的上游、中游和下游共选取了12个子流域作为研究对象，分别代表了河源区、梁峁丘陵区和宽谷梁峁丘陵区，子流域的选取具有一定的代表性。在上游河源区选择了韩家畈和王克浪沟2个子流域，面积分别为143和129 km2；在中游梁峁丘陵区选择牛寨子沟、阳砭沟、李咀子沟、玉皇沟、岔路川沟和庄科沟等6个子流域，其中岔路川沟子流域面积最大为139 km2，李咀子沟子流域面积最小为12 km2；下游区宽谷梁峁丘陵区选择了杨咀沟、谢屯沟、周屯沟和纸坊沟等4个子流域，谢屯沟子流域面积最大为74 km2，纸坊沟子流域面积最小，仅8 km2。杏子河12个子流域DEM和空间分布见图1。

图1 杏子河流域12个子流域DEM及空间分布Fig.1 Spatial distribution and DEM of 12 first-rank sub-watersheds in Xingzi River Watershed

2.2 流域地貌多重分形原理及参数意义

在分形理论中，对于许多具有非均匀和奇异性的分形体，一个维数无法描述其全部特征，因而需要用多重分形测度来表示。在研究分形体上的概率测度μ的分布时，可以把分形体划分成尺度为r的若干个子单元，用μi表示第i个单元中的测度μ的平均值。每个单元的平均测度μi与尺度r之间存在如下的标度关系：

μi∝rαi

(1)

式中：αi为奇异指数。

若干单元具有相同的奇异指数α，则它们的测度可用μ(α)表示。用Fα表示这些具有相同奇异指数α的单元所构成的子集合，则Fα的s维Hausdorff测度定义为：

(3)

而且，s维Hausdorff测度Hs[Fα,μ(α)]满足如下的关系：

(4)

式中：f(α)是子集合Fα的Hausdorff维数。若在区间[α,α+dα]内，测度为μ(α)的单元的数目为N(α)时，则有：

Hs[Fα,μ(α)]=N(α)sr

(5)

从而：

(6)

根据式(4)和(6)，只有当：

N(α)∝r-f(α)

(7)

时，才可使Hs[Fα,μ(α)]取有限值，由此可得：

(8)

α是不同子区域的奇异指数，其值大小由相应子区域生成单元的测度分布决定。f(α)是具有相同奇异指数α的子区域所构成子集的分维，由式(7)可以看出其大小与奇异指数为α的子区域数量有关。地貌奇异指数α表征了流域内部各子区域地貌不规则、不均匀和复杂程度，即地貌形态差异性分布。多重分形指数分布范围Δα[13]定量表征了分形体内最大概率子集与最小概率子集的对比关系，即分形体内部的差异性程度及变化范围，Δα是这种差异性变化幅度的定量刻画，其值愈大表明地貌内部的差异性愈大，反之则愈小。

3 结果分析

根据文献[14,15]中所述的多重分形计算模型和实现方法，计算出杏子河流域上游、中游和下游共12个子流域地貌奇异指数分布范围Δα和上中下游Δα平均值(见表1)。以杏子河12个子流域的DEM作为数据源，通过ArcGIS软件的空间分析、三维分析和属性分析等功能，计算出12个子流域的沟谷密度、平均坡度、相对高差、流域主沟比降、地表粗糙度和平均地形起伏度等传统地貌量化参数(见表1)。

表1 杏子河流域地貌多重分形特征参数和传统地貌量化参数计算结果Tab.1 The parameters of multi-fractal feature of geomorphology and traditional geomorphology quantizationparameter of 12 typical sub-watershed in Xingzi River watershed

