找准相互关系 建立正确模型

张永

近年来的中考试题中经常会出现一些既含有相等关系又有不等关系的综合应用题，解答此类问题时，可以先根据相等关系构造方程（组），再根据不等关系构造不等式（组）求出满足条件的未知量.因此，在复习时要求同学们熟练掌握方程和不等式的知识，结合函数知识，明确它们之间的联系及是否可以互相转化，通过对探索、开放型问题的讨论，提高分析问题、解决问题的能力，增强数学学习中的应用意识.

例1 已知关于x的方程[2x+mx-2]=3的解是正数，则m的取值范围为 .

【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围.

解：去分母得：2x+m=3x-6，解得：x=m+6，

因为x>0，所以m+6>0，即m>-6.①

又因为原方程是分式方程，所以x≠2，即m+6≠2，所以m≠-4.②

由①②可得，m的取值范围为m>-6且m≠-4 .

【点评】解答本题时，易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，这应引起足够重视.

【小试身手】1.已知关于x的分式方程[mx-1]+[31-x]=1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）.

A.m>2 B.m≥2

C.m≥2且m≠3 D.m>2且m≠3

例2 为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准见表：

某居民五月份用电190千瓦时，缴纳电费90元.

（1）求x和超出部分电费单价；

（2）若该户居民六月份所缴电费不低于75元且不超过84元，求该户居民六月份的用电量范围.

【分析】（1）用方程解决应用问题的关键是找出关键描述语，确立等量关系，列出方程求解.本题的关键描述语为：某居民五月份用电190千瓦时，缴纳电费90元.等量关系为：不超过160千瓦时的电费+超过160千瓦时的电费=90.（2）用不等式解决应用问题的关键是：找出关键描述语，确立不等量关系，列出不等式求解.本题的关键描述语为：该户居民六月份所缴电费不低于75元且不超过84元，不等量关系为：75≤六月份电费≤84.

解：（1）根据题意得：

160x+（190-160）（x+0.15）=90，

解得x=0.45，

所以超出部分的电价为：x+0.15=0.6（元/千瓦时）.

（2）设该用户六月份用电量为a千瓦时，

根据题意得：75≤160×0.45+0.6（a-160）≤84，解得：165≤a≤180.

答：该户居民六月份的用电量为不低于165千瓦时且不超过180千瓦时.

【点评】本题的关键是根据题意列出方程和不等式，重点是找出等量关系和不等关系，依据是题意中的关键描述语：某居民五月份用电190千瓦时，缴纳电费90元；该户居民六月份所缴电费不低于75元且不超过84元.

【小试身手】2.某校计划购买甲、乙两种树苗共1000株用以绿化校园，甲种树苗每株25元，乙种树苗每株30元，通过调查了解，甲、乙两种树苗成活率分别是90%和95%.

（1）若购买树苗共用去28000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？

（2）要使这批树苗的总成活率不低于92%，则甲种树苗最多购买多少株？

（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用.

例3 为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台.已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：

（1）求m的值；

（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数.

【分析】（1）根据90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，列出m的分式方程，求出m的值即可；

（2）设买A型污水处理设备x台，则B型为（10-x）台，根据题意列出x的一元一次不等式，求出x的取值范围，进而得出方案的个数，并求出最大值.

解：（1）由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，

即可得：[90m]=[75m-3]，

解得m=18，

经检验m=18是原方程的解，即m=18；

（2）设买A型污水处理设备x台，则B型为（10-x）台，

根据题意得：18x+15（10-x）≤165，

解得x≤5，由于x是整数，则有6种方案：

当x=0时，10-x=10，月处理污水量为1800（吨）；

当x=1时，10-x=9，月处理污水量为220+180×9=1840（吨）；

当x=2时，10-x=8，月处理污水量为220×2+180×8=1880（吨）；

当x=3时，10-x=7，月处理污水量为220×3+180×7=1920（吨）；

当x=4时，10-x=6，月处理污水量为220×4+180×6=1960（吨）；

当x=5时，10-x=5，月处理污水量为220×5+180×5=2000（吨）.

答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为2000吨.

【点评】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

【小试身手】3.某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车.上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元.

（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元.

（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元，则有哪几种购车方案？

（作者单位：江苏省连云港市塔山中学）