解排列组合题时常见的几类错误

■江苏省太仓市明德高级中学 王佩其

解排列组合题时常见的几类错误

■江苏省太仓市明德高级中学 王佩其

一、因没有理解两个基本原理而致错

排列组合问题基于两个基本计数原理,即加法原理和乘法原理,“分类用加,分步用乘”是解决排列组合问题的基础。

从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各2台,则不同的取法有____种。

错解:因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机,所以只有2种取法。

剖析:错解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法,但每类办法中还有不同的取法。

正解:由剖析知,完成任务有两类办法,完成第一类办法还可以分成两步:第一步在原装计算机中任意选取2台,有种方法;第二步是在组装计算机任意选取3台,有种方法,据乘法原理共有·种方法。同理,完成第二类办法中有·种方法。综上,选法共有

二、因判断不出是排列还是组合而致错

在判断一个问题是排列还是组合问题时,主要看元素的组成有没有顺序性,有顺序的是排列,无顺序的是组合。

把大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球排成一排,共有多少种不同的排法?

剖析:错解中没有考虑3个红色小球是完全相同的,5个白色小球也是完全相同的,同色球之间互换位置是同一种排法。

正解:8个小球排好后对应着8个位置,题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球,剩下的位置给白球,由于这3个红球完全相同,所以没有顺序差别,是组合问题,这样共有=56(种)排法。

三、因重复计算而致错

在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等,这些问题要注意避免重复计数而产生错误。

某交通岗共有3人,从周一到周日的7天中,每天安排1人值班,每人至少值2天,其不同的排法共有____种。

错解:第一个人先挑选2天,第二个人再挑选2天,剩下的3天给第3个人,这三个人再进行全排列,共有=1260(种)不同排法。

剖析:这里是均匀分组问题。比如:第一人挑选的是周一、周二,第二人挑选的是周三、周四;也可能是第一个人挑选的是周三、周四,第二人挑选的是周一、周二,所以在全排列的过程中就重复计算了。

四、因忽视题设条件而致错

在解决排列组合问题时,一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号,不然就可能多解或者漏解。

已知ax2-b=0是关于x的一元二次方程,其中a,b∈{1,2,3,4},求解集不同的一元二次方程的个数。

错解:从集合{1,2,3,4}中任意取2个元素作为a、b,方程有个,当a、b取同一个数时方程有1个,共有+1=13(个)方程。

剖析:错解中没有注意到题设中:“求解集不同

正解:由分析知,共有13-2=11(个)解集不同的一元二次方程。

(责任编辑 徐利杰)