李超三系上带有权λ的广义导子

尹 雪，刘 宁，张庆成

(东北师范大学数学与统计学院，吉林 长春 130024)

李超三系上带有权λ的广义导子

尹 雪，刘 宁，张庆成

(东北师范大学数学与统计学院，吉林 长春 130024)

给出了李超三系上带有权λ的广义(θ，φ)-导子和带有权λ的广义Jordan(θ，φ)-导子的定义，得到了李超三系上带有权λ的广义Jordan(θ，φ)-导子是带有权λ的广义(θ，φ)-导子的充分条件，对李超三系上广义导子的相关结果进行了推广.

广义导子；广义Jordan导子；李超三系；权λ

1 预备知识

李超三系的概念是在解Yang-Baxter方程的过程中逐渐提出的.[1]文献[2]应用三角积解决了Yang-Baxter方程的问题.李超三系虽然是新提出的，但它易于接受，其与李超代数的关系，就如同李三系与李代数的关系.李三系的研究曾主要集中在单李三系的研究上，文献[3]从多个方面对李三系进行了系统的研究，对李三系的导子、分解唯一性等都进行了系统的讨论.

导子代数与广义导子代数在李代数和李超代数的研究中起着非常重要的作用.[4]文献[5-6]对n-李代数导子、李三系广义导子进行了研究，但是带有权的广义导子的研究却少之又少.本文在文献[7]的基础上对带有权的广义导子进行了研究.

定义1.1[8]Z2-阶化线性空间T上若有三元运算[·，·，·]满足：

(1)d([x，y，z])≡(d(x)+d(y)+d(z))(mod 2)；

(2) [x，y，z]=-(-1)d(x)d(y)[y，x，z]；

(3) (-1)d(x)d(z)[x，y，z]+(-1)d(x)d(y)[y，z，x]+(-1)d(y)d(z)[z，x，y]=0；

(4) [u，v，[x，y，z]]=[[u，v，x]，y，z]+(-1)(d(u)+d(v))d(x)[x，[u，v，y]，z]+(-1)(d(u)+d(v))(d(x)+d(y))·[x，y，[u，v，z]].

其中x，y，z，u，v是T中的齐次元素，d(x)表示齐次元素x的Z2次数.则称T为李超三系.本文中符号d(x)出现时默认x为T中的齐次元素.

定义1.2[7]设T是李超三系，则：

(1) 一个齐次线性映射D1：T→T被称为关于(θ，φ)1-导子δ1的广义(θ，φ)1-导子，若d(D1)=d(δ1)，且

D1([x，y，z])=[δ1(x)，θ(y)，φ(z)]+(-1)d(D1)d(x)[θ(x)，δ1(y)，φ(z)]+
(-1)d(D1)(d(x)+d(y))[θ(x)，φ(y)，D1(z)]，∀x，y，z∈T；

(2) 一个齐次线性映射D2：T→T被称为关于(θ，φ)2-导子δ2的广义(θ，φ)2-导子，若d(D2)=d(δ2)，且

D2([x，y，z])=[δ2(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(D2)d(x)[θ(x)，δ2(y)，φ(z)]+
(-1)d(D2)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D2(z)]，∀x，y，z∈T；

(3) 一个齐次线性映射D3：T→T被称为关于(θ，φ)3-导子δ3的广义(θ，φ)3-导子，若d(D3)=d(δ3)，且

D3([x，y，z])=[δ3(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(D3)d(x)[φ(x)，δ3(y)，θ(z)]+
(-1)d(D3)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D3(z)]，∀x，y，z∈T.

特别地，∀i=1，2，3，若θ=φ，则称广义(θ，φ)i-导子D为关于θ-导子δ的广义θ-导子.当θ=φ=1T且δ是导子时，称D是广义导子.

