采用局部搜索的二维DOA估计*

黄 英，景小荣

(重庆邮电大学 移动通信技术重庆市重点实验室，重庆 400065)

采用局部搜索的二维DOA估计*

黄 英*，景小荣

(重庆邮电大学 移动通信技术重庆市重点实验室，重庆 400065)

针对酉旋转不变估计信号参数(Unitary-ESPRIT)算法估计精度较低的问题，提出了一种采用局部搜索实现的非相干信源二维波达方向(2-D DOA)估计方法。该方法首先利用实特征矢量近似值估计导向矩阵,然后利用矩阵Kronecker积性质以及阵列旋转不变特性获得自动配对的角度估计值，降低了2-D DOA初始估计复杂度,实现了对Unitary-ESPRIT算法的改进；接着，采用一维局部搜索法对该初始估计结果进行优化，提高了低信噪比下的2-D DOA估计精度。仿真实验结果表明，相较于传统的Unitary-ESPRIT算法，所提方法在DOA估计精度和成功率上具有明显的优势，特别是在低信噪比以及快拍数较少条件下，因此该方法能够在计算复杂度和估计性能之间取的较好的折中。

二维波达方向；非相干信源；局部搜索；计算复杂度

1 引 言

二维波达方向(2-Dimensional Direction of Arrival,2-D DOA)估计，作为阵列信号处理的主要研究内容之一，在雷达、声呐以及通信等诸多工程领域得到广泛的应用[1]。目前，涌现出了众多超分辨率DOA估计算法，其中以多重信号分类(Multiple Signal Classification，MUSIC)[2]为代表的子空间类算法最为经典，但该算法为了实现2-D DOA估计，需借助二维谱峰搜索，其高复杂度限制了该算法在实际系统中的应用。

为了降低2-D DOA估计复杂度，学者们进行了深入研究，涌现出了众多2-D DOA估计算法。文献[3]以旋转不变技术实现信号参数估计(Estimation-of Signal Parameter via Rotational Techniques,ESPRIT)算法[4]为基础，实现了多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)雷达系统中离开角(Direction of Departure,DOD)和到达角(Direction of Arrival,DOA)的估计，将2-D DOA估计问题分解为两个独立的一维角度估计问题，尽管使算法复杂度得到有效降低，但存在角度配对问题。文献[5]中提出利用降维传播方法(Reduced-dimension Propagator Method,RD-PM)实现DOA估计，尽管解决了角度配对问题，然而在信噪比较低条件下，估计精度非常有限。文献[6]针对MIMO雷达中的DOD和DOA估计问题，提出降维(Reduced-dimension,R-D) MUSIC算法，尽管该算法性能与2-D MUSIC算法[7]几乎相同，但其操作均在复数域完成，运算量相对较高，同时，无法避免全局搜索的弊端。文献[8]基于秩亏损原理，使得方位角的降维操作得以实现，并且避免了阵列孔径损失的问题。文献[9]基于最大似然准则构造代价函数，将二维谱峰搜索转换为一维谱峰搜索，尽管性能相比已有算法得到明显提升，但计算量偏高。文献[10]提出了一种波束域求根MUSIC算法，不仅降低了求根多项式的阶数，而且避免了谱峰搜索的弊端。

以上2-D DOA算法通常需要对阵列接收相关复矩阵进行特征值分解(Eigenvalue Decomposition,EVD)，其实现成本相对较高，因此，如何从实数域实现低复杂度的二维DOA估计逐渐引起了学者们的关注。文献[11]采用Unitary-ESPRIT算法，利用酉变换把复数域的DOA估计问题转换到实数域进行，实现了MIMO雷达系统中的DOD和DOA联合估计，然而该算法需要两次总体最小二乘(Total Least Square,TLS)运算，复杂度仍然较高。文献[12]提出一种Beamspace Unitary-ESPRIT算法，不仅信息矩阵维度得到降低，而且EVD分解仅在实数域下进行，有效抑制了运算量。文献[13]提出一种低复杂度2-D DOA估计算法，将二维搜索分解为两个连续的一维实值搜索，改善了参数估计性能，然而该算法仍存在全局搜索的弊端。

