动能拦截器轨道修正能力的数值计算方法

郑丹

(酒泉卫星发射中心，甘肃 兰州 732750)

动能拦截器轨道修正能力的数值计算方法

郑丹

(酒泉卫星发射中心，甘肃 兰州 732750)

大气层外动能拦截器末段的轨道修正能力与制导方式有关，给出了某种制导方式下轨道修正能力的数值计算方法。该方法通过计算动能拦截器在飞行末段能够消除的最大零控脱靶量得到轨道修正能力。仿真结果表明，该数值计算方法不仅可以计算装药量充足情况下的轨道修正能力，而且可以计算装药量不足时的轨道修正能力。该数值计算方法具有编程实现简单和计算快捷的优点，可以满足快速计算轨道修正能力的需求。

动能拦截器；数值计算方法；拦截域；轨道修正能力；装药量；零控脱靶向量

0 引言

大气层外动能拦截器通过精确末制导能力直接碰撞摧毁目标弹头。拦截弹中末交班时的零控脱靶量必须小于动能拦截器的轨道修正能力，才能实现直接碰撞杀伤的目的[1]，若目标弹头在此之前机动使零控脱靶量大于动能拦截器的轨道修正能力则可实现中段突防[2]，因此研究动能拦截器的轨道修正能力具有重要意义。目前，研究动能拦截器的快速响应控制技术的文献较多[3-4]，对拦截弹“拦截窗口”也有一定的研究结果[5-7]，而对动能拦截器轨道修正能力的研究相对较少。

文献[2]研究了动能拦截器轨道修正能力的数值计算方法，通过计算单台轨控发动机开机在末段能够实现的最大轨道修正量，得到了动能拦截器轨道修正能力的代数表达式。通过该方法可以得到动能拦截器在单个制导平面内的轨道修正能力，如果动能拦截器的装药量充足，那么可以进一步得到2个制导平面合成的动能拦截器的轨道修正能力。文献[8]使用该方法分析了“标准-3”拦截弹的末段轨道修正能力。如果动能拦截器在轨道修正时调整姿态角，使轨控发动机对准脱靶量方向，那么由轨道修正能力构成的“拦截域”形状为圆形。此时，通过文献[2]的方法可以直接计算得到轨道修正能力。如果动能拦截器在轨道修正时不调整姿态(滚转指令角为0)，文献[9]在这种情况下对采用某种轨控开关规律的动能拦截器仿真计算了“拦截域”，仿真结果表明当装药量充足时，由轨道修正能力构成的“拦截域”形状近似为正方形，随着装药量逐渐减少，“拦截域”的形状由充足时的正方形逐渐萎缩为圆角正方形、圆形、菱形和星型，“拦截域”的面积和尺寸也逐渐缩小。此时，这些形状对应的轨道修正能力不能直接使用文献[2]的公式进行计算。

文献[10]研究了文献[9]的制导方式下导引头测量误差和轨控开关门限对轨道修正能力的影响。文献[9]和[10]都是通过建立动能拦截器的六自由度仿真模型进行仿真计算，没有给出轨道修正能力的数值计算方法，关于“拦截域”的研究结果缺乏理论支持。同时，仿真方法由于模拟动能拦截器复杂的制导过程，编程实现复杂且计算时间较长。因此，需要研究此制导方式下轨道修正能力的数值方法。

当装药量不足时，2个制导平面对装药量的消耗不仅与末制导初始时刻的零控脱靶向量在2个制导平面内的分量有关，还与轨控开关规律有关。因此，轨道修正能力的数值计算方法应与零控脱靶向量的方向和轨控开关规律有关，即数值计算方法不仅含有装药量、结构质量、推力、待飞时间、弹目相对距离和弹目相对速率等参数，还应包括制导控制参数和零控脱靶向量的单位方向矢量。

本文首先给出动能拦截器的制导方式，然后针对该制导方式，给出了轨道修正能力的数值计算方法，最后在各种装药量情况下计算动能拦截器的轨道修正能力，并与仿真结果进行了对比。

1 动能拦截器的制导方式

本文考虑如下的末制导方式：弹体的姿态角稳定跟踪末制导初始时刻的指令姿态角，指令姿态角使动能拦截器弹体坐标系与末段初始时刻的视线坐标系重合，并且滚转指令角为0。其中，视线坐标系的x轴由动能拦截器质心指向目标质心，y轴在当地铅垂面内垂直向上，z轴由右手螺旋法则确定。

轨控发动机的布局如图1所示。

图1 轨控发动机布局(后视)图Fig.1 Arrangement of divert control motors (back view)

(1)