定义1.3[7]设T是李超三系，有：

(1) 若δ1为Jordan(θ，φ)1-导子，则一个齐次线性映射D1：T→T被称为关于δ1的广义Jordan(θ，φ)1-导子，如果d(D1)=d(δ1)，且

D1([x，y，x])=[δ1(x)，θ(y)，φ(x)]+(-1)d(D1)d(x)[θ(x)，δ1(y)，φ(x)]+
(-1)d(D1)(d(x)+d(y))[θ(x)，φ(y)，D1(x)]，∀x，y∈T；

(2) 若δ2为Jordan(θ，φ)2-导子，则一个齐次线性映射D2：T→T被称为关于δ2的广义Jordan(θ，φ)2-导子，如果d(D2)=d(δ2)，且

D2([x，y，x])=[δ2(x)，θ(y)，θ(x)]+(-1)d(D2)d(x)[θ(x)，δ2(y)，φ(x)]+
(-1)d(D2)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D2(x)]，∀x，y∈T；

(3) 若δ3为Jordan(θ，φ)3-导子，则一个齐次线性映射D3：T→T被称为关于δ3的广义Jordan(θ，φ)3-导子，如果d(D3)=d(δ3)，且

D3([x，y，x])=[δ3(x)，θ(y)，θ(x)]+(-1)d(D3)d(x)[φ(x)，δ3(y)，θ(x)]+
(-1)d(D3)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D3(x)]，∀x，y∈T.

特别地，∀i=1，2，3，若θ=φ，则称广义Jordan(θ，φ)i-导子D为关于Jordanθ-导子δ的广义Jordanθ-导子.当θ=φ=1T，且δ是Jordan导子时，称D是广义Jordan导子.

本文假设：基域F的特征不为3；T是一个李超三系；θ，φ：T→T是T的齐次线性映射，且d(θ)=d(φ)=0.

定义1.4设T是李超三系，有：

(1) 设α1是(θ，φ)1-导子，且d(α1)=0，δ1为带有权λ的(θ，φ)1-导子.一个齐次线性映射D1：T→T被称为关于δ1的广义带有权λ的(θ，φ)1-导子，若d(D1)=d(δ1)，且

D1([x，y，z])=[δ1(x)，θ(y)，φ(z)]+(-1)d(D1)d(x)[θ(x)，δ1(y)，φ(z)]+
(-1)d(D1)(d(x)+d(y))[θ(x)，φ(y)，D1(z)]+λ[α1(x)，α1(y)，φ(z)]+
λ[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+λ[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+λ2[α1(x)，α1(y)，α1(z)]，∀x，y，z∈T.

(2) 设α2是(θ，φ)2-导子，且d(α2)=0，δ2为带有权λ的(θ，φ)2-导子.一个齐次线性映射D2：T→T被称为关于δ2的广义带有权λ的(θ，φ)2-导子，若d(D2)=d(δ2)，且

D2([x，y，z])=[δ2(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(D2)d(x)[θ(x)，δ2(y)，φ(z)]+
(-1)d(D2)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D2(z)]+λ[α2(x)，α2(y)，φ(z)]+
λ[α2(x)，φ(y)，α2(z)]+λ[φ(x)，α2(y)，α2(z)]+λ2[α2(x)，α2(y)，α2(z)]，∀x，y，z∈T.

(3) 设α3是(θ，φ)3-导子，且d(α3)=0，δ3为带有权λ的(θ，φ)3-导子.一个齐次线性映射D3：T→T被称为关于δ3的广义带有权λ的(θ，φ)3-导子，若d(D3)=d(δ3)，且

D3([x，y，z])=[δ3(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(D3)d(x)[φ(x)，δ3(y)，θ(z)]+
(-1)d(D3)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D3(z)]+λ[α3(x)，α3(y)，θ(z)]+
λ[α3(x)，φ(y)，α3(z)]+λ[φ(x)，α3(y)，α3(z)]+λ2[α3(x)，α3(y)，α3(z)]，∀x，y，z∈T.