为此，本文在上述分析的基础上，面向均匀平面阵列，提出一种采用局部搜索实现的非相干信源的2-D DOA估计方法。首先对Unitary-ESPRIT算法进行改进，以获取非相干信源的2-D DOA估计初始值。与传统Unitary-ESPRIT相比，改进算法首先利用特征矢量近似值获得导向矩阵估计值，然后利用矩阵Kronecker积性质以及阵列旋转不变特性实现自动配对的角度初始估计，仅需一次TLS运算，不涉及复矩阵的EVD运算，能有效地降低运算量；接着在获得2-D DOA估计初始值的基础上，采用一维局部搜索来更新初始DOA估计结果，从而使得估计精度得到明显提高，有效避免了因全局搜索带来的高复杂度弊端。

2 阵列信号模型

以处于坐标原点的阵元作为参考，则阵列接收到的第t个快拍可表示为

X(t)=AS(t)+N(t) 。

(1)

在阵列接收快拍数为L时，对应接收协方差矩阵的估计值可表示为

(2)

3 2-D DOA估计方法

在上述阵列模型基础上，本节首先利用实特征矢量近似值估计导向矩阵对Unitary-ESPRIT算法进行改进，实现2-D DOA的初始估计，然后采用一维局部搜索来优化初始估计结果。

3.1 2-D DOA初始估计

根据均匀平面阵列的结构特征以及矩阵间的旋转不变性关系，则有J2A=J1AΦy，J1=[IM(N-1)，0M(N-1)×M]和J2=[0M(N-1)×M,IM(N-1)]分别表示两个选择矩阵，Φy=diag(exp(-jπv1),…,exp(-jπvK))，其中IK表示维度为K的单位矩阵，diag(v)表示矢量v中的元素形成的对角阵。

在上述基础上，定义如下酉矩阵：

(3)

进一步，构建数据矩阵为Z=[X,ΠMNX*ΠL]∈MN×2L，其中ΠK表示反对角线上元素为1其他元素为0的K维矩阵，因此，存在酉矩阵QMN和Q2L，可将复矩阵映射为一实矩阵，其中(·)H表示矩阵共轭转置。因此，与矩阵T(X)相对应的实协方差矩阵，对RT采用EVD，其中，ES为K个大特征值对应的特征矢量矩阵，即实信号子空间，EN为余下的特征矢量矩阵，即实噪声子空间。

令

Re(·)和Im(·)分别表示复矩阵数的实部和虚部。由实矩阵间的旋转不变关系[11]，即

(4)

(5)

(6)

(7)

3.2 局部搜索

尽管3.1节可获得自动配对的角度初始估计值，然而利用特征向量近似值求解导向矩阵，在低信噪比条件下，估计精度有限。因此，本节在此基础上，提出利用一维局部搜索来优化vk的估计值，从而使得最终DOA估计精度得到明显提升。

(8)

(9)

(10)

于是构造代价函数如下：

(11)

式中：ω为拉格朗日因子。令代价函数L(u,v)对ax(u)求偏导，并使其等于零，即

(12)

(13)

(14)

3.3 2-D DOA估计方法步骤

根据分析，本文所提出的2-D DOA估计方法的步骤可总结如下：

3.4 复杂度分析

本节对提出的2-D DOA估计方法的复杂度进行分析，并将其与其他几种相关方法的复杂度进行对比。复杂度以方法(或者步骤)实现所需复数乘(Complex Multiply,CM)作为度量[14]。文中所提方法步骤1需要约为O{M2N2L}CM，步骤2则需要约O{2M3N3+3M3N3}CM，步骤3所需要约

O{2K2(M-1)N+3K3+M2N2K+MNK2}CM，

步骤4需要约

O{(ndK+K)(M3N2+M3N+2M3)+M2N2(MN-K)}CM，

nd表示局部搜索次数，而步骤5运算量相对较少，在此忽略不计，因此，本文提出的2-D DOA方法的复杂度约为

O{6M3N3+M2N2L+2K2(M-1)N+3K3+
(ndK+K)(M3N2+M3N+2M3)}CM,

而Unitary-ESPRIT算法[11]复杂度约为

O{5M3N3+M2N2L+2K2(M-1)N+
2K2(N-1)M+12K3}CM，

RD-PM算法[5]运算量为

O{M3N3+M2N2L+K2MN+2K2M(N-1)+14K3+
(ndK+K)(M3N2+M3N+2M3)}CM，

2-D MUSIC算法的复杂度约为

O{13M3N3+(nθnφ+L-K)M2N2+nθnφMN}CM，

nθ、nφ表示全局搜索次数。

根据上述分析，由于nd远小于nθnφ,显然本文提出的2-D DOA估计方法所需计算复杂度低于2-D MUSIC算法。尽管本文提出的2-D DOA估计方法所需CM运算量高于Unitary-ESPRIT算法和RD-PM算法，但其性能却远远优于它们。

