用绝对值函数的导数公式解决一类含参函数的最值问题

用绝对值函数的导数公式解决一类含参函数的最值问题

☉浙江省苍南县嘉禾中学 董吕修

综观近几年全国各省市的高考数学试题，一类形如“f（x）=g（x）+（b3x3+b2x2+b1x+b0）|x-a|（其中g（x）是次数不超过三次的多项式函数，b3，b2，b1，b0不全为零）”的三次型含参绝对值函数的最值问题正悄然兴起.由于这类函数带有绝对值，且有参数在内“捣乱”，主要考查数形结合、分类讨论等数学思想，因此极具综合性和挑战性，学生常常感到迷雾重重，找不到突破口，以致于考试时往往弃而不答，令人惋惜！本文笔者借助导数公式（|x|）′=，结合高考题来化解讨论此类函数最值问题的一般策略，以期对大家有所启示.

一、导数公式

二、破解策略

众所周知，函数y=f（x）（x∈I）的最值点只可能在其极值可疑点（所谓极值可疑点是指导数为零的点和导数不存在的点）或区间I的端点处取到.因此，只需讨论此类含参绝对值函数在给定区间上的单调性，其最值情况就会一目了然.由于极值可疑点可能与参数有关，因此这里的关键是：如何判断极值可疑点是否在定义域内？为解决此问题，就需要将极值可疑点与区间端点按从小到大的顺序进行排列，分类讨论思想正是在这一背景下应运而生的.具体操作步骤可按如下步骤进行：求导→求出极值可疑点→确定分类讨论的界点→划分讨论范围→排序极值可疑点→根据图像大致变化趋势求出函数最值.

1.求导

根据导数的运算法则求出函数f（x）=g（x）+（b3x3+ b2x2+b1x+b0）|x-a|在x≠a时的导函数表达式.

2.求出极值可疑点

将导函数f′（x）因式分解，求出导数为零的点和导数不存在的点，由于f′（x）的分子在x≠a时的次数不超过三次，因此函数f（x）的极值可疑点最多会有三个（可以参考文献［2］证明其中必有一个是a），不妨设为x1，x2，a.

3.确定分类讨论的界点

设函数f（x）的定义域为区间［c，d］，接下来我们考虑三个极值可疑点是否在定义域［c，d］内.通常有两种方法：其一，考虑将x1，x2，a，c，d这五个量进行整体排序，此时分类讨论的界点为由这五个量两两相等而组成的方程（如x1=x2，x1=a，x1=c，x1=d…）的根（最多有-1=9个）；其二，先将三个极值可疑点x1，x2，a进行排序（分类界点为方程x1=x2，x1=a，x2=a的根，最多有3个），然后将区间端点c，d插入既有排序之中（可能引发二次讨论，每种排序下最多有+=10种）.以上都是理论意义上的，实际做题时该采用哪种方法，应视具体函数而言.而笔者更倾向于后者，本文后面的例题也都采用方法二.

4.划分讨论范围

设方程x1=x2，x1=a，x2=a的根分别为a1，a2，a3（设a1≤a2≤a3），将其插入参数a的允许范围（不妨设a∈R）之中，即可获得参数a的不同讨论范围，它们即为参数a的分类讨论范围.

5.排序极值可疑点

在上一步中的不同讨论范围中可以对x1，x2，a的大小进行排序.显然，不同讨论范围中的排列顺序是不同的.

6.根据图像大致变化趋势求出函数最值

根据x1，x2，a的每一排序，从函数的单调性、极值、无穷远处的变化趋势入手来画草图，然后截取图像在区间［c，d］上的部分，最后根据所截图像求出函数的最值.

三、导数公式（|x|）′=（x≠0）的应用

例1（2009年高考江苏卷·理20第2问）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x-a）|x-a|，求f（x）的最小值.

综上可知

点评：由于极值可疑点的大小关系未定，因此需要分类讨论.从例1可以看出，用导数法讨论函数的最值，尽管步骤比较机械化，但却能大大降低思维量.

例2（2005年高考江苏卷·理22第2问）已知a∈R，函数f（x）=x2|x-a|，求函数f（x）在区间［1，2］上的最小值.

当a≤0时，f′（x）=x（3x-2a）＞0（1≤x≤2），f（x）min=（f1）=|1-a|.

（1）当0＜a≤1时，f′（x）=x（3x-2a）＞0（1＜x≤2），（fx）min=（f1）=1-a.

（5）当a＞3时，（fx）在［1，2］上为增函数，（fx）min=（f1）= a-1.

综上所述，f（x）min=

点评：本题参考答案是用零点分段法去绝对值化为分段函数然后求导数，比较烦琐，而现在用导数公式求导时不用讨论，相较而言更方便实用.

例3（2014年高考浙江卷·文21第1问）已知函数f（x）=x3+3|x-a|（a＞0），若f（x）在［-1，1］上的最小值记为g（a），求g（a）.

（1）当0＜a＜1时，若-1＜x＜a，则f′（x）=3（x2-1）＜0；若a＜x＜1，则f′（x）=3（x2+1）＞0.所以f（x）在［-1，a］上为减函数，在［a，1］上为增函数，g（a）=f（a）=a3.

（2）当a≥1时，f′（x）=3（x2-1）＜0（-1＜x＜1），因此g（a）=f（1）=3a-2.

例4（2015年高考湖北卷·文17改编）a为实数，函数f（x）=|x2-ax|（a＞0）在区间［0，1］上的最大值记为g（a）.当a=______________时，g（a）的值最小.

解析：当x∈［0，1］时，f（x）=x|x-a|.f′（x）=|x-a|+x（x≠a）.令f′（x）=0，得x=，而导数不存1在的可疑点为x2=a，因此，f（x）的所有极值可疑点为x1=，x=a.因为a＞0，所以排序极值可疑点，得＜a.由于区2间端点为0与1，因此可得二次讨论的界点为1，2.

（1）当a＞2时，f′（x）=-（2x-a）＞-（2x-2）≥0（0≤x≤1），f（x）在［0，1］上为增函数，所以g（a）=f（1）=|1-a|.

（2）当1＜a≤2时，f（′x）=-（2x-a）＞0（ 0≤x＜），f（′x）=

（3）当0＜a≤1时，f′（x）=-（2x-a）＞0（ 0≤x＜），得a=2-2或a=2（舍去）.当0＜a≤2-2时，f）≤（f1），g（a）=（f1）=|1-a|.当2-2＜a≤1时，f（）＞

点评：与例1不同的是，例2、例3、例4中的函数的定义域不再是实数集R，由于还得考虑区间的端点与极值可疑点的大小关系，因此往往还需要确定二次讨论的分界点，最后得出函数在各个子区间上的单调性，从而得出函数的最值.

总而言之，本文通过一个导数公式，运用分类讨论的数学思想，详细讨论了函数（fx）=g（x）+（b3x3+b2x2+b1x+ b）0|x-a|最值问题的解题策略和操作步骤（可为其他含参函数的最值问题提供借鉴），透射数学化归的力量！

1.丁美琴.对“同类”高考试题的解析与思考［J］.中学数学（上），2015（10）.

2.宋洪雪.关于一类含绝对值函数的求导问题［J］.高等数学研究，2008（05）.