特别地，∀i=1，2，3，若θ=φ，则称广义带有权λ的(θ，φ)i-导子D为关于带有权λ的θ-导子δ的广义带有权λ的θ-导子.当θ=φ=1T，且δ是带有权λ的导子时，称D是广义带有权λ的导子.

定义1.5设T是李超三系，有：

(1) 设α1是Jordan(θ，φ)1-导子，且d(α1)=0，δ1为带有权λ的Jordan(θ，φ)1-导子.一个齐次线性映射D1：T→T被称为关于δ1的广义带有权λ的Jordan(θ，φ)1-导子，若d(D1)=d(δ1)，且

D1([x，y，x])=[δ1(x)，θ(y)，φ(x)]+(-1)d(D1)d(x)[θ(x)，δ1(y)，φ(x)]+
(-1)d(D1)(d(x)+d(y))[θ(x)，φ(y)，D1(x)]+λ[α1(x)，α1(y)，φ(x)]+
λ[α1(x)，θ(y)，α1(x)]+λ[θ(x)，α1(y)，α1(x)]+λ2[α1(x)，α1(y)，α1(x)]，∀x，y∈T.

(2) 设α2是Jordan(θ，φ)2-导子，且d(α2)=0，δ2为带有权λ的Jordan(θ，φ)2-导子.一个齐次线性映射D2：T→T被称为关于δ2的广义带有权λ的Jordan(θ，φ)2-导子，若d(D2)=d(δ2)，且

D2([x，y，x])=[δ2(x)，θ(y)，θ(x)]+(-1)d(D2)d(x)[θ(x)，δ2(y)，φ(x)]+
(-1)d(D2)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D2(x)]+λ[α2(x)，α2(y)，φ(x)]+
λ[α2(x)，φ(y)，α2(x)]+λ[φ(x)，α2(y)，α2(x)]+λ2[α2(x)，α2(y)，α2(x)]，∀x，y∈T.

(3) 设α3是Jordan(θ，φ)3-导子，且d(α3)=0，δ3为带有权λ的Jordan(θ，φ)3-导子.一个齐次线性映射D3：T→T被称为关于δ3的广义带有权λ的Jordan(θ，φ)3-导子，若d(D3)=d(δ3)，且

D3([x，y，x])=[δ3(x)，θ(y)，θ(x)]+(-1)d(D3)d(x)[φ(x)，δ3(y)，θ(x)]+
(-1)d(D3)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D3(x)]+λ[α3(x)，α3(y)，θ(x)]+
λ[α3(x)，φ(y)，α3(x)]+λ[φ(x)，α3(y)，α3(x)]+λ2[α3(x)，α3(y)，α3(x)]，∀x，y∈T.

特别地，∀i=1，2，3，若θ=φ，则称广义带有权λ的Jordan(θ，φ)i-导子D为关于带有权λ的Jordanθ-导子δ的广义带有权λ的Jordanθ-导子.当θ=φ=1T，且δ是带有权λ的Jordan导子时，称D是广义带有权λ的Jordan导子.

注1在上述定义中，当λ=0时，带有权λ的广义(θ，φ)i-导子是广义(θ，φ)i-导子，带有权λ的广义Jordan(θ，φ)i-导子是广义Jordan(θ，φ)i-导子(i=1，2，3).[7]当D=δ时，带有权λ的广义(θ，φ)i-导子是带有权λ的(θ，φ)i-导子，带有权λ的广义Jordan (θ，φ)i-导子是带有权λ的Jordan (θ，φ)i-导子(i=1，2，3).[9]

注2显然，当Di是T的带有权λ的(θ，φ)i-导子时，Di是T的带有权λ的Jordan(θ，φ)i-导子(i=1，2，3).

注3在上述定义中，(θ，φ)i-导子及Jordan(θ，φ)i-导子的定义见文献[7](i=1，2，3).