4 仿真分析

仿真中采用均匀面阵，相邻阵元间距为半个波长，用M和N分别表示x轴和y轴方向阵元数。考虑自由空间中的K=3个非相干远场窄带信源，其俯仰角和方位角分别为(θ1,φ1)=(10°,15°)、(θ2,φ2)=(20°,25°)和(θ3,φ3)=(30°,35°)。

(15)

同时，在仿真中，给出了角度估计量的克拉-美劳限(Cramer-Rao Bound,CRB)[13]，以作为角度估计性能的下限。CRB的具体表达式如下：

(16)

(1)实验一：非相干信源的二维波达角度散点图及阵元数对角度估计性能的影响

在信噪比(Signal-to-Noise Ratio，SNR)为10 dB，快拍数L=200，面阵参数M=8和N=8的条件下，图1给出了K=3个非相干窄带信源的角度估计性能。由图可知，本文方法可有效地估计2-D DOA，验证了所提算法的有效性。

图1 非相干信源的二维波达角度散点图Fig.1 Scatter plot of 2-D DOA for incoherent sources

在L=200的条件下，图2呈现了在阵元数不同情况下本文算法的DOA估计RMSE随SNR变化的性能曲线。由图可知，角度估计性能随着阵元数目的增加得到明显改善，从侧面说明了阵列孔径增大的同时增加了天线增益，因此估计精确度也随着提高，特别是在低信噪比条件下，性能提升非常明显。

图2 阵元数大小对角度估计性能的影响Fig.2 Influence of number of array elements on estimation performance

(2)实验二：RMSE随SNR及快拍数L的变化曲线

在L=200和阵列参数M=N=8的条件下，图3给出了DOA估计性能随SNR变化的曲线图。从图3中可看出，尽管这几种算法的DOA估计RMSE均随SNR增加而逐渐降低，然而在同等SNR条件下，本文算法角度估计精度明显高于Unitary-ESPRIT和RD-PM算法及初始估计结果，且该算法性能十分接近二维DOA估计的CRB。在M=N=8和SNR=10 dB实验条件下，图4给出了DOA估计RMSE随快拍数变化的特性曲线。由图4可知，由于3.2节中采用一维局部搜索优化初始估计结果，因此估计性能明显优于3.1节中2-D DOA初始估计。重要的是，在获得相同估计性能前提下，本文所提算法所需快拍数均明显少于对比算法。

图3 RMSE随SNR变化的性能曲线Fig.3 RMSE vs. SNR

图4 RMSE随快拍数变化的关系性能曲线Fig.4 RMSE vs. snapshot

综合说明，本文算法不仅对噪声具有较好的抑制力，而且在快拍数较少条件下也具有相当高的DOA估计精度。

(3)实验三：DOA估计成功率随SNR及快拍数L的变化曲线

通常在DOA估计中，如果所有角度估计值与实际值的误差均在0.3°范围内，即可认为角度估计成功，否则认为失败。图5在L=200和阵列参数M=N=8的条件下，给出了DOA估计成功率随SNR变化的关系曲线。由图5可看出，随着SNR增加，算法的DOA估计成功率都得到提升，但是，本文所提方法DOA估计成功率明显高于其他相关算法。例如在SNR=10 dB时，本文方法成功率已接近0.9，而2-D DOA初始估计和RD-PM算法在0.77左右，同时Unitary-ESPRIT算法成功率仅约0.6。

图5 DOA估计成功率随SNR变化的关系曲线Fig.5 Successful rate vs. SNR

在SNR=10 dB、M=N=8仿真条件下，图6给出算法DOA估计成功率随快拍数L变化的关系曲线。由图可知，DOA估计成功率均随快拍数增加呈上升趋势，且在快拍数非常有限的条件下，本文所提方法成功率远远高于初始估计算法和两种对比算法，说明本文方法有效解决了快拍数较少条件下的角度估计难题。

