浅谈几何概型在高考中的应用

许楠桸

几何概型的基本特点是：在每次随机试验中，不同的试验结果有无限多个，即基本事件有无限个；在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的.

古典概型与几何概型在某种意义上说又是相同的，因为它们的数学本质是一样的，属于同样的数学模型. 我们可以化无限为有限，化抽象为具体，从而化几何概型为古典概型加以解决. 几何概型在近几年的高考中出现的频率逐步加大，下面结合几个实例分析说明几何概型在高考中的应用.

长度问题

例1 在区间[-1，1]上随机取一个数[x]，则[cosπx2]的值介于0到[12]之间的概率为（ ）

A. [13] B. [2π] C. [12] D. [23]

分析 本题要求 [cosπx2]的值介于0到[12]之间的概率，实质上是求[x]落在区间[-1，1]上的概率，利用区间长度比来求所求概率.

解 在区间[-1，1]上随机取一个数[x]，

即[x∈[-1，1]]时，要使[cosπx2]的值介于0到[12]之间，需使[-π2≤πx2≤-π3]，或[π3≤πx2≤π2]，

即[-1≤x≤-23]，或[23≤x≤1]，其区间长度为[23].

而总的区间长度为2.

由几何概型知，[cosπx2]的值介于0到[12]之间的概率为[232=13].

答案 A

点评 本题研究的基本事件构成的区域为长度.因此所求概率[P=构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.]

面积问题

例2 由不等式组[x≤0，y≥0，y-x-2≤0]确定的平面区域记为[Ω1]，由不等式组[x+y≤1，x+y≥-2]确定的平面区域记为[Ω2]，在[Ω1]中随机取一点，则该点恰好在[Ω2]内的概率为（ ）

A. [18] B. [14] C. [34] D. [78]

分析 本题实质上也属于几何概型求概率问题，所求概率等于区域（[四边形OBCD]）的面积除以总（[△ABO]）的面积.

解 根据题意画出不等式组确定的区域如下图.

故所求概率为[P=S四边形OBCDS三角形ABO=742=78].

答案 D

例3 甲、乙两人相约见面，并约定第一人到达后，等15分钟不见第二人来就可以离去. 假设他们都在10点至10点半的任一时间来到见面地点，则两人能见面的概率为 .

A. 37.5% B. 50% C. 62.5% D. 75%

分析 本题先根据已知条件可以理解为两人约定是0～30分钟内见面，先来者只等15分钟就不等，实质上是几何概型，利用面积比来求所求概率.

解 设甲、乙两人在0～30分钟内到达的时刻分别记为[x，y]，则有当[x-y≤15]时，两人可以见面，构造模型如下图.

故所求概率为[P=S阴影部分S四边形OABC=675900=34=75%].

答案 D

点评 用几何概型解题，主要运用转化、数形结合等重要的数学思想方法.本题研究的基本事件构成的区域为面积.因此所求概率[P=构成事件A的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积].

体积问题

例4 已知正三棱锥[S-ABC]的底面边长为[a]，高为[h]，在正三棱锥内取点[M]，则点[M]到底面的距离小于[h2]的概率为 .

解析 如图，分别取[SA，SB，SC]的中点[A1，B1，C1]，分别连接[A1B1，B1C1，C1A1]，则当点[M]位于平面[ABC]和平面[A1B1C1]之间时，点[M]到底面的距离小于[h2].

设[△ABC]的面积为[S]，由[△A1B1C1～△ABC]且相似比为[12]得，[△A1B1C1]的面积为[S4.]

由题意易知，区域[D]（三棱锥[S-ABC]）的体积为[13Sh，]

区域[d]（三棱台[A1B1C1-ABC]）的体积为[13Sh-13?S4?h2=][724Sh.]

记“点[M]到底面的距离小于[h2]”为事件[A]，根据几何概型的概率计算公式得，[PA=VdVD=78.]

答案 [78]

点评 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，那么就要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出构成事件[A]的区域体积及试验的全部结果构成的区域体积，再根据几何概型的概率计算公式计算即可.

角度问题

例5 在等腰[Rt△ABC]中，过直角顶点[C]在[∠ACB]的內部任意作一条射线[CM]交[AB]边于点[M]，则[AM小于AC]的概率为__________.

分析 在[∠ACB]内的射线[CM]是均匀分布的，所以射线[CM]在[∠ACB]内的任何位置都是等可能的. 因为[AM]的大小与点[M]在[AB]上的位置有关，为了确保[AM

解 如图所示，在[AB]上截取[AC=AC]，连接[CC]，

则[∠ACC=∠ACC].

在[△CAC]中，[∠A=45°，][∴∠ACC=67.5°.]

故所求的概率[P=∠ACC∠ACB=67.5°90°=34.]

点评 解答本题时，要特别注意“在[∠ACB]的内部任意作一条射线[CM交AB]边于点[M]”这句话，由此确定“测度”是角度. 如果把这句话改为“在线段[AB]上找一点[M]”，则问题的情境立刻发生改变，相应的“测度”变为线段的长度.