2 主要结论及证明

定理2.1设δ为带有权λ的(θ，φ)1-导子，则D是T关于δ的带有权λ的广义(θ，φ)1-导子，当且仅当D是关于δ的带有权λ的广义Jordan(θ，φ)1-导子，且∀x，y，z∈T，满足：

(1) [θ(x)，φ(y)，D(z)]=[φ(x)，θ(y)，D(z)]；

(2) (-1)d(x)d(z)B(x，y，z)+(-1)d(x)d(y)B(y，z，x)+(-1)d(y)d(z)B(z，x，y)=0.

其中

B(x，y，z)=[δ(x)，θ(y)，φ(z)]+(-1)d(D)d(x)[θ(x)，δ(y)，φ(z)]+
(-1)d(D)(d(x)+d(y))[θ(x)，φ(y)，D(z)]+λ[α1(x)，α1(y)，φ(z)]+
λ[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+λ[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+λ2[α1(x)，α1(y)，α1(z)].

证明必要性.设D是T的关于δ的带有权λ的广义(θ，φ)1-导子，则显然D是带有权λ的广义Jordan(θ，φ)1-导子，且由定义1.1的条件(2)可得

D( [x，y，z])=-(-1)d(x)d(y)D([y，x，z])，

(1)

-(-1)d(x)d(y)D([y，x，z])=(-1)d(x)d(y)[δ(y)，θ(x)，φ(z)]+(-1)d(D)d(y)[θ(y)，δ(x)，φ(z)]+
(-1)d(D)(d(x)+d(y))[θ(y)，φ(x)，D(z)]+λ[α1(y)，α1(x)，φ(z)]+
λ[α1(y)，θ(x)，α1(z)]+λ[θ(y)，α1(x)，α1(z)]+λ2[α1(y)，α1(x)，α1(z)]=
(-1)d(D)d(x)[θ(x)，δ(y)，φ(z)]+[δ(x)，θ(y)，φ(z)]+
(-1)d(D)(d(x)+d(y))[φ(x)，θ(y)，D(z)]+λ[α1(x)，α1(y)，φ(z)]+
λ[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+λ[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+λ2[α1(x)，α1(y)，α1(z)].

从而由(1)式有

[θ(x)，φ(y)，D(z)]=[φ(x)，θ(y)，D(z)].

因为D是T关于δ的带有权λ的广义(θ，φ)1-导子，故D([x，y，z])=B(x，y，z)，从而

(-1)d(x)d(z)B(x，y，z)+(-1)d(x)d(y)B(y，z，x)+(-1)d(y)d(z)B(z，x，y)=
(-1)d(x)d(z)D([x，y，z])+(-1)d(x)d(y)D([y，z，x])+(-1)d(y)d(z)D([z，x，y])=
D((-1)d(x)d(z)[x，y，z]+(-1)d(x)d(y)[y，z，x]+(-1)d(y)d(z)[z，x，y])=0.

充分性.设D是关于δ的带有权λ的广义Jordan(θ，φ)1-导子，且满足条件(1)和(2).为证明结论，只需要证明B(y，x，z)=-(-1)d(x)d(y)B(x，y，z)成立.事实上，

