《解决问题的策略——一一列举》教学建议

嵇宪长

（江苏省无锡市蠡园中心小学，江苏无锡 214000）

《解决问题的策略
——一一列举》教学建议

嵇宪长

（江苏省无锡市蠡园中心小学，江苏无锡 214000）

解决问题的策略，具体到教学实践中，其实就是解决问题时思考的方法，也就是在教学过程中重点要让学生学习和运用思考的方法。为此，需要明确策略的适用范围，强化策略的运用要点，讲究策略的使用技巧，让学生在辨析、联系和分化中形成策略意识，提升应用能力。

解决问题；一一列举；教学建议

引 言

解决问题的策略，其功能和价值有很多区分。按照其在解决问题的一般性价值来分，可以粗略地将“解决问题的策略”分为一般策略、基本策略和常用策略。在苏教版小学数学教材选择编排的策略中，分析法和综合法属于一般策略，是在解决所有问题时都需要运用的思维方式；列表整理问题和画图表征问题属于基本策略，在解决稍有难度、复杂的问题时基本都会用这样的策略帮助理解题意、寻找关系；而像一一列举、假设法、转化法则属于常用策略，更偏重于方法层面，利用这样的思维方法常常能顺利解决具有相应特征的问题。

一、明确一一列举策略的适用范围

前文已述，一一列举策略属于常用策略，这是就使用的范围、时机和频率而论的。教学实践中，首先要让学生认识到一一列举策略的适用范围，即是在问题的答案多样的时候，我们常常需要将问题的答案一个一个有顺序地列举出来，并根据列举的实际情况回答问题。所以，在课堂伊始，我们就要设计比较恰当的答案唯一问题和答案多样问题，让学生进行对比，发现这两类问题的基本特点，进而引出“一一列举”的思考策略。比如，在数学中比较普遍地存在着这样一个现象：正向叙述的问题，通常答案唯一，思考的难度较低；而一旦将问题反叙时，问题思考的难度立即升级，答案也可以变得多样起来。如5+3=（ ）属于正向叙述问题，（ ）+（ ）=8属于反向叙述问题，前者答案唯一，后者答案多样。课堂上我们可以设计这样的问题，让学生在比较中找到两者的不同特点，并相机指明把多样答案一个一个列举出来的解决问题的方法就叫作“一一列举”策略。接着，进入到新课创设的问题情境中，去体会和感悟运用一一列举策略思考和解决问题的一般路径和操作要点。在课堂巩固时，我们也可以出示一组问题，让学生在审题的基础上，首先对问题进行分类，看看哪些问题需要使用一一列举策略、哪些问题则不要，以培养学生良好的问题直觉。然后再把那些需要一一列举策略的问题筛选出来，使用一一列举的策略一一解决[1]。

二、强化一一列举策略的运用要点

数学就是为了让学生学会有根有据、有条有理地思考和解决问题，从而培养思维的条理性和严密性，以提升思维的良好品质。运用一一列举策略解决问题，正是培养学生思维有序性和条理性的有效载体和良好时机。在教学实践中，引出一一列举策略时，需要适当拉长策略的感受过程，特别是需要让学生观察“无序列举”和“有序列举”，从实际情形和效果的对照中得出“有序”的优势——可以有效地防止遗漏和重复，使解题的程序和层次更加清晰，方便把握。

当然，除了新授环节，需要强调“有序”外，在课堂的巩固练习和更长一段时间的继续练习中，也要不断强化这一要点。也就是，只要运用到“一一列举”这一解题策略，学生就能意识到“序”，提炼出“序”，感受有“序”。就教材中安排的习题来说，“序”的体现主要有这样几种：一是时间推进的序。如闹钟响铃问题、网站更新问题、车辆发车问题等，这类问题的“序”，在自然解题的状态下就可以生成，不需要特别强调。二是搭配问题的序。如数字组合问题、球队比赛问题、配菜问题、线路问题等，这类问题的“序”，在搭配的过程中，需要强调从某类要素中的一个要素想起，依次搭配，列举出全部的情形。三是设计方案的序。典型的就是已知长方形的周长或面积，列举出符合要求的长方形。因为决定长方形形状的元素是长和宽，就可以引导学生以长或宽为思考前提，在遵循长的数据大于或等于宽的数据的规则下，按照顺序记录下符合题目条件的所有长方形，然后从中筛选出符合要求的指定长方形。

