基于ΔE及阶跃效应的T-D棒位移输出仿真分析*

汪建新，晋 康，常云龙，梁永利

(内蒙古科技大学 机械工程学院，内蒙古 包头 014010)

基于ΔE及阶跃效应的T-D棒位移输出仿真分析*

汪建新，晋 康，常云龙，梁永利

(内蒙古科技大学 机械工程学院，内蒙古 包头 014010)

在理论分析弹性柱体纵向振动模态的基础上，利用有限元软件ATILA得到了T-D材料棒在ΔE和阶跃效应及两者共同影响下的一阶纵向振动频率，计算得到了T-D材料棒端面纵向振动位移随线圈激励频率变化的输出曲线。分析讨论了ΔE效应及阶跃效应对T-D材料棒一阶纵向振动模态的影响，发现了线圈激励频率位于T-D材料棒一阶纵向振动固有频率附近时对端面纵向振动幅值的放大作用。为合理选择T-D材料棒的预应力和偏置磁场大小，用以使T-D材料棒在期望频率范围内获得理想输出性能提供了较为准确的依据。

T-D材料棒；一阶纵向振动；ΔE效应；阶跃效应

0 引言

热声制冷机是进入21世纪以来人类为解决能源及环境问题开发的一类具有广阔前景的制冷设备。其主要原理是基于热声效应实现声能与热能之间的转换，利用声能实现泵热[1]。所以设计开发强力声源增大声能量对提高热声制冷机的制冷效率及制冷量具有重要的意义。

T-D(Terfenol-D)材料是一种新型的功能材料，是成分主要由铽、镝和铁组成的一类化合物[2]。它具有磁致应变量大、驱动电压低、机-电耦合系数高及响应速度快等优点[3-5]，是电声换能器的理想驱动元件。利用T-D材料独特的ΔE及阶跃效应，可以通过改变其两端偏置磁场和预应力的大小来调节T-D材料棒的杨氏模量和磁致伸缩率。从而使其可以利用共振原理在期望的换能器工作频率上获得大位移输出，带动换能器产生强力声能量。

在国外，Jiles等人建立了铁磁材料磁-机耦合的模型，旨在描述当磁场恒定时应力变化对铁磁材料的磁化强度的影响[6]。Calkins等制作了以超磁致伸缩材料为驱动元件的换能器，研究了在施加常应力时应力对换能器特性的影响规律[7]。 在国内，曹淑瑛等人建立了在常应力作用下T-D换能器的输入电流大小与输出位移之间的关系。

但以上几种模型无法考虑到ΔE效应和阶跃效应对T-D材料棒固有频率及其磁致伸缩率的影响。而且现在广泛使用的ANSYS等有限元分析软件都只能利用压磁比拟法，使用压电材料模块近似分析计算磁致伸缩材料的机-电耦合问题[8]。进一步限制了通过数值模拟方法对以T-D材料棒为驱动元件的换能器优化工作。

本文使用的软件ATILA是法国ISEN公司开发的一套设计主被动声呐系统的有限元分析软件。已先后被美国、法国、德国等海军研发部门采用。现已发展成一款专门用于分析各种功能材料和换能器的有限元分析软件。可对磁致伸缩材料进行将ΔE效应及阶跃效应考虑在内的多场耦合分析。

1 弹性柱体纵向振动理论分析

考察柱体纵向振动时，假设柱体的横截面在振动时始终保持为平面，并且略去柱体纵向伸缩引起的横向变形。

设柱体单位体积质量为ρ( χ )，柱体长为L，截面积为A( χ )，弹性模量为E。柱体在表面分布力f(χ,t)作用下作纵向振动。以u(χ,t)表示χ截面的位移，它是截面位置χ和时间t的二元函数。

则根据牛顿运动定律可得柱体纵向振动的偏微分方程：

当柱体的单位体积质量ρ(χ)=ρ=常数，截面积A(χ)=A=常数，f(χ,t)=0时,可得柱体的纵向自由振动的偏微分方程为[10]：

(1)

采用分离变量法，将u(χ,t)表示为代表柱体纵向振动振型函数的U(χ)与代表柱体振动方式的时间函数φ(t)的乘积[10]：

u(χ，t)=U(χ)φ(t)

(2)

将式(2)分别对χ和t求二次偏导并代入式(1)整理可得：

(3)

将式(3)表示为两个常微分方程并分别求解可得：

φ(t)=A1cosωnt+B1sinωnt

(4)

(5)