B(y，x，z)=[δ(y)，θ(x)，φ(z)]+(-1)d(D)d(y)[θ(y)，δ(x)，φ(z)]+
(-1)d(D)(d(x)+d(y))[θ(y)，φ(x)，D(z)]+λ[α1(y)，α1(x)，φ(z)]+
λ[α1(y)，θ(x)，α1(z)]+λ[θ(y)，α1(x)，α1(z)]+λ2[α1(y)，α1(x)，α1(z)]=
-(-1)d(x)(d(D)+d(y))[θ(x)，δ(y)，φ(z)]-(-1)d(D)d(y)+d(y)(d(D)+d(x))[δ(x)，θ(y)，φ(z)]-
(-1)d(D)(d(x)+d(y))+d(x)d(y)[φ(x)，θ(y)，D(z)]-λ(-1)d(x)d(y)[α1(x)，α1(y)，φ(z)]-
λ(-1)d(x)d(y)[α1(x)，θ(y)，α1(z)]-λ(-1)d(x)d(y)[θ(x)，α1(y)，α1(z)]-
λ2(-1)d(x)d(y)[α1(x)，α1(y)，α1(z)]=-(-1)d(x)d(y)((-1)d(x)d(D)[θ(x)，δ(y)，φ(z)]+
[δ(x)，θ(y)，φ(z)]+(-1)d(D)(d(x)+d(y))[φ(x)，θ(y)，D(z)]+λ[α1(x)，α1(y)，φ(z)]+
λ[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+λ[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+
λ2[α1(x)，α1(y)，α1(z)])=-(-1)d(x)d(y)B(x，y，z).

从而D是T关于δ的带有权λ的广义(θ，φ)1-导子.

推论2.1设δ为带有权λ的θ-导子，则D是T关于δ的带有权λ的广义θ-导子，当且仅当δ为带有权λ的Jordanθ-导子，D是关于δ的带有权λ的广义Jordanθ-导子，且

F(x，y，z)+F(y，z，x)+F(z，x，y)=0.

(2)

其中

F(x，y，z)=(-1)d(z)(d(D)+d(x))[θ(x)，θ(y)，(D-δ)(z)].