轨控发动机的开关规律为：

其他情况，2#，4#发动机均关闭。

其他情况，1#，3#发动机均关闭。

其中，ω开>0为常值开关门限。

姿控采用文献[11]中的开关控制规律。

2 轨道修正能力的数值计算方法

针对第1节给出的制导方式，轨道修正能力的函数表达式为

记nzem方向上的零控脱靶向量为zem·nzem，其中zem为零控脱靶量。当零控脱靶量zem小于动能拦截器在nzem方向上的轨道修正能力时，zem能够被动能拦截器修正到末制导精度范围内；当zem超过轨道修正能力时，则zem不能被动能拦截器完全修正，随着zem越大，脱靶量越大。因此，可以得到nzem方向上的脱靶量示意图，如图2所示。图2中，当zem小于轨道修正能力modify时，脱靶量在末制导精度范围ZERO内；当zem超过轨道修正能力modify时，随着zem越大，脱靶量越大。因此，在nzem方向上的轨道修正能力可以通过计算动能拦截器能够消除的零控脱靶量zem的最大值得到，即

(2)

图2 nzem方向上的脱靶量示意图Fig.2 Illustration of miss distances in the direction nzem

首先给出脱靶量miss(zem·nzem)的计算方法，再给出modify的计算方法。

2.1 脱靶量的计算方法

(3)

(4)

零控脱靶量和视线旋转角速度的模ω的关系为[13]

zem0=ω0r2/v.

(5)

由式(1),式(3)～(5)零控脱靶量

(6)

即zemε0和zemβ0是零控脱靶向量的2个垂直分量。

图3 末制导段脱靶量的数值计算Fig.3 Numerical computation of miss distance during terminal guidance and control

图3中，r0，m0，tgo和v分别为末制导初始时的弹目相对距离、装药量、待飞时间和弹目相对速率，τ为末制导的制导周期。由于弹目相对速率v在末制导段变化较小，在计算中取为常值。

(7)

式中：r0为制导周期初始时的弹目相对距离。

在此制导周期内，若发动机不开机，则在制导周期结束时有

(8)

式中：r=r0-vτ为制导周期结束时的弹目相对距离。

若发动机开机，则消除的零控脱靶量为(参见文献[12]的公式(10))

(9)

式中：a为加速度，且a=F/(m+ms)；tgo为剩余飞行时间，且tgo=r0/v。

在制导周期结束时，视线高低角转率对应的零控脱靶向量的分量为

(10)

(11)

剩余燃料量m为

(12)

图在1个制导周期内的计算方法Fig.4 Numerical computation of after one guidance and navigation cycle

2.2modify的计算方法

根据式(2)计算modify的过程如下。

(1) 首先，寻找包含modify的一个区间[min0,max0]。具体方法为，从0 m开始，以1 000 m为步长，找到第一个miss(zem·nzem)大于阈值ZERO1的zem作为max0。然后，从max0开始，以-100m为步长，找到第1个miss(zem·nzem)值小于阈值ZERO2的zem作为min0。

(2) 在区间[min0,max0]内求解modify，具体方法如图5所示。图5中的ZERO3和ZERO4为阈值。

图5 Modify的计算方法Fig.5 Numerical computation of ‘modify’

3 仿真校验

为了直观显示轨道修正能力的方向性，使用“拦截域”给出轨道修正能力的计算结果。“拦截域”的计算思路来源于文献[14]，文献[14]提出的“拦截域”的循环变量为视线高低角转率和方位角转率，本文“拦截域”的循环变量是零控脱靶向量的2个垂直分量，但是2种方式的本质是相同的[9]。

“拦截域”的仿真计算方法为：取定中末交班时目标导弹的位置和速度、弹目相对距离r=100 km、弹目相对速率v=5 000 m/s、初始视线方位角β=π/3和初始视线高低角ε=π/6，循环变量为zemβ0和zemε0。zemβ0在区间[-6 000,6 000]内选取31个点，zemε0在区间[-6 000,6 000]内选取31个点。根据上述循环条件，计算出动能拦截器在中末交班时的位置和速度，然后进行末段拦截仿真[15]，得到脱靶量的仿真结果。为了与数值计算方法进行对比，动能拦截器的仿真模型没有任何制导误差和延迟。最后，以循环变量zemβ0和zemε0为自变量，画出脱靶量的等高线。

“拦截域”的数值计算方法为：取定中末交班时目标导弹的位置和速度、弹目相对距离r=100 km、弹目相对速率v=5 000 m/s、初始视线方位角β=π/3和初始视线高低角ε=π/6，循环变量为零控脱靶向量的方向角θ,θ在区间[0,2π]内以0.01 rad为步长选点。根据上述循环条件，算出动能拦截器在中末交班时的位置和速度，然后使用本文提出的数值计算方法计算θ方向上的轨道修正能力。最后，以原点(0,0)为起点，轨道修正能力为半径取点得到“拦截域”。

