立足“基本” 轻松迎考

王立

方程与不等式是初中代数的主干知识，是后续学习的重要基础.不等式与方程、函数的综合应用充分体现了相等与不等的对立与统一的辩证关系.此类中考试题都是紧扣新课程标准，重基础，重考查最基本的数学能力.希望同学们能够立足“基本”，轻松迎考.

一、从“直观出发”，发现自然解法

例1 （2016·山东东营）如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b>kx+6的解集是 .

【解析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系.从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=x+b的值大于y=kx+6的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y=x+b在直线y=kx+6的上方的部分所有的点的横坐标所构成的集合.

解：由图像得到直线y=x+b与直线y=kx+6的交点P（3，5），在点P（3，5）的右侧，直线y=x+b落在直线y=kx+6的上方，该部分对应的x的取值范围为x>3，即不等式x+b>kx+6的解集是x>3.

【小试身手】1.将函数y=2x+b（b为常数）的图像位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y=[2x+b]（b为常数）的图像.若该图像在直线y=2下方的点的横坐标x满足0

二、从“基本经验”出发，寻找突破口

例2 （2016·浙江宁波）某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示.

该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元.

（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？

（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍.若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？

【解析】此题考查了一元一次不等式与二元一次方程组的应用.注意根据题意找到等量关系是关键.

（1）设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，根据题意可列方程组，解此方程组即可；

（2）设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，根据题意可列不等式，解不等式即可求得答案.

解：（1）设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，

[1.5x+1.2y=66，0.15x+0.2y=9，]解得：[x=20，y=30.]

答：该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为20套，30套.

（2）设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，

1.5（20-a）+1.2（30+1.5a）≤69，

解得：a≤10.

答：A种设备购进数量至多减少10套.

【小试身手】2.大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同.当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨.若剩余原材料数量小于或等于3吨，则需补充原材料以保证正常生产.

（1）求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数；

（2）若生产16天后，根据市场需求每天产量提高20%，则最多再生产多少天后必须补充原材料？

3.（2015·四川乐山）“六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：

（1）小张如何进货，使进货款恰好为1300元？

（2）要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值.

三、从“基本思想”出发，实施转化

例3 （2015·广东广州）已知A=[x2+2x+1x2-1]

-[xx-1].

（1）化简A；

（2）当x满足不等式组[x-1≥0，x-3<0]且x为整数时，求A的值.

【解析】此题主要考查分式的化简求值，注意化简时不能跨度太大而缺少必要的步骤，会失得分点.此题还考查了求一元一次不等式组的整数解问题，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确求出不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，最后求得不等式组的整数解即可.

解：（1）A=[x2+2x+1x2-1]-[xx-1]

=[x+12x+1x-1]-[xx-1]

=[x+1x-1]-[xx-1]

=[1x-1].

（2）∵[x-1≥0，x-3<0，]∴[x≥1，x<3，]

∴1≤x<3，

∵x为整数，

∴x=1或x=2.

①当x=1时，

∵x-1≠0，

∴A=[1x-1]中x≠1，

∴当x=1时，A=[1x-1]无意义.

②当x=2时，

A=[1x-1]=[12-1]=1.

【小试身手】4.早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校.已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍.

（1）求小明步行速度（单位：米/分）是多少；

（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？

5.某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元.

（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

（2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？

6.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元.

（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？

（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？

（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）