证明充分性.设D是带有权λ的广义Jordanθ-导子，则显然定理2.1中的条件(1)成立，下证条件(2)也成立.利用(2)式与定义1.1，

(-1)d(x)d(z)B(x，y，z)+(-1)d(x)d(y)B(y，z，x)+(-1)d(y)d(z)B(z，x，y)=
(-1)d(x)d(z)[δ(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(x)d(z)+d(D)d(x)[θ(x)，δ(y)，θ(z)]+
(-1)d(x)d(z)+d(D)(d(x)+d(y))[θ(x)，θ(y)，D(z)]+λ(-1)d(x)d(z)[α1(x)，α1(y)，θ(z)]+
λ(-1)d(x)d(z)[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+λ(-1)d(x)d(z)[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+
λ2(-1)d(x)d(z)[α1(x)，α1(y)，α1(z)]+(-1)d(x)d(y)[δ(y)，θ(z)，θ(x)]+
(-1)d(D)d(y)+d(x)d(y)[θ(y)，δ(z)，θ(x)]+(-1)d(D)(d(z)+d(y))+d(x)d(y)[θ(y)，θ(z)，D(x)]+
λ(-1)d(x)d(y)[α1(y)，α1(z)，θ(x)]+λ(-1)d(x)d(y)[α1(y)，θ(z)，α1(x)]+
λ(-1)d(x)d(y)[θ(y)，α1(z)，α1(x)]+λ2(-1)d(x)d(y)[α1(y)，α2(z)，α2(x)]+
(-1)d(y)d(z)[δ(z)，θ(x)，θ(y)]+(-1)d(D)d(z)+d(y)d(z)[θ(z)，δ(x)，θ(y)]+
(-1)d(D)(d(z)+d(x))+d(y)d(z)[θ(z)，θ(x)，D(y)]+λ(-1)d(y)d(z)[θ(z)，α1(x)，α1(y)]+
λ2(-1)d(y)d(z)[α1(z)，α1(x)，α1(y)]+λ(-1)d(y)d(z)[α1(z)，α1(x)，θ(y)]+
λ(-1)d(y)d(z)[α1(x)，θ(z)，α1(y)]=(-1)d(y)d(z)[δ(x)，θ(y)，θ(z)]+
(-1)d(x)d(z)+d(D)d(x)[θ(x)，δ(y)，θ(z)]+(-1)d(x)d(z)+d(D)(d(x)+d(y))[θ(x)，θ(y)，δ(z)]+
λ(-1)d(x)d(z)[α1(x)，α1(y)，θ(z)]+λ(-1)d(x)d(z)[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+
λ(-1)d(x)d(z)[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+λ2(-1)d(x)d(z)[α1(x)，α1(y)，α1(z)]+
(-1)d(x)d(y)[δ(y)，θ(z)，θ(x)]+(-1)d(D)d(y)+d(x)d(y)[θ(y)，δ(z)，θ(x)]+
(-1)d(D)(d(z)+d(y))+d(x)d(y)[θ(y)，θ(z)，δ(x)]+λ(-1)d(x)d(y)[α1(y)，α1(z)，θ(x)]+
λ(-1)d(x)d(y)[α1(y)，θ(z)，α1(x)]+λ(-1)d(x)d(y)[θ(y)，α1(z)，α1(x)]+
λ2(-1)d(x)d(y)[α1(y)，α2(z)，α2(x)]+(-1)d(y)d(z)[δ(z)，θ(x)，θ(y)]+
(-1)d(D)d(z)+d(y)d(z)[θ(z)，δ(x)，θ(y)]+(-1)d(D)(d(z)+d(x))+d(y)d(z)[θ(z)，θ(x)，δ(y)]+
λ(-1)d(y)d(z)[θ(z)，α1(x)，α1(y)]+λ2(-1)d(y)d(z)[α1(z)，α1(x)，α1(y)]+
λ(-1)d(y)d(z)[α1(z)，α1(x)，θ(y)]+λ(-1)d(y)d(z)[α1(z)，θ(x)，α1(y)]=
(-1)d(D)d(z)((-1)d(x)d(z)+d(D)d(z)[δ(x)，θ(y)，θ(z)]+
(-1)d(D)d(y)+d(x)d(y)[θ(y)，θ(z)，δ(x)]+(-1)d(y)d(z)[θ(z)，δ(x)，θ(y)])+
(-1)d(D)d(x)((-1)d(x)d(z)[θ(x)，δ(y)，θ(z)]+(-1)d(x)d(y)+d(D)d(x)[δ(y)，θ(z)，θ(x)]+
(-1)d(D)d(z)+d(y)d(z)[θ(z)，θ(x)，δ(y)])+(-1)d(D)d(y)((-1)d(x)d(D)+d(x)d(z)[θ(x)，θ(y)，δ(z)]+
(-1)d(x)d(y)[θ(y)，δ(z)，θ(x)]+(-1)d(y)d(z)+d(D)d(y)[δ(z)，θ(x)，θ(y)])+
λ((-1)d(x)d(z)[α1(x)，α1(y)，θ(z)]+(-1)d(x)d(y)[α1(y)，θ(z)，α1(x)]+
(-1)d(y)d(z)[θ(z)，α1(x)，α1(y)])+λ((-1)d(x)d(z)[α1(x)，θ(y)，α1(z)]+
(-1)d(x)d(y)[θ(y)，α1(z)，α1(x)]+(-1)d(y)d(z)[α1(z)，α1(x)，θ(y)])+
λ((-1)d(x)d(z)[θ(x)，α1(y)，α1(z)]+(-1)d(x)d(y)[α1(y)，α1(z)，θ(x)]+
(-1)d(y)d(z)[α1(z)，θ(x)，α1(y)])+λ2((-1)d(x)d(z)[α1(x)，α1(y)，α1(z)]+
(-1)d(x)d(y)[α1(y)，α1(z)，α1(x)]+(-1)d(y)d(z)[α1(z)，α1(x)，α1(y)])=0，

故定理2.1的条件(2)也成立.由推论2.1条件可知δ是带有权λ的θ-导子，故由定理2.1可得D是关于δ的带有权λ的广义θ-导子.

