五种典型排列组合问题的解题策略

■浙江省绍兴市鲁迅中学高二(10)班 吴伟捷

五种典型排列组合问题的解题策略

■浙江省绍兴市鲁迅中学高二(10)班 吴伟捷

排列组合问题联系实际,常常注重同学们的能力与知识应用的考查。解此类问题主要涉及化归与转化思想和分类讨论思想。下面通过实例介绍五种典型的排列组合问题的解题策略,供大家参考。

一、相邻问题——捆绑法

此类问题就是将相邻的几个元素视为一个整体,把它看成一个元素进行排列,故称捆绑法。

3个女生和5个男生排成一排,其中3个女生必须排在一起的不同排法有( )种。

A.2160 B.4320

C.1080 D.540

解析:因为3个女生要排在一起,所以可将3个女生视为一个人,与其余5个男生进行全排列,有A66种不同排法。对于其中的每一种排法,3个女生之间有A33种不同排法,所以由分步计数原理可知共有A66·A33= 4320(种)不同排法。故选B。

二、不相邻问题——插空法

此类问题先排好没有限制条件的元素,再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙及两端位置,故称插空法。

由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1与2不相邻的六位数,可以组成____个。

解析:因为数字1与2不相邻,故可用插空法。先排数字3,4,5,6,有种不同排法,每种排法留出5个空位,再将1,2插入,有种排法,所以由分步计数原理可知共有·=480(种)不同排法。

三、带有限制条件问题——优先法

这是一类纯排列问题,当问题中有了特殊元素或特殊位置,应优先将有限制条件的元素或位置排好,再考虑其他元素的排法。

1名老师和4名同学排成一排照相留念,若老师不排在两端,则共有多少种不同的排法?

解法1:优先考虑特殊元素,先排老师。老师不排在两端,只能从剩下的3个位置选1个,有种排法,然后4名同学站在另外4个位置,有种不同排法,由分步计数原理可知,共有·=72(种)不同排法。

解法2:优先考虑特殊位置,先排两端。从4名同学中,选2人排两端,有种不同排法,再排其余3个位置,有种不同排法,由分步计数原理可知,共有·= 72(种)不同排法。

四、“至多”与“至少”问题——直接法或间接法

解含“至多”或“至少”的排列组合问题常有两种方法:一种是直接法,即按题设条件分类,然后分类计算选法种数;另一种是间接法,即先不考虑限制条件计算选法种数,然后排除不合条件的选法。

某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的不同的选法有( )。

A.27种 B.48种

C.21种 D.24种

解法1:(直接法)分类解决,显然满足题意的选法有两类:一类是1名女生,1名男生的选法有·=21(种);另一类是2名女生的选法有=3(种)。故符合条件的选法共有·+=24(种)故选D。

解法2:(间接法)先不考虑限制条件,10名学生选2名代表的选法有种,再去掉不合条件的,即2名代表全是男生的选法有种,故符合条件的选法共有-= 24(种)。

五、分组分配问题

分组分配问题一般应先分组后分配,解题时要分清是平均分组、不平均分组,还是混合分组,还应判断是编号分组,还是非编号分组,即组与组之间有无差别。

6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法?

(1)平均分成3组;

(2)分成3组,一组1本,一组2本,一组3本;

(3)分成3组,每组书的本数为1,1,4;

(4)平均分给甲、乙、丙3人。

(2)不平均分组,先拿1本,再拿2本,最后3本为一组,所以共有=60(种)不同分法。

练一练

1.4个不同的小球放入4个不同的盒中,且恰有1个空盒的放法有多少种?

2.7个人站队排成一排,其中甲不能站排头,也不能站排尾,有多少种排法?

3.从集合{O,P,Q,R,S}与{0,1,2,3,4, 5,6,7,8,9}中各任取2个元素排成一排(字母与数字均不能重复)。每排中字母O,Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是____。

4.从正五棱柱的10个顶点中选出5个顶点,最多可构成多少个不同的四棱锥?

5.7个人参加义务劳动,按下列方法分组有多少种不同的分法?

(1)分成三组,分别为1人、2人、4人;

(2)选出5个人再分成两组,一组2人,另一组3人;

(3)选出6个人,平均分成两组,每组都是3人;

(4)选出2人一组、3人一组,轮流挖土、运土。

参考答案

1.第一步从4个不同的小球中任取2个“捆绑”在一起有C24种方法,第二步从4个不同的盒里取其中的3个,将球放入有A34种方法。所以共有C24A34=144(种)方法。

2.先考虑除甲以外6人的排队方法,有A66种排法,因为甲不能站排头,也不能站排尾,所以让甲插空,只有5个空,有A15种排法,因此共有A66A15=3600(种)排法。

4.①从一个底面中选4个点作为四棱锥的底面顶点,从另一个底面中选1个点作为四棱锥的顶点,有)四棱锥;②以正五棱柱的任意两个侧棱为底,从剩余的6个点中任取1个为顶点,四棱锥共有;③以两个底面上平行的两条棱为底,从剩余的6个点中任取1个为顶点,四棱锥有C25C16=60(个)。

四棱锥总共有50+60+60=170(个)。

5.(1)选出1人的方法有C17种,再由剩下的6个人中选出2人的方法有C26种,剩下的4人为一组有C44种,依据分步计数原理知分组的方法有C17C26C44种。

(2)可直接从7人中选出2人的方法有C27种,再由余下的5个人中选3人的方法有C35种,依分步计数原理可知,分组的方法有C27C35=210(种)。

(3)选3人为一组有C37种方法,再选3人为另一组有C34种方法,依分步计数原理可知每A22种分法只能算一种,所以不同的分法

(责任编辑 徐利杰)