例析均值与方差

程玲

离散型随机变量的均值

例1 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个. 这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.

（1）求三种粽子各取1个概率；

（2）设[X]表示取到的豆沙粽个数，求[X]的分布列与数学期望.

解析 （1）令[A]表示事件“求三种粽子各取1个”，

则由古典概率计算公式有[P（A）=C12C13C15C310=14].

（2）[X]的所有可能的取值为0，1，2，

[PX=0=C38C310=715]； [PX=1=C12C28C310=715]；

[PX=2=C22C18C310=115].

综上所述，[X]的分布列为

[[X] 0 1 2 [P] [715] [715] [115] ]

故[EX=0×715+1×715+2×115=35].

变式 （1）若离散型随机变量[X]的分布列为

[[X] 0 1 [P] [a2] [a22] ]

则[X]的数学期望[E（X）=]（ ）

A. 2 B. 2或[12] C. [12] D. 1

（2）某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖，且相应获奖概率是以[a1]为首项，2为公比的等比数列，相应资金（单位：元）是以700为首项，-140为公差的等差数列，则参与该游戏获得奖金的数学期望为 元.

解析 （1）由離散性随机变量[X]的分布列知，[a2+a22=1]，解得，[a=1]（舍去负值）. 所以[E（X）=12].

（2）由题意知，[a1+2a1+4a1=1]，[∴][a1=17].

因此获得分布列为

[[X] 700 560 420 [P] [17] [27] [47] ]

所以[E（X）=700×17+560×27+420×47=500].

答案 （1）C （2）500

点评 求离散性随机变量均值的步骤：（1）理解随机变量[X]的意义，写出[X]可能取得的全部值；（2）求[X]的每个值的概率；（3）写出[X]的分布列；（4）由均值定义求出[E（X）].

离散型随机变量的方差

例2 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励. 规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的奖励额.

（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求顾客所获的奖励额[X]的分布列及数学期望.

（2）商场对奖励总额的预算是6万元，并规定袋中的4个球只能由面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成. 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.

解析 （1）依题意得，[X]的所有可能取值为20，60.

[PX=20=C23C24=12]，[PX=60=C11C13C24=12].

故[X]的分布列为

[[X] 20 60 [P] [12] [12] ]

所以顾客所获的奖励额的数学期望为

[E（X）=20×12+60×12=40].

（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案.

对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元. 如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能是60元. 因此可能的方案是（10，10，50，50），记为方案1.

对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2.

以下是对上述两个方案的分析：

对于方案1，即方案（10，10，50，50），设顾客所获得的奖励额为[X1]，则[X1]的分布列为

[[X1] 20 60 100 [P] [16] [23] [16] ]

因此[X1]的期望为

[E（X1）=20×16+60×23+100×16=60]，

[X1]的方差为

[D（X1）=（20-60）2×16+（60-60）2×23+（100-60）2×16=16003.]

对于方案2，即方案（20，20，40，40），设顾客所获的奖励额为[X2]，则[X2]的分布列为

[[X2] 40 60 80 [P] [16] [23] [16] ]

因此[X2]的期望为

[E（X2）=40×16+60×23+80×16=60].

[X2]的方差为

[D（X2）=（40-60）2×16+（60-60）2×23+（80-60）2×16]

[=4003].

由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以选择方案2.

变式 袋中有20个大小相同的球，其中标号为0的有10个，标号为[n]的有[n]个（[n=1，2，3，4]）. 现从袋中任取一球，[X]表示所取球的标号.

（1）求[X]的分布列，数学期望和方差；

（2）若[Y=aX+b，][E（Y）=1，][D（Y）=11，]试求[a，b]的值.

解析 （1）[X]的分布列为

[[X] 0 1 2 3 4 [P] [12] [120] [110] [320] [15] ]

[E（X）=0×12+1×120+2×110+3×320+4×15=1.5.]

[D（X）=（0-1.5）2×12+（1-1.5）2×120+（2-1.5）2×110]

[+（3-1.5）2×320+（4-1.5）2×15=2.75.]

（2）由[D（Y）=a2D（X）]得，[a2×2.75=11]，即[a=±2].

又[E（Y）=aE（X）+b]，

所以[a=2，b=-2，]或[a=-2，b=4.]

点评 （1）[D（X）]表示随机变量[X]对[E（X）]的平均偏离程度，[D（X）]越大表明平均偏离程度越大，说明[X]的取值越分散；反之，[D（X）]越小说明[X]的取值越集中在[E（X）]附近. 统计中，常用[D（X）]来描述[X]的分散程度.

（2）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量偏离均值的程度. 它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产时用于方案取舍的重要理论依据. 一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.