例谈无外力作用下的水平弹簧双振子模型

王路宝

(江苏省宜兴市阳羡高级中学,江苏 宜兴 214200)

例谈无外力作用下的水平弹簧双振子模型

王路宝

(江苏省宜兴市阳羡高级中学,江苏 宜兴 214200)

弹簧双振子是高中简谐运动理想模型之一,其中动量、机械能的转化以及周期性的运动过程较为复杂,对该模型可以从最基本的无外力或合外力为零的情况进行分析,有助于高中生逐渐理解.

弹簧双振子;动量守恒;机械能守恒

弹簧双振子是在轻质弹簧两端连有物体,涉及内容比较多,有一定难度,本文选取水平放置的弹簧双振子模型进行剖析,探讨其运动规律.

1 模型的建构

1.1 弹簧特性

(1) 一般情况下弹簧自身质量远小于振子的质量,因此可将弹簧看成轻质弹簧,即弹簧质量不再考虑;

(2) 弹簧产生的回复力是变力,遵循胡克定律F=-kx,因此振子的运动为简谐运动;

(3) 根据胡克定律可知回复力是变量,高中生对变力作用下运用牛顿定律感到棘手,因此利用系统动量守恒和能量守恒的方法比较适宜.

1.2 振子特性

(1) 水平面上振子的重力与地面(桌面)的支持力相互平衡,在不计摩擦时只受到回复力的作用,且振子的形状和大小可不考虑;

(2) 双振子各自受到来自弹簧的作用力,其大小相等、方向相反.

1.3 能量的变与不变

在不受外力的弹簧双振子理想模型中,振子动能与弹簧的弹性势能之间发生相互转化,但是其总和不变,也就是机械能守恒,具体可用图1进行表示.

图1

2 系统不受外力时的运动

2.1 压缩或拉伸状态

如图2所示,光滑的水平地面有质量为m1和m2的两个小球,两球之间用一不发生形变的细线连接,使得劲度系数为k的轻质弹簧处于压缩状态,且压缩形变量为x,若突然将细线烧断,试问两球的最大速度分别是多少？

图2

2.2 系统具有初速度的状态

如图3所示,质量相等的A和B用轻质弹簧连接,开始静止于水平面上,现在给A一个向右的初速度vA,此后( ).

图3

A. 弹簧有最大压缩量时,A的速度一定比B的速度大

B. 弹簧有最大伸长量时,两物体速度都等于零

C. 弹簧从伸长状态到其形变消失时，B的速度一定比A小

D. 弹簧形变消失时,B的速度可能向左

解析:本题中系统依旧无外力作用,以水平向右为正方向,分析可知前四分之一周期A向右减速运动压缩弹簧推动B向右加速运动,直至A、B速度相同后弹簧压缩形变最大;接着弹簧对A、B分别有向左和向右的作用力,使得A继续向左减速、B继续向右加速直至弹簧恢复原长,此时A速度减至最小,B速度最大,完成第二个四分之一周期的运动;接着B向右减速拉伸弹簧使A加速向右,直接两物体速度再次相同,弹簧拉伸至最长,此时为四分之三周期;最后四分之一周期弹簧使A加速至最大、B减速至最小,至此一个周期的运动完成,此后循环往复.

3 系统所受合外力为零的状态

如图4所示,质量分别为mA、mB的两个物体A、B用劲度系数为k、原长为L的轻质弹簧相连.静止在光滑水平面上,现同时对A、B两物体施加等大反向的水平恒力F1、F2,使之同时由静止开始运动,试求A、B的振动周期与弹簧的最大长度以及两球的最大速度.

图4

弹簧双振子模型中问题情境较多也较为复杂,本文仅针对水平运动,选取了运动过程和动量、机械能转化相对简单的事例予以分析,希望以此能帮助高中生对该模型有所理解,为以后研究更加复杂的运动情况做铺垫.

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