图6 DOA估计成功率随快拍数变化的关系曲线Fig.6 Successful rate vs. snapshot

(4)实验四:信源数K不同的条件下，RMSE性能随SNR及快拍数L的变化曲线

在L=200、M=N=8以及不同用户数情况下，本文算法的DOA估计RMSE与SNR的关系曲线如图7所示。从图7可以看出，随着SNR提高，DOA估计RMSE得到明显抑制。同时，随着信源数的减少，DOA估计性能得到一定改善，从侧面说明信源数越多，干扰越强，因此估计精确度会受到一定影响。

图7 信源数不同条件下RMSE随SNR变化的关系曲线Fig.7 RMSE vs. SNR for different sources

在SNR=10 dB、M=N=8仿真条件下，图8给出本文算法在不同信源数目情况下DOA估计RMSE随快拍数变化的曲线，DOA估计RMSE随着快拍数的增加而缩减。由图可知，当快拍数目达到一定值时，角度估计性能与信源数几乎无关。

图8 信源数不同条件下RMSE随快拍数变化的关系曲线Fig.8 RMSE vs. snapshot for different sources

5 结束语

本文提出了一种采用局部搜索的2-D DOA估计方法。该方法首先对Unitary-ESPRIT算法进行改进，以获取非相干信源的2-D DOA初始估计值。改进算法仅需一次TLS运算，无需构造复矩阵并对其进行EVD便可实现自动配对的角度初始估计，运算量得到有效降低。接着采用一维局部搜索来优化初始估计的结果，从而使得DOA估计性能得到明显提升。文中方法利用一维局部搜索取代MUSIC算法中的全局搜索，因此，运算成本相对较低，而性能提升却非常明显，存在一定实用价值。由于本文仅考虑非相干信源的DOA估计，下一步可以考虑多径环境下相干信源的角度估计。

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Two-dimensional DOA Estimation Based on Local Searching

HUANG Ying,JING Xiaorong
(Chongqing Key Laboratory of Mobile Communications Technology,Chongqing University of Posts and Telecommunications,Chongqing 400065,China)

To improve the estimation accuracy of the unitary estimation-of signal parameter via rotational techniques(Unitary-ESPRIT) method,a local searching-based method is proposed for two-dimensional(2D) direction-of-arrival(DOA) estimation of incoherent sources. First,the real eigenvector approximation is used to estimate steering matrices. Second,the matrix Kronecker product properties and the character of the array rotational invariance are used to acquire the automatic matching angle estimation. Therefore,the computational load of the initial 2-D DOA estimation can be reduced efficiently and the Unitary-ESPRIT algorithm is improved significantly. Then the one-dimensional local searching is exploited to optimize initial results,which can efficiently improve the precision of angel estimation in low signal-to-noise ratio(SNR). The simulation results verify that the proposed method has obvious superiority over the precision and successful rate of DOA estimation compared with the original Unitary-ESPRIT method,especially in the condition of low SNR and fewer snapshots,so it can get a better tradeoff between computational complexity and estimation performance.

2-D DOA estimation;incoherent sources;local searching;computational complexity

2016-05-03；

2016-08-17 Received date:2016-05-03；Revised date：2016-08-17

国家高技术研究发展计划(863计划)项目(2014AA01A705);重庆市基础与前沿研究计划项目(cstc2015jcyjA40040)

10.3969/j.issn.1001-893x.2017.02.015

黄英，景小荣.采用局部搜索的二维DOA估计[J].电讯技术，2017,57(2):210-216.[HUANG Ying,JING Xiaorong.Two-dimensional DOA estimation based on local searching[J].Telecommunication Engineering,2017,57(2):210-216.]

TN911.7

A

1001-893X(2017)02-0210-07

黄 英(1991—)，女，重庆江津人，硕士研究生，主要研究方向为多天线系统中的信号处理；

Email:15223135023@163.com

景小荣(1974—)，男，甘肃平凉人,2009年于电子科技大学获博士学位，现为重庆邮电大学教授，主要研究方向为多天线系统中的信号处理。

*通信作者：15223135023@163.com Corresponding author：15223135023@163.com