小学数学中整除性问题及其教学的探究

江苏/徐照姝

小学数学中整除性问题及其教学的探究

在小学数学四则运算中，加法和乘法永远是可能进行的，就是说任何数都能相加或相乘。减法则不然，减法的条件很清楚，就是减数不能大于被减数。除法则又和减法有所不同，譬如能整除的除法有一定的条件限制，同时要想判断一个数能否被另一个数整除，是小学数学教学中比较困难的一个问题。下面就数的整除性和教学有关问题作些探讨。

一、数的整除性

为了进行整除性的判断，我们需要首先学习一下有关的定理。定理1：如果a能整除c，d能整除a，那么d能整除c，c/a，a/d，则c/d。证明略。定理2：如果两个加数c1和c2能被同一个自然数a整除，那么它们的和也能被这个自然数a整除，即c1/a，c2/a，C2/a，则(c1+c2)/a。证明略。

二、数的整除特征

数的整除特征较多，下面列举常见的三种。(1)尾数能被2整除的数，一定能被2整除。例如数6534，其最后一位数4能被2整除，所以6534能被2整除。在自然数里，奇数和偶数是相互交错的，如1是奇数，2是偶数，3是奇数，4是偶数等等。(2)个位上的数之和能被3整除的数就能被3整除。例如数5421，个位上的数的和12能被3整除，那么5421也能被3整除。我们再把1000分成999加l，把100分成99加1，把10分成9加1。这样，我们可以用5倍999和5个单位来代替5000，以4倍99和4个单位来代替400；以2倍的9和2个单位来代替20，加数999、99和9都能被3整除，如果5+4+2+1的和能被3整除，那么5421也能被3整除。事实上5421÷3=1807。因此，我们说3能整除且仅能整除个位上的数的和能被3整除的数。(3)能被7、11、13整除的数的特征。关于能被7、1l、13整除的数的特征，论证起来比较复杂。

三、用辗转相除法求最大公约数

辗转相除法因涉及到一些理论问题，而且比较复杂，在小学数学教学中不常用，所以只作简单探讨。

用辗转相除法求最大公约数。例如45和15，因为15能整除45，15也能整除15，所以15是45和15的公约数，也是最大公约数。实际上，因为145=50×2+45，所以45=145-50×2。由这两个等式，根据二数的和与差的整除性，可以得出50和45的公约数，也是145的约数；145和50的公约数，也是45的约数。这样，145和50、50和45有相同的公约数，所以它们的最大公约数也应当相同。我们知道用50除145，不能整除，得商2，余45，那么145和50的最大公约数应当等于50和45的最大公约数；再用45除50，仍不能整除，得商l，余5，这时50和45的最大公约数应当等于45和5的最大公约数。

四、整除教学的方法

因为有关数的整除知识，其中很大一部分是学习分数的必需的知识。所以，在小学教学这部分数学内容，是有一定难度的。但是，我们也应该看到，不仅如此，其中很大一部分内容，学生已经学过，只是在那时限于学习的重点是别的知识，以及考虑到儿童对知识的可接受性，没有把问题提出来，或者没有把问题展开来谈。因此，我们说数的整除知识的学习，可加深对整数知识的理解。这里就数的整除的教学，先提出几个带有共同性的问题供作参考。

(一)在教学过程中，要注意使学生正确理解和区别这些不同的概念。其中有些概念都是同时出现的，弄得不好，学生就混淆不清。另外，这些概念在一定程度上来说，是一环扣一环的，前者不清，后者难学。为此，对于每一个概念，都应该讲解得清清楚楚，务使学生确切理解。

(二)如果在教学中教师能注意充分利用学生已有的知识，有些内容是不难理解的。例如，关于整除、约数、倍数、偶数、奇数等知识，学生都已学过，只是在当时没有明确地提出这些概念罢了。对这样引入新概念学生理解起来，不会有什么困难。同时，我们还应该看到，在教学这部分知识过程中，有些概念是同时出现的，而且它们又是紧密联系着的，讲清前者就为学习后者作了准备；讲了后者又复习、巩固了前者，提高了对前者的认识。另外，像有些概念，如偶数和奇数这两个概念，学生在认数以及进行整数四则计算中，早已很熟悉，只是没有去讲解就是了。教学中只要把自然数列出一部分，向学生指出哪些数是偶数，哪些数是奇数，学生是会很快把它们熟悉起来的。即使像质数与合数、分解质因数等这些新概念，如能在教学中充分利用学生的已有知识，教材处理得好，教法得当，学生也不会感到十分生疏，理解起来也不会困难太大。

(三)注意通过实例对比讲清教材内容。数的整除这部分教材，在讲授过程中，不要求作理论上的阐述，而主要是通过实例，采取分析、对比的方法，使学生理解所学内容。例如讲整除时，就举实例加以说明，并使所举的实例包括各种情况。这样进行分析、归纳，学生对除法算式的异同印象深刻，对整除概念，理解得透彻，在理解整除的意义的基础上，结合所举实例讲解倍数和约数，学生就会感到是自己已经知道了的知识似的，不会有什么生疏之感。一个有限，一个无限，一个最大，一个最小，这样通过实例进行分析比较，学生印象会十分深刻，获得的知识也会牢固。

关于数的整除的特征，也主要是通过实例进行分析归纳，找出能被2、5、3整除的特征。教学中不要扩大教材内容，把教材中的内容讲清楚，使学生牢固地掌握起来就可以了。

学习数的整除这部分内容，在一定意义上来说是为进行分数计算作准备的。因此，就小的段落来说，则分解质因数又是个重点。而在每一部分教学内容中又有其重点。笔者认为，教学中要抓住大的重点和每一部分的重点，把这些内容讲解清楚，即可收到举一反三之效。教师在讲述这部分知识时，如果教材处理得当，讲授得法，是会收到良好效果的。

江苏省新沂市新店镇小湖中心小学)