设装药量充足时的装药量为m0，分别取装药量为m0，0.70m0，0.60m0，0.50m0，0.40m0和0.30m0，轨道修正能力的数值计算结果和仿真结果如图6～11的a)所示，图中的点阵表示循环变量zemβ0和zemε0的取值点，细线为脱靶量仿真结果的等高线，粗线为轨道修正能力的数值计算结果。

仿真过程中的燃料耗尽情况如图6～11的b)所示。图中的点阵表示燃料的消耗情况，对于循环过程中的每一个拦截仿真实例，弹目交会时若燃料耗尽则相应的初始零控脱靶向量的位置用黑点表示，若燃料没有耗尽则用白点表示(即空白)。

图6～11给出了不同装药量情况下对应的“拦截域”，当装药量为m0时，所有仿真实例都没有出现燃料耗尽情况，“拦截域”的形状为正方形，轨道修正能力受限于待飞时间而不是装药量；当装药量逐渐递减时，对应较大初始零控脱靶量的仿真实例开始出现燃料耗尽的情况，“拦截域”的形状逐渐萎缩为圆角正方形、圆形、菱形和星型，“拦截域”的面积和尺寸也逐渐缩小，轨道修正能力受限于待飞时间和装药量的共同约束。在导弹的参数初步设计时，对于所有的动能拦截器末段拦截场景，如果动能拦截器的“拦截域”内接圆半径都能满足轨道修正能力的技术指标要求，则装药量越小越好。

图6 装药量充足时(m0)，“拦截域”的形状近似为正方形Fig.6 ‘Intercept field’ is nearly square for sufficient fuel loadage (m0)

从图6～11可以看出，数值计算方法与仿真方法都得到了相同的“拦截域”变化趋势：本文的数值计算方法通过计算视线转率的抑制过程，得到了与仿真方法同样的“拦截域”变化情况，说明“拦截域”的变化取决于动能拦截器的制导方式，为仿真结果

图7 装药量不足时(0.70m0),“拦截域”的形状近似为圆角正方形Fig.7 ‘Intercept field’ is nearly rounded square for insufficient fuel loadage (0.70m0)

图8 装药量不足时(0.60m0),“拦截域”的形状近似为圆形Fig.8 ‘Intercept field’ is nearly round for insufficient fuel loadage (0.60m0)

图9 装药量不足时(0.50m0),“拦截域”的形状近似为菱形Fig.9 ‘Intercept field’ is nearly diamondoid for insufficient fuel loadage (0.50m0)

图10 装药量不足时(0.40m0)，“拦截域”的形状近似为星型Fig.10 ‘Intercept field’ is nearly starlike for insufficient fuel loadage (0.40m0)

图11 装药量不足时(0.30m0)，“拦截域”的形状近似为星型Fig.11 ‘Intercept field’ is nearly starlike for insufficient fuel loadage (0.30m0)

提供了理论支持。同时，数值计算方法具有编程实现简单，计算速度快的优点。

由于在本文的数值计算方法中有很多变量和公式是线性近似得到的，而且在数值算法中没有考虑姿控对弹体质量的影响，因此即使动能拦截器的仿

真模型没有任何制导误差和延迟，仿真结果和数值结果也不能完全一致。线性化带来的误差随着初始零控脱靶量增大而增大，因此，在图6～11中，随着装药量递减，轨道修正能力递减，能够修正的初始零控脱靶量递减，由线性化带来的计算误差也逐渐减少。

4 结束语

以本文的制导方式为例，给出了动能拦截器轨道修正能力的数值计算方法，为“拦截域”的有关仿真结果提供了理论支持，并为其他制导方式下“拦截域”的数值计算提供了思路。与仿真方法相比，该数值方法不能考察各种制导误差对轨道修正能力的影响，但是数值方法具有编程实现简单、计算快捷的优点，可以应用于导弹的参数初步设计以及其他需要快速计算轨道修正能力的场合。

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Numerical Computation Method for Divert Ability of Exoatmospheric Interceptor

ZHENG Dan

(Jiuquan Satellite Launching Center, Gansu Lanzhou 732750, China)

The divert ability of exoatmospheric interceptor depends on its guidance and control system. The numerical computation method for divert ability is proposed for a guidance and control system. The divert ability is obtained by computing the biggest zero-effort miss distance which can be corrected by the interceptor during the terminal course. Simulation results show that this method can compute the divert ability in cases of insufficient fuel load and sufficient fuel load. The numerical computation method is quick and simple and can meet the need of quick computation of divert ability.

kinetic kill vehicle(exoatmospheric interceptor); numerical method; intercept field; divert ability; charge(fuel load); zero-effort miss

2016-04-23；

2016-06-23 作者简介：郑丹(1979-)，女，吉林吉林人。高工，博士，研究方向为制导控制仿真。

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.01.012

V448.2; TJ866

A

1009-086X(2017)-01-0062-08

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