一类含有三角函数和绝对值的函数求导问题

王志高

【摘 要】介绍了了一类特殊表达式中的含三角函数和绝对值的函数求导问题，给出了该类问题可导的充要条件。

【关键词】求导；三角函数；绝对值；充要条件；导数定义

求导问题是微积分中的一个重要内容，在导数概念的基础上推演出了一系列的求导的公式和方法[1-2]。但是分段函数的求导一直是比较麻烦的问题，尤其是含有三角函数和绝对值的函数求导问题更是让学生们困惑。本文就一类特殊的含三角函数和绝对值的求导问题展开讨论。

命题1：函数f（x）可导，函数F（x）=f（x）（1+|sinx|），则f（0）=0是F（x）在[-1，1]内可导的充要条件。

证明：

所以F（x）在[-1，1]内可导等价于F（x）在0点可导，即F'（0）=F'（0），等价于f'（0）+f（0）=f'（0）-f（0），即f（0）=0。

命题2：函数f（x）可导，函数F（x）=f（x）（1+|sinx|），则f（0）=0不是F（x）可导的充要条件。

证明：首先由已知条件显然有函数f（x）在整个实数集上可导、连续。

其次根据函数sinx的性质可以知道

在实数集上可导的充要条件。

进一步，可以推广到更为复杂的函数表达式里面含有三角函数和绝对值的求导问题，该类问题的核心是在分段点上回到导数的定义去求解，并注意把握三角函数自身的一些属性对求导的影响。

【参考文献】

[1]赵树嫄.微積分（第三版）[M].北京：中国人民大学出版社，2007.

[2]同济大学数学系，高等数学（第六版上册）[M].上海：同济大学出版社，2007.

[责任编辑：朱丽娜]