必要性.设D是T关于δ的带有权λ的广义θ-导子.由定理2.1，

(-1)d(z)d(x)B(x，y，z)+(-1)d(x)d(y)B(y，z，x)+(-1)d(y)d(z)B(z，x，y)=0，

消去相同项即得

(-1)d(z)(d(D)+d(x))[θ(x)，θ(y)，(D-δ)(z)]+
(-1)d(x)(d(D)+d(y))[θ(y)，θ(z)，(D-δ)(x)]+
(-1)d(y)(d(D)+d(z))[θ(z)，θ(x)，(D-δ)(y)]=0，

即(2)式成立.显然D是关于带有权λ的Jordanθ-导子δ的带有权λ的广义Jordanθ-导子.

利用定理2.1的证明方法，易证下列结论：

定理2.2设δ为带有权λ的(θ，φ)2-导子，则D是T关于δ的带有权λ的(θ，φ)2-导子，当且仅当D是关于带有权λ的(θ，φ)2-导子，且∀x，y，z∈T，有：

(1) [δ(x)，θ(y)，(φ-θ)(z)]=(-1)d(D)d(x)[θ(x)，δ(y)，(φ-θ)(z)]；

(2) (-1)d(x)d(z)B′(x，y，z)+(-1)d(x)d(y)B′(y，z，x)+(-1)d(y)d(z)B′(z，x，y)=0.

其中

B′(x，y，z)=[δ(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(D)d(x)[θ(x)，δ(y)，φ(z)]+
(-1)d(D)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D(z)]+
λ[α2(x)，α2(y)，φ(z)]+λ[α2(x)，φ(y)，α2(z)]+
λ[φ(x)，α2(y)，α2(z)]+λ2[α2(x)，α2(y)，α2(z)].

定理2.3设δ为带有权λ的(θ，φ)3-导子，则D是T关于δ的带有权λ的(θ，φ)3-导子，当且仅当D是关于δ的带有权λ的广义Jordan(θ，φ)3-导子，且∀x，y，z∈T，有：

(1) [δ(x)，(φ-θ)(y)，θ(z)]=(-1)d(D)d(x)[(φ-θ)(x)，δ(y)，θ(z)]；

(2) (-1)d(x)d(z)B″(x，y，z)+(-1)d(x)d(y)B″(y，z，x)+(-1)d(y)d(z)B″(z，x，y)=0.

其中

B″(x，y，z)=[δ(x)，θ(y)，θ(z)]+(-1)d(D)d(x)[φ(x)，δ(y)，θ(z)]+
(-1)d(D)(d(x)+d(y))[φ(x)，φ(y)，D(z)]+
λ[α3(x)，α3(y)，θ(z)]+λ[α3(x)，φ(y)，α3(x)]+
λ[φ(x)，α3(y)，α3(z)]+λ2[α3(x)，α3(y)，α3(z)].

注4推论2.1也可由定理2.2或者定理2.3得到.因为当D是带有权λ的广义Jordanθ-导子时，定理2.2和定理2.3的条件(1)均成立，且∀x，y，z∈T，B(x，y，z)=B′(x，y，z)=B″(x，y，z).

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OngeneralizedderivationsofweightλofLiesupertriplesystems

YIN Xue，LIU Ning，ZHANG Qing-cheng

(School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

The concept of generalized (θ，φ)-derivations of weightλand generalized Jordan (θ，φ)-derivations of weightλon a Lie supertriple system are introduced.It is proved that under some conditions，generalized Jordan (θ，φ)-derivations of weightλare generalized (θ，φ)-derivations of weightλ，hence some relevant results of generalized derivations of Lie supertriple are extended.

generalized derivations；generalized Jordan derivations；Lie supertriple system；weightλ

1000-1832(2017)04-0001-06

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.04.001

2016-09-26

国家自然科学基金资助项目(11471090)；吉林省自然科学基金资助项目(201301068JC).

尹雪(1992—)，女，硕士，主要从事李理论研究；通信作者：张庆成(1960—)，男，博士，教授，主要从事李理论研究.

O 152.5学科代码110·2130

A

(责任编辑：李亚军)