平面直角坐标系中的点的坐标特征

广西壮族自治区钦州市北部湾职业技术学校(535000) 高晓兵

浙江省台州市黄岩区高桥中学(318025) 蔡历亮

平面直角坐标系是数与形之间联系的一座桥梁,也是今后学习其它数学知识的重要基础,本文对坐标系中点的坐标特征进行了梳理与归纳,供同学们学习时参考.

1.象限内的点的符号特征

象限内的点的坐标：第一象限(+,+),第二象限(-,+),第三象限(-,-),第四象限(+,-).

例1如果(x+2)2+|y-3|=0,则点p(x,y)在第几象限?

解析因为(x+2)2+|y-3|=0,

所以(x+2)2=0,|y-3|=0,

从而x=-2,y=3,

p(x,y)为p(-2,3)在第二象限.

例2已知点A(m,n)在第一象限,那么点B(n+2,-m)在第___象限.

解析因为A(m,n)在第一象限,

所以m＞0,n＞0,

从而n+2＞0,-m＜0,

点B(n+2,-m)在第四象限.

2.同一横线或同一纵线上的点的符号特征

同一横线(与x轴平行或共线)上的点的纵坐标相同,同一纵线(与y轴平行或共线)上的点的横坐标相同.

例3已知点A(x,3)、B(-2,y),且AB//y轴,则x=___,y的取值范围是___.

解析因为AB//y轴,

所以A、B两点在同一纵线上,横坐标相等,

从而x=-2.

又考虑到点A与点B是不同的点,

所以y的取值范围是y/=3.

例4点B与点C的横坐标相同,纵坐标不同,则直线BC与x轴的关系是()

A.相交但不垂直 B.垂直

C.平行 D.以上都不正确

解析由于点B与点C的横坐标相同,纵坐标不同,

所以B、C两点在同一纵线上,

直线BC是一条纵线,与y轴平行或共线,

故直线BC与x轴垂直,选B.

3.坐标轴上的点的坐标特征

横坐轴上的点的纵坐标为0,纵轴上的点的横坐标为0.

例5已知M(a,b)在坐标轴上,则a、b满足( )

A.a=0 B.b=0

C.a=0且b=0 D.a=0或b=0

解析M(a,b)在坐标轴上,

则M可能在横轴(x轴)上,也可能在纵轴(y轴)上.

当M(a,b)在横轴上时,纵坐标b=0;

当M(a,b)在纵轴上时,横坐标a=0.

故选D.

这里要注意不能选C,因为当a=0且b=0时,M(a,b)只能是原点,而不能是坐标轴上的其它点.

例6已知点A(-2,n)在x轴上,则点B(n-1,n+1)在( )

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析点A(-2,n)在x轴(横轴)上,

所以纵坐标n=0,

所以n-1＜0,n+1＞0,

故点B(n-1,n+1)在第二象限,选B.

4.点的横坐标与纵坐标的几何特征

平面直角坐标系中,一个点到横轴的距离就是这个点的纵坐标的绝对值,一个点到纵轴的距离就是这个点的横坐标的绝对值.即P(x,y)到x轴的距离是|y|,P(x,y)到y轴的距离是|x|.

例7若点P到x轴的距离是2011,到y轴的距离是2012,则点P的坐标是____.

解析设P(x,y),则

由P到x轴的距离是2011知|y|=2011,y=±2011.

由P到y轴的距离是2012知|x|=2012,x=±2012.

P(x,y)共有四种情况(2012,2011),(2012,-2011),(-2012,2011),(-2012,-2011),这四个点分别位于四个不同象限中.

例8第四象限中,点A(a+1,a-8)到y轴的距离是点A到x轴的距离的2倍,分别求出点A到x轴、y轴的距离.

解析

因为点A在第四象限,

所以a+1＞0,a-8＜0,

因此点A到y轴的距离为|a+1|=a+1,

点A到x轴的距离为|a-8|=-(a-8)=8-a.

