傅里叶分布抛物方程法的准三维研究

黄 颖

(南京邮电大学 电磁场与微波技术系，江苏 南京 210003)

傅里叶分布抛物方程法的准三维研究

黄 颖

(南京邮电大学 电磁场与微波技术系，江苏 南京 210003)

文章介绍了二维抛物方程的傅里叶分步法，提出了一种基于二维方法的准三维研究方法。将三维图形分解为两个二维图形。首先通过二维方法解决圆锥的主视图(三角形)和俯视图(圆形)的电波传播问题，将主视图和俯视图的计算结果分别与参考文献[5]和HFSS中的模型进行对比，从而验证其正确性。该方法比二维的研究范围更广，同时比直接使用三维公式求解简单。

电波传播；抛物方程；傅里叶分步法；准三维

0 引言

抛物方程法(Parabolic Equation,PE)是近年来研究电波传播常用的一种数值方法。通过对波动方程近似得到关于传播方向一阶导数的抛物型方程[1]。

目前，求解抛物方程的方法主要有傅里叶分步法 (Fourier Split-Step, SSFT)和有限差分分解法(Finite Difference, FD)。SSFT算法和FD算法均为步进迭代计算的方法，但各自有不同的特点。SSFT算法对步进的限制非常宽松，允许相对较大的水平步长，因而计算速度很快，且数值稳定性高。虽然FD算法对于复杂的地表边界条件的处理比较简单，但步进会受到电波波长的限制，网格划分较细，计算速度慢。且FD算法需要大量的矩阵运算，对于计算机硬件也有一定的要求。此外，PE方法是一个定解问题，也就是说，若给出已知的初始场条件和边界条件，就能够通过数值算法求得定解。因此在求解远距离、大范围的电波传播问题时，抛物方程主要采用 SSFT 来进行求解[2]。

目前采用SSFT研究大型不规则地面的电波传播问题都是基于二维。虽然SSFT算法计算速度很快，且数值稳定性高，但二维模型无法反应横向媒质产生的横向散射等效应，且三维模型不需要专门寻找三维地形对电波传播产生反射或绕射的区域，也不需要设置各种传播机制的判据，因此该方法计算量相对较小，求解精度更高[1-7]。近年来对三维抛物方程电波传播问题的研究越来越受重视[8-9]，但三维模型的分析求解过程比二维复杂，本文提出一种准三维方法，即通过研究三维图形的主视图和俯视图将三维问题视作两个二维问题，分别对这两个二维问题进行研究，最终将其传播因子数值在相同高度处进行相加，即准三维。

本文首先介绍二维傅里叶分布抛物方程法的求解公式，然后提出用准三维方法研究圆锥形障碍物的电波传播问题，从视图的角度将圆锥问题分解为三角形和圆形。将三角形的传播因子曲线与文献[5]相比较，验证其正确性；并通过在HFSS中建立模型验证圆形障碍物电波传播的正确性。该方法比二维的研究范围更广，同时比直接使用三维公式求解简单。

1 理论分析

抛物方程是已知源点x=0处的波，求解与其相距不远处的下一点波的大小。通过步进迭代法可以得到距离x=0处的下一点x+Δx的波动大小近似为：

(1)

其中，u是波幅度，x和z分别表示横向和纵向(传播方向)坐标；k0是自由空间中的波数；F代表快速傅里叶变换(FFT)，p表示转换变量，p=ksinθ中θ是距离水平面的角度；m是由m=n2-1+2z/ae折射指数变换而来，其中n是折射指数，ae是地球半径[9]。

图1是利用文献[5]的参数，将三维模型转化为二维模型的过程，其中(a)是目标物体圆锥，圆锥的底面是半径为2.5 km的圆，高是50 m，源的高度为10 m；(b)和(c)分别是圆锥在(x,z)面(主视图)和(x,y)面(俯视图)的三角形和圆形。另外，图1中俯视图的高度设置为点源处，因此图1(c)中的半径为2 km。

对图1(b)和(c)进行分析时，其计算区域不同，采用相同天线，假设电波在平面地表上传播，其参数是：频率为100 MHz、水平极化、垂直波数宽度为10°的高斯天线。迭代步长Δx=50 m，物体表面为理想导体表面，地面近似为平地面。

图1 模型图

2 三角形模型的分析

图1中三角形模型的计算区域是30 km×500 m。计算中使用的天线参数如上节所述。对主视图中三角形障碍物的电波传播进行分析计算。

主视图中的发射天线高度设为10 m。图2所示是底边长为5 km，高度为50 m，起点在坐标原点的三角形障碍物电波传播的伪彩图。该图提供了足够好的倾斜地形采样。峰值衍射和阴影引起的场变化尖锐，特点正确明显。

图2 三角形障碍物电波传播的伪彩图

图3为传播距离为5 km处的传播因子图。

图3 传播距离为5 km处的传播因子

从图3的曲线可看出本文中的计算结果与文献[5]的结果非常吻合。

3 圆形模型的分析

俯视图中发射天线高度设为2.5 km，圆形模型的计算区域是5 km×5 km。其天线的参数与三角形模型的相同。用傅里叶分布抛物方程法得到在传播距离为5 km处圆形障碍物的传播因子。

为了验证使用抛物方程法(PE)计算圆形障碍物电波传播的正确性，本文利用了HFSS的仿真和计算。在HFSS中建立立方体辐射边界，使用偶极子天线作为发射源，将圆柱视作障碍物，材质为理想导体，圆柱的高度与立方体的边长相等，立方体边界设为辐射边界。观察与偶极子天线所在面相对的面的求解线上的传播因子，来验证抛物方程法的模型。偶极子天线距离圆柱中心的长度为L，圆柱底面半径为R，为了与PE方法的尺寸相对应，设定比例大小R/L=r/l=0.8，求解线距离圆柱中心的大小为L，通过HFSS仿真来计算其传播因子。图4为圆形障碍物使用抛物方程法得到的伪彩图。