3.1 流域不同空间部位地貌奇异指数分布范围Δα分析

从图2中可以看出，流域地貌奇异指数分布范围从上游到下游呈下降趋势，即由上游的韩家畈0.168 8下降至纸坊沟的0.139 2，下降幅度为17.5%。地貌奇异指数分布范围平均值以上游最大，为0.171 2，韩家畈到王克浪沟有小幅增加，增加幅度为2.9%；杏子河中游Δα平均值次之，为0.161 7，从牛寨子沟的0.163 9到庄科沟0.162 0呈下降趋势，降幅为6.7%；下游Δα均值最小，为0.146 1，从杨咀沟的0.149 6到纸坊沟的0.139 2呈下降趋势，降幅为7.0%。杏子河流域的Δα变化趋势表明该流域地貌形态变化自上游向下游复杂性逐步减弱。

图2 杏子河流域地貌奇异指数分布范围Δα动态变化Fig.2 The dynamic variation of the distribution range of singularity exponent of geomorphology of Xingzi River watershed

3.2 地貌奇异指数分布范围Δα与传统地貌量化参数关系

从图3中可以看出，地貌奇异指数分布范围Δα与地表粗糙度、平均坡度、平均地形起伏度呈正相关，其关系可用线形函数描述，决定系数最大的是地表粗糙度，为0.880 7。地貌奇异指数分布范围Δα与流域主沟比降表现出负相关，相关系数为0.553 3；与相对高差和沟谷密度之间没表现出明显的相关关系。

图3 杏子河流域地貌奇异指数分布范围与传统地貌量化参数关系图Fig.3 The relationship between the distribution range of singularity exponent of geomorphology multi-fractal spectrum and different traditional geomorphology quantization parameters of XingziRiver watershed

3.3 地貌奇异指数分布范围Δα与传统地貌量化参数组合关系

为了进一步探讨地貌奇异指数分布范围Δα与各传统地貌量化参数组合的关系，以地貌奇异指数分布范围Δα为因变量y，以沟谷密度x1、平均坡度x2、相对高差x3、流域主沟比降x4、地表粗糙度x5和平均地形起伏度x6等6个传统地貌量化参数为自变量，利用SPSS软件进行多元线性向后逐步回归分析，建立了奇异指数分布范围Δα和传统地貌量化参数回归方程，见表2。

表2 杏子河流域地貌奇异指数分布范围与传统地貌量化参数多元逐步回归方程结果Tab.2 The results on the multiple stepwise regression equations between the distribution range of singularity exponent of geomorphology multi-fractal spectrum and different traditional geomorphology quantization parameters of XingziRiver watershed

从表2可以看出，奇异指数分布范围Δα与平均地形起伏度和地表粗糙度的多元回归方程，其决定系数为0.890，方差校验的F值为36.41，临界方差的F值F0.05=4.26，计算F值远远大于临界方差F值，表明该回归方程具有比较好的显著性。随着逐步将平均坡度、相对高差、流域主沟比降和沟谷密度等传统地貌量化参数引入多元回归方程，其决定系数呈现递增的趋势，即从相对高差引入时的0.910递增至其他地貌量化参数全部引入时的0.944；方差校验的F值分别为27.07、21.01、15.53和14.14，均大于临界方差F值，回归方程均表现出较好的显著性。这充分表明，与传统地貌量化参数揭示地貌形态某方面的特征相比，地貌奇异指数变化范围Δα对流域地貌整体特征的量化更具有全面性、概括性和综合性。

4 结 语

(1)杏子河流域地貌奇异指数分布范围从上游到下游呈下降趋势，表明该流域地貌形态变化自上游向下游复杂性逐步减弱。

(2)地貌奇异指数分布范围Δα与地表粗糙度、平均坡度、平均地形起伏度呈正相关，其关系可用线型函数描述，决定系数最大的是地表粗糙度；与流域主沟比降表现出负相关；与相对高差和沟谷密度之间没表现出明显的相关关系。

(3)将平均地形起伏度、地表粗糙度、平均坡度、相对高差、流域主沟比降和沟谷密度等传统地貌参数逐步引入多元回归方程，其决定系数呈现递增的趋势，表明与传统地貌量化参数揭示地貌形态某方面的特征相比，地貌奇异指数变化范围Δα对揭示流域地貌整体特征的量化更具有全面性、概括性和综合性。

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