又因为点A到y轴的距离是点A到x轴的距离的2倍,

所以a+1=2(8-a),

所以a+1=16-2a,3a=15,a=5.

此时A(a+1,a-8)为A(6,-3)的确在第四象限,点A到x轴的距离为3,点A到y轴的距离为6.

5.象限角平分线上的点的坐标特征

第一、三象限的角平分线上的点P(x,y)的横坐标等于纵坐标,即x=y.第二、四象限的角平分线上的点P(x,y)的横坐标与纵坐标互为相反数,即x=-y.

例9已知点M(2a+b,a-b-3)在第二、四象限的角平分线上,求a2011+a的值.

解析因点M在第二、四象限的角平分线上,

所以点M的横坐标与纵坐标互为相反数,

即(2a+b)+(a-b-3)=0,3a-3=0,a=1,

所以a2011+a=1+1=2.

例10已知点P(b+1,-a)在第一、三象限两坐标轴夹角的平分线上,Q(2b,c)在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上,PQ//y轴,求点P、Q两点间的距离.

解析由PQ//y轴,知P、Q两点在同一纵线上,

b+1=2b,-a/=c.

由b+1=2b知b=1,

所以P(2,-a),Q(2,c).

又因为P在第一、三象限两坐标轴夹角的平分线上,

Q在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上,

所以P(2,-a)为P(2,2),Q(2,c)为Q(2,-2),

P、Q两点间的距离为2-(-2)=4.

6.坐标系中平移变换下点的坐标变化特征

向右平移横坐标增加,向左平移横坐标减少,向上平移纵坐标增加,向下平移纵坐标减少.

例11已知点M(a,b),将点M向右平移c个单位长度,得到的点的坐标是( )

A.(a-c,b) B.(a+c,b)

C.(a,b-c) D.(a,b+c)

解析向右平移c个单位长度,则点的横坐标增加c.

当c＞0时,实际向右平移;

当c=0时,实际没有平移;

当c＜0时,实际向左平移.

不管c＞0,还是c=0、c＜0,点M(a,b)向右平移c个单位长度后,所得点的坐标一定是(a+c,b),答案选B.

例12将△ABC先向右平移,再向上平移,得到△A′B′C′.点A(-2,3)平移后的对应点A′的坐标为(5,5),则点C(-3,2)平移后的对应点C′的坐标为____.

解析坐标系中,个体(△ABC中的任意一点)与整体(整个△ABC)的平移方式是相同的.由A(-2,3)经过平移后得A′(5,5)知该平移是：先向右平移7个单位长度(横坐标加7),再向上平移2个单位长度(纵坐标加2).所以C(-3,2)平移后的对应点C′的坐标为(4,4).

7.关于坐标轴或原点对称的两个点的坐标特征

如果两个点关于横轴对称,那么它们的横坐标相等,纵坐标互为相反数;如果两个点关于纵轴对称,那么它们的横坐标互为相反数,纵坐标相等;如果两个点关于原点对称,那么它们的横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数.即点(a,b)关于x轴对称的对应点是(a,-b),点(a,b)关于y轴对称的对应点是(-a,b),点(a,b)关于原点对称的对应点是(-a,-b).

例13小颖同学将点A关于x轴的对称点误认为是关于y轴的对称点,得点(3,4),求点A关于原点的对称点.

解析因点A关于y轴的对称点为(3,4),所以A(-3,4),从而点A(-3,4)关于原点的对称点为(3,-4).

例14已知A、B两点关于x轴对称,A、C两点关于y轴对称,则B、C两点()

A.关于x轴对称

B.关于y轴对称

C.关于原点对称

D.上述三个选项都不对

解析设A(a,b),

由A、B两点关于x轴对称知B(a,-b),

再由A、C两点关于y轴对称知C(-a,b),

此时我们发现B、C两点横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数,

所以B、C两点关于原点对称,选C.