图4 PE圆形障碍物的伪彩图

从图4可以看出，由于圆形障碍物的尺寸很大，电波在传播过程中几乎被障碍物阻挡。

图5 100 MHz时PE和HFSS的传播因子比较

图5为采用PE和HFSS得到的传播因子示意图，从图中可以看出PE和HFSS的结果比较相近，说明使用PE计算圆形障碍物电波传播的正确性。

将比例大小R/L固定，把天线替换成频率为300 MHz偶极子天线。图6为300 MHz时PE方法和HFSS传播因子。

图6 300 MHz时PE和HFSS的传播因子比较

从图6看出PE和HFSS的曲线数值和趋势几乎吻合。根据绕射原理，当频率越高时波长越短，绕射现象越不明显，所以300 MHz频率下的衰减比100 MHz时严重，因此，图6的衰减值比图5大。其比较结果与理论相符合，所以用傅里叶分布抛物方程法求解的圆形障碍物的传播因子是合理的。

4 准三维的应用

下面将三角形与圆形的结果相结合来研究准三维圆锥在频率为100 MHz时的传播因子。将图1中的源每抬高1 m得到不同的俯视图，分别计算不同高度处的半径以及不同的圆形障碍物的传播因子，最终将其在圆心处的传播因子与三角形等同高度处相加，得到图7所示的准圆锥在0～50 m处的传播因子示意图。

图7 在0～50 m处的准圆锥的传播因子示意图

如图7所示，随着圆锥的高度增加，俯视图中圆半径逐渐减小，衰减值也随之减小，高度10 m～45 m之间衰减值趋于平稳，当半径逐渐趋于0时，曲线急剧下降，衰减越少，障碍物对波的阻挡越小。

通过上面的结果可以得出本文提出的准三维的方法可以预测圆锥障碍物在电波传播中的绕射现象，从而验证了此方案的可行性。

在用抛物方程法计算三角形障碍物时的总步数是600步，时间为3.921 47 s；计算圆形障碍物时是100步，100 MHz的时间为2.916 79 s，300 MHz的时间为2.383 34 s。仿真代码是使用MATLAB软件运行，使用的是2.1 GHz-CPU的个人笔记本。

5 结论

本文提出了一种基于二维抛物方程法的准三维电波传播方法，将三维圆锥分解为两个二维的三角形和圆形，并将三角形和圆形的传播因子的数值在相同高度处相加，得到圆锥的准三维传播因子。通过对比文献[5]和HFSS的结果验证了两个二维模型的正确性。该方法比二维的研究范围更广，同时比直接使用三维公式求解简单。

[1] 李方, 察豪. 抛物方程法研究不规则地形对电波传播的影响[J]. 火力与指挥控制, 2010, 35(8):114-116.

[2] 张青洪, 廖成, 盛楠,等. 抛物方程方法的亚网格模型及其应用研究[J]. 电子与信息学报, 2014, 36(8):2005-2009.

[3] Zhi Chao, GUIZHEN L. Research of the application of the Fourier transform algorithm for parabolic equation in radio wave diffraction[C]. Environmental Electromagnetics, IEEE, 2015:94-96.

[4] CHEN Y, QIN W. A variable range step technique for propagation predictions over large irregular terrain using the Fourier split-step parabolic equation[C]. Asia-Pacific Microwave Conference, IEEE, 2015:1-3.

[5] 胡绘斌, 毛钧杰, 柴舜连. 大气折射率剖面在宽角抛物方程中的应用[J]. 微波学报, 2006, 22(1):5-8.

[6] DONOHUE D J, KUTTLER J R. Propagation modeling over terrain using the parabolic wave equation[J]. IEEE Transactions on Antennas & Propagation, 2000, 48(2):260-277.

[7] HVIID J T, ANDERSEN J B, TOFTGARD J, et al. Terrain-based propagation model for rural area-an integral equation approach[J]. Antennas & Propagation IEEE Transactions on, 1995, 43(1):41-46.

[8] 倪军林. 矢量抛物线方程在电波传播中的应用[D]. 杭州:杭州电子科技大学, 2009.

[9] JANASWAMY R. Path loss predictions in the presence of buildings on flat terrain: a 3-D vector parabolic equation approach[J]. IEEE Transactions on Antennas & Propagation, 2003, 51(8):1716-1728.

Research of quasi three dimensional of Fourier split-step parabolic equation approach

Huang Ying

(Department of Electromagnetic Field and Microwave Technology, Nanjing University of Posts and Telecommunications, Nanjing 210003,China)

The two-dimensional (2-D) Fourier split-step parabolic equation approach is introduced, and the quasi-three-dimensional (quasi-3-D) wave propagation method based on 2-D is proposed in this paper. The 3-D patterning is divided into two 2-D patterning. The results of the main view (triangle) and the top view (circular) of the cone are calculated by 2-D approach, which are compared with the results of the reference [5] and the HFSS to verify their correctness respectively. The quasi-3-D is more extensive than the 2-D approach, and it is simpler than the direct use of the 3-D formula.

wave propagation; parabolic equation; Fourier split-step; quasi-three-dimensional

TN92

A

10.19358/j.issn.1674- 7720.2017.03.005

黄颖.傅里叶分布抛物方程法的准三维研究[J].微型机与应用，2017,36(3)：16-18，22.

2016-10-12)

黄颖(1991-)，通信作者，女，硕士研究生，主要研究方向：抛物方程法在电波传播预测计算中的应用研究。E-mail：1143937804@qq.com。