将式(4)、式(5)代回式(2)可得柱体纵向自由振动的解：

(6)

式中,A1、B1、C、D、ωn、φ为6个待定常数，要由柱体的两个边界条件和振动时的两个初始条件决定。ωn为柱体纵向振动的固有频率。U(χ)是柱体纵向振动的振型函数，即主振型函数。

T-D材料棒是磁致伸缩换能器的核心元件。正常工作时在线圈的交变磁场激励下作伸缩振动。根据振动学理论，为获得最大振幅和最高的电机转换效率，希望T-D材料棒能在一阶纵向振动共振频率下工作。但是T-D材料棒的弹性模量会随着自身的磁化状态发生改变，而公式(6)涉及的固有频率和固有模态分析没能考虑这种情况，使其无法直接用于T-D材料棒的模态分析。为解决这一问题，需要采用数值模拟方法分析T-D材料棒在不同边界条件下的各阶模态及其振型，为合理确定其有关参数提供依据。

2 T-D材料棒各边界条件下模态及输出位移数值仿真

2.1 有限元模型的建立

在ATILA前处理器GID中建立磁致伸缩换能器的有限元模型，如图1所示。换能器外壳及辐射板材料为钢，空磁区域为线圈所在区域，设定相对磁导率为1。从GID材料库中选取TEDYFE材料赋予T-D材料棒，并在其两端添加永磁体为T-D材料棒提供偏置磁场。因为此有限元模型为二维模型，所以选取线边界条件内的应力选项施加在T-D材料棒两侧，为T-D材料棒提供预应力。

图1 磁致伸缩换能器有限元模型

2.2 T-D材料棒边界条件的确定与施加

T-D材料性能特别。随着偏置磁场的增加，其产生同样的应变所需要的应力会增大。而应变较大时，施加偏置磁场的T-D材料杨氏模量会降低[11]。如图2所示为T-D材料棒的磁致应变曲线。为分别考察ΔE效应和阶跃效应及两者叠加时对T-D材料棒一阶纵向振动固有模态及其磁致伸缩率的影响，结合曲线为换能器中T-D材料棒施加(0MPa、0kA/m)、(0MPa、60kA/m)、(30MPa、0kA/m)、(30MPa、100kA/m)四组边界条件进行分析。

图2 超磁致伸缩材料磁致应变曲线

2.3 仿真结果分析

2.3.1 不同边界条件下T-D材料棒一阶纵向振动模态分析

经过数值模拟计算，得到各边界条件下一阶纵向振动模态频率及其对应阶次。结果如表1所示。对比分析表1中第①组与第②组边界条件数据发现，第②组边界条件下T-D材料棒一阶纵向振动对应频率增大。这是由于偏置磁场的施加导致T-D材料棒杨氏模量增加，而共振频率与杨氏模量的平方根成正比。而对比第①组与第③组边界条件可以发现，由于T-D材料棒两端施加了预应力使T-D材料棒杨氏模量降低，T-D材料棒的一阶纵向振动对应频率出现了减小现象。第④组边界条件分析了偏置磁场耦合预应力时对一阶纵向振动固有频率的影响，发现两者作用使得T-D材料棒一阶纵向振动对应频率大幅减小至16850Hz。这预示可以通过选择不同的预应力及偏置磁场组合来获得理想的一阶纵向振动频率数值。

表1 不同边界条件下T-D棒一阶纵向振动模态频率

2.3.2 T-D材料棒“激励频率-输出位移”仿真分析

为考察T-D材料棒在线圈交变磁场激励下的最大位移大小及其是否出现在各自边界条件对应的一阶纵向振动频率周围，在上述四种边界条件下为T-D材料棒施加线圈交变磁场激励，以得到T-D材料棒端面纵向振动位移随线圈激励频率变化的输出曲线，为实际工作中选择T-D材料棒驱动频率提供依据。

图3 不同边界条件下T-D棒激励频率-位移响应曲线

取磁致伸缩棒上端面为观察对象，得到其在四组边界条件下的“激励频率-输出位移”曲线。由图3所示。观察图3可以发现，除在(0MPa、0kA/m)边界条件下偏差较大以外，其余三组边界条件下的T-D材料棒位移最大值均出现在各自边界条件对应的一阶纵向振动频率附近。证明通过施加不同偏置磁场和预应力调节一阶纵向固有频率大小，利用振动学理论放大位移的方法可行，且放大倍数大于换能器变幅杆。同时观察图3中数据发现，由于预应力的增大导致磁致伸缩率的增大，施加较大预应力的T-D材料棒最大位移也会增大。从第②组最小的87μm到第④组的672μm，变化范围达到7.72倍。