在具体实施这个要求过程中，方法和程序又可以灵活多变。具体来说，对于一般难度的问题，我们通常可以用这样的问题引导学生思考：你准备用什么样的思考方法解决这个问题？（一一列举的策略）在列举时要注意什么？（列举的“序”）关于这个问题，你心目中的“序”是什么？除了这个“序”，还可以是什么“序”？要求学生在真正动手解决问题之前，就开始通盘考虑，整体谋划，在头脑中设计出一条解决问题的严整路径，然后按照这个路径，实施解题计划，直至问题得到顺利正确解答。而对于一些题材和情境相对陌生、思维难度较大的问题，可以采用先零敲碎打、七嘴八舌的方式罗列出答案，再引导学生回头反思寻找“序”的方法。等通过师生活动确定了思考问题的“序”后，再让学生运用这个“序”来尝试解决问题，在以退为进、循环往复中强化思考问题的条理性。

三、讲究一一列举策略的使用技巧

学生在过往解决问题时，常常是用算式来记录自己的思考过程，表达解题结果，而适宜使用一一列举策略解决的问题，常常并不需要或不方便用算式来记录（即使需要算式，它也仅是整个解题过程中的一个环节），需要采用与既有经验不同的方式来表达思考，寻找答案。所以，在使用一一列举策略解题问题时，学生需要专门学习一些具体的解题技巧。而这些技巧的价值、掌握和熟练，需要学生在使用的过程中慢慢体会和领悟，在不断巩固的过程中达到灵活运用。

一是问题要素符号化。这个技巧是整个一一列举策略解决问题过程中使用最广的。当然，这里的符号是广义的，包括字母、数字、符号等。因为问题一般是使用文字来叙述其中的要素的，使用符号来代替问题中的元素，无论在列举答案的书写上还是在审定答案的阅读上，都会带来简洁与便利。只不过，需要略加注意的是，在选择符号代替问题中元素的时候，一类元素就用一类符号来表示，另一类元素就用另一类符号来表示，比如用大写字母和小写字母来区分，或用字母和数字区分，或采用其他形式区分。区分开以后，更方便体现思考的有序性和层次的清晰性。

二是答案表征结构化。一一列举的问题，需要将多个符号要求的答案按序罗列出来。由于这些答案之间既相互独立又紧密关联，因此适合采用结构化呈现答案的方式，这既体现了问题解决者思维的清晰与流畅，同时也为自身有效的反思和回顾活动提供了便利的条件。最常用的结构表征的方式是列表和画图（连线可以看成是其中的一种特殊形式），这两种呈现方式对于大多数问题来说，是可以相互转换的，教学中可以选择一些问题进行两者之间的转换，并让学生进行对照和比较，得出两者的相同之处和优劣所在，从而增强根据问题特点选择合适列举方式的意识和能力[2]。

三是问题思考序列化。其实关于这一点，前文已经讲了不少。再谈这一点，只是为了强调：在稍复杂的一一列举问题中，经常需要采用“类+种”的思考方法，也就是先把答案分成几大类，再按照每一类的要求列出从属的几种答案，最后才把所有的情况进行综合。从学生学习的实际情况来看，关于“分类”这个环节，学生把握起来是比较困难的，他们往往不能在解决问题的初始阶段进行分类思考，而只能列出某一类别中的一种或几种答案。所以，在教学中，要带领学生总结出这种序列思考的方式，并在练习中加以运用，不断提高学生有序思考的深度和水平。

[1]徐红.让学生自悟“策略”——解决问题的策略(一一列举)教学实践与思考[J].新课程学习(上),2014,(12):46.

[2]张慧萍,孟亦濬.“解决问题的策略:一一列举”教学实录与评析[J].小学数学教育,2012,(11):66-69.

嵇宪长（1970），男，江苏滨海人，本科学历，主要从事小学数学学科教学与研究，高级教师。