微积分理论在生活中的应用实践

蒋腾飞 四川师范大学

微积分理论在生活中的应用实践

蒋腾飞 四川师范大学

微积分作为一门学科，已经经历了三个多世纪的发展，对人类社会的影响巨大，促进了科技的大力发展。微积分思想贯穿到社会经济发展之中，有助于提高社会生产效率。本文主要研究微积分在实际生活中的应用，为了更好的应用微积分知识，本文通过阐述微积分知识，分析微积分在大学数学学习中的应用，以及微积分在生活中的应用，进而为其他领域应用微积分提供参考。

微积分 数学思想 实际应用

前言

微积分经历数百年的发展，其思想已经渗透到实际生活中。本文通过微积分的实际应用，提高理论与实际相互结合的能力，做到理论指导生活，服务于生活，提高工作效率，提高问题解决的简便性，构建微积分知识与现实生活之间的内部联系，运用数学思维，拓展问题的解决方法。

一、微积分的概念与重要性

微积分是指高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.微积分=微分+积分。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。

综上所述，微积分作为一种最为便捷的工具，广泛应用于人们的日常生活中。在日常的工作生活中，如果没有出现大量的实际问题，或者说如果没有数学家深入的研究分析，那么就不会出现当前的微积分理论。在研究探索微积分理论的过程中，需要以实际情况为基点，对实际问题进行抽象化处理，将其转化成数学问题。

二、微积分在生活中的应用

在日常工作生活中，我们遇到的任何问题都可能成为数学的研究对象。实际上，生活的各个方面都隐含着微积分知识，只有通过不断地挖掘，我们才能真正看清现象的本质，同时将具体的事物用抽象的数学知识表现出来。当我们难以理解某个抽象的事物时，在这种情况下，可以将其还原到具体的事物中，按照具体一抽象一具体的方式不断深化，最终认清事物的本质。

1.排队等待问题(极限夹逼定理)。在大学数学教学活动，数列极限夹逼定理是一条重要的定律，按照要求，画出3条相互垂直的空间直线，分别代表3个相互垂直的平面，按照从左到右的顺序依次将其记为Yn、a、Zn，假设a是固定的，而Yn、Zn都是无限地接近a，此时，在Yn、Zn两个平面之间任意放入平面Xn，平面Xn都是向a无限逼近，这就是夹逼定理的相关内容。按照夹逼定理的要求，我们可以将日常生活中的实例进行对号入座，例如，排队买票问题，当许多人排成一列长队按顺序买票时，如果后面的人越来越多，那么队伍中间的人就要想还有多长时间才能轮到自己，这是被后面的人挤到购票窗口前，这就是夹逼定理中直观感受，其中Xn就是参与排队买票的人，而Yn、Zn就是后面排队的人，而购票窗口就是事先规定的a。

2.投资决策问题。在经济生活中，初等数学的应用范围也非常广泛，例如在解决投资决策问题时，如果以均匀流(将资金按照流水的方式定期地存入银行)的方式向银行存款，那么t年后，应该取出多少资金，这种问题可以通过定积分的方式给予解决。例如，一个企业向某项目一次性投入2千万元，并且一年后建成投产同时获得回报。如果不考虑资金的时间价值，那么收回投资本金的时间为5年，如果考虑资金的时间价值，那么实际情况就会发生改变。在这种情况下，借助微积分，可以确保投资决策的科学性、合理性，同时可以规避风险，提高投资收益率。

3.切菜问题(“微元法”计算立体的体积)。利用微积分解决实际问题时，例如，已知平行截面的面积，如何利用定积分计算空间立体的体积。假设空间存在某个立体面，并且该立体面由一个曲而和垂自于x轴的两个平面构成，从x轴上任选一点垂直截所围立体，并且所得截面面积就是已知连续函数，那么就可以通过定积分表示此立体体积。对于这种方式可以通过“微元法”得出结论。在日常生活中，这种方式应用范围比较广，可以视为切黄瓜，在水平的桌面上，放置洗净的黄瓜，用菜刀按照垂直于菜板的方向切掉黄瓜的两端，如何计算剩余黄瓜的体积？首先如何计算不规则黄瓜的体积？按照垂直于菜板的方向，以较小的间隔切一个黄瓜片，可以将这片黄瓜片视为一个圆柱体，其体积就是截面面积与黄瓜片厚度的乘积。以此类推，如果将这根黄瓜切成若干薄片，分别计算每片黄瓜的体积，然后相加就得出所求黄瓜体积的近似值。如何提高黄瓜体积数值的精度？就是将其进行无限细分处理，然后再进行无限求和，这样就可以提高计算值的精度。

4.导数在经济生活中的应用。（1）边际分析。在经济学中，若y=xf可导，则导函数xf′称为xf的边际函数。在点0x的值0xf′称为xf在0x处的边际值(或变化率等)。如某干鱼加工厂加工某种干鱼的总收入函数和总成本函数分别是202.08)(xxxR+=和203.0200)(xxxC++=，求边际利润函数和当日产量分别是300公斤，350公斤和400公斤时的边际利润，并说明其经济意义。

（2）弹性分析。在经济分析中，弹性用来描述一个经济变量y相对于另一个经济变量x变化时所做出反映的敏感程度。即弹性是用来描述一个量对另一个量的相对变化率的一个量。如某品牌中药牙膏价格是8元时，需求量是1000支；当价格提高到10元时，需求量减少为950支，试求该牙膏需求对价格的弹性。除此之外，还用在资源的合理利用、器具制造、变路移址等方面。

三、结论

总而言之，微积分不仅是一门重要的基础性学科，提高能力在当今信息化大时代背景下，微积分思想和方法应用逐渐增多，加强微积分在实际生活中的应用，不仅是提高了问题的解决能力，还有助于思考素养的培育。对于微积分需要理解概念，联系生活，深化实际应用。

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