3 结论

(1)对于T-D材料棒，影响其模态的因素较多且有交互作用，用经典弹性模态分析理论获得的结果与实际表现偏差较大。而使用数值模拟方法可以很好地解决这一问题。且可以方便的进行磁致伸缩换能器的优化工作，简化成本的同时提高效率。

(2)对T-D材料棒施加的偏置磁场和预应力对其杨氏模量影响很大。偏置磁场的增加会导致T-D材料棒杨氏模量的增加。而预应力的增加会使T-D材料棒杨氏模量减小。

(3)预应力影响杨氏模量大小的同时对T-D材料棒的磁致伸缩率也有很大影响。T-D材料棒的磁致伸缩率会随着预应力的增大而增大。所以可以通过施加不同大小的预应力来获得理想输出。

(4)可以通过T-D材料棒杨氏模量对磁偏置的敏感性和改变预应力大小来实现T-D材料棒一阶共振频率出现在期望的频率范围内。

(5)利用振动学共振理论可以在相同激励强度的情况下大幅提高T-D材料棒的输出位移。

[1] 江彬,张建润,胡宇星. 驻波型热声制冷机的声模态特性研究[J]. 计算机仿真,2014,31(7):202-207.

[2] 徐君,邬义杰,赵章荣,等. 超磁致伸缩执行器温控系统设计[J].组合机床与自动化加工技术,2007(10):47-49,53.

[3] 姜玉东. GMM在机械电子工程中的运用[J]. 中国高新技术企业,2015(31):61-62.

[4] 王传礼,吴晓磊,周禾清,等. 超磁致伸缩直动式高频电液伺服阀的建模与动态仿真研究[J]. 机床与液压,2013,41(19):15-17,21.

[5] 徐君,邬义杰,赵章荣,等. 超磁致伸缩执行器温控系统设计[J]. 组合机床与自动化加工技术,2007(10):47-49,53.

[6] Jiles D C. Theory of the Magnetomechanical Effect[J]. Journal of Applied Physics, 1995, 28(8): 1537-1546.

[7] Calkins F T, Dapino M J,Flatau A B. Effect of Prestress on the Dynamic Performance of a Tefenol-D Transducer[J]. Smart Structures and Materials, 1997, 3041(23):293-304.

[8] 莫喜平,朱厚卿,刘建国,等. Terfenol-D超磁致伸缩换能器的有限元模拟[J]. 应用声学,2000,19(4):5-8.

[9] 张义民.机械振动[M].北京:清华大学出版社,2013.

[10] 许福东，徐小兵，易先中.机械振动学[M]. 北京:机械工业出版社,2015.

[11] 王博文，曹淑瑛，黄文美. 磁致伸缩材料与器件[M]. 北京:冶金工业出版社,2008.

(编辑 李秀敏)

The Simulation Analysis of T-D Rod Displacement Output Based on the Influnce of ΔE Effect and Step Effect

WANG Jian-xin , JIN Kang , CHANG Yun-long, LIANG Yong-li

(School of Mechanical Engineering,Inner Mongolia University of Science and Technology，Baotou Inner Mongolia 014010，China)

On the basis of theoretical analysis of longitudinal vibration mode of T-D rod, the first order longitudinal vibration modal of T-D rod under the influence of ΔE effect and step effect was calculated by finite element analysis software ATILA, calculated the T-D rod end longitudinal vibration displacement output curve with the change of coil excitation frequency. Discussed the influence of the ΔE effect and step effect to T-D rod first-order longitudinal vibration mode, found the amplitude amplification effect of coil excitation frequency that around the first order longitudinal vibration of T-D material rod to T-D rod end longitudinal vibration. Provided more accurate basis for reasonable selection of prestress and bias magnetic of T-D rod, to get the ideal T-D rod output performance at the expected frequency range.

T-D rod；first order longitudinal vibration；ΔE effect；step effect

1001-2265(2017)01-0054-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.01.015

2016-04-10

国家自然科学基金资助项目:面向热声制冷系统的微型磁致伸缩换能器基础问题研究(51365033)

汪建新(1962—)，男，内蒙古包头人，内蒙古科技大学教授，博士，研究方向为机械电子工程领域的教学与科研工作，(E-mail)nkdwjx@imust.cn。

TH166;TG65

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