双曲函数的Cusa-Huygens型不等式的推广与改进

何灯，李云杰

（福清第三中学，福建福清350315）

双曲函数的Cusa-Huygens型不等式的推广与改进

何灯，李云杰

（福清第三中学，福建福清350315）

本文将双曲函数的Cusa-Huygens型不等式作了含参推广和改进，由此建立的不等式优于现有的诸多结果，文末导出一条涉及算术平均、几何平均、对数平均的不等式链.

双曲函数；Cusa-Huygens型不等式；Seiffert平均；不等式

0 引言

文献[1-2]建立了著名的Cusa-Huygens不等式，文献[3]给出了Cusa-Huygens不等式的双曲函数形式.针对文献[3]所建立的不等式，J.Sándor、朱灵、杨镇杭、吴善和、陈超平等不等式专家做了大量的研究，现有诸多结果[4-17].本文在现有研究的基础上，建立了shx/x的更强的含参上下界形式，将已有的研究结果做了更进一步的推广和改进，由此得到了涉及算术平均、几何平均、对数平均的一条不等式链.

1 预备知识

Cusa-Huygens不等式[1-2]：设，则有.

双曲型Cusa-Huygens不等式[3]：设x∈（0，+∞），则有

朱灵[7]将式（1）推广为：设x＞0，，则有.

E.Neuman与J.Sándor则改进式（1）为：设x＞0，则.

成立当且仅当q≥3.

朱灵[15]将式（2）推广为：设x＞0，p＞1或p≤8/15，则当且仅当q≥3（1－p）.特别地，令p＝1/2，q＝3/2，可得

杨镇杭[11]证得式（3）的如下含参推广：

结论1设p，x＞0，双边不等式

结论2设x＞0，则

综合上述结论，可得不等式链

关于上述不等式链的研究，可参阅文献[17].

1 引理及证明

引理1设t∈（0，0.88），n∈N*，n≥4，则f（n）＝t2n（2n＋1）关于n单调递减.

证明f（x）＝t2x（2x＋1）（x∈R，x≥4），可求

则f（x）＝t2x（2x＋1）关于x在[4，+∞)上单调递减，从而当n≥4，f（n）＝t2n（2n＋1）关于n单调递减.

引理2设an＝180p4－4p2n（20p2－3）（2n＋1）－22np2n（3－5p2）（2n＋1），n∈N*，n≥3，，则当p＝p1时an≥0，当p∈[1/2，p2]时an≤0.

证明当p＝p1，可求a3＝0.当n≥4，由引理1得

2 主要结论及其证明

又

当p∈（0，p1］，由引理2，当p＝p1，F（p，x）≥0，结合引理3，可证.

当p∈［p3，+∞），注意到，据式（5）显然有F（p3，x）≥0，结合引理3，可证.当p∈[1/2，p2]，由引理2，F（p，x）≤0，式（6）反向成立.

注意到

要使F（p，x）≥0，必需有

解之，可得p∈（0，p1］∪［p3，+∞）.要使F（p，x）≤0，必需有

解之，可得p∈[1/2，p2].

综上，定理1得证.

注2计算得

足见式（6）在x＝0附近有较高的逼近精度.

注意到G（p3/2）＝G（p3），则可得

定理3设x＞0，则

其中花括号上下两个不等式表示其不分强弱（下同）.

注意到

3 定理的等价形式

两个正数a，b的幂平均定义为[18]

A2，A1，A0分别称为这两个数的平方根平均，算术平均及几何平均.

反双曲正切Seiffert平均（即对数平均）定义为

从而定理1等价于

定理4设a，b＞0，a≠b，p∈R，则

定理5设a，b＞0，a≠b，则如下不等式链成立

[1]CAJORI F.A history ofmathematics[M].2nd ed.New York：BibioLife，1929.

[2]CAMPAN F T.The story ofnumber[M].Romania：Ed Albatros，1977.

[3]NEUMAN E，SÁNDOR J.On some inequalities involving trigonometric and hyperbolic functions with emphasis on the Cusa-Huygens，Wilker and Huygens inequalities[J].Math Inequal Appl，2010，13（4）：715-723.

[4]ZHU L.New inequalities for means in two variables[J].Math Inequal Appl，2008，11（2）：229-235.

[5]ZHU L.Some newinequalitiesformeansin twovariables[J].Math InequalAppl，2008，11（3）：443-448.

[6]ZHU L.Some newinequalities ofthe Huygens type[J].Comput Math Appl，2009，58（6）：1180-1182.

[7]ZHU L.Inequalities for hyperbolic functions and their applications[J/OL].J Inequal Appl，2010[2013-10-10]. http://www.journalofinequalitiesandapplications.com/content/2010/1/130821.

[8]NEUMAN E，SÁNDOR J.Inequalities for hyperbolic functions[J].Appl Math Comp，2012，218（18）：9291-9295.

[9]WU SH，DEBNATH L.Wilker-type inequalitiesforhyperbolicfunctions[J].ApplMath Lett，2012，25（5）：837-842.

[10]ZHU L.New inequalities for hyperbolic functions and their applications[J/OL].J Inequal Appl，2012 [2013-10-20].http://www.journalofinequalitiesandapplications.com/content/2012/1/303.

[11]YABG Z H.New sharp bounds for logarithmic mean and identric mean[J/OL].J Inequal Appl，2013 [2013-3-20].http://www.journalofinequalitiesandapplications.com/content/2013/1/116.

[12]CHEN C P,SÁNDOR J.Inequality chains for Wilker，Huygens and Lazarevitype inequalities[J].J Math Inequal，2014，8（1）：55-67.

[13]YANG Z H.Three families of two-parameter means constructed by trigonometric functions[J/OL].J Inequal Appl，2013[2013-11-19].http：//www.journalofinequalitiesandapplications.com/content/2013/1/541.

[15]ZHU L.Generalized Lazarevic's inequality and its applications-Part II[J/OL].J Inequal Appl，2009 [2009-12-24].http://www.journalofinequalitiesandapplications.com/content/2009/1/379142.

[16]YANG Z H，CHU Y M.Jordan Type Inequalities for Hyperbolic Functions and Their Applications [J/OL].Journal of Function Spaces，2014[2014-9-2].http://www.hindawi.com/journals/jfs/aip/370979/.

[17]何灯，李云杰.关于双曲函数的Cusa-Huygens型不等式的改进[J].汕头大学学报（自然科学版），2015，30（2）：28-33，+55.

[18]匡继昌.常用不等式[M].4版.济南：山东科学技术出版社，2010：53.

[19]NEUMAN E.Bounds for symmetric elliptic integrals[J].J Approx Theory，2003，122（2）：249-259.

Extension and Improvement of the Cusa-Huygens Type Inequalities for Hyperbolic Function

HE Deng,LI Yunjie
（Number 3 Middle School,Fuqing350315,Fujian,China）

A parametric extension and improvement on the Cusa-Huygens type inequalities for Hyperbolic function is presented.The establishment of the inequality is superior to the existing results.An inequality chain involving arithmetic mean,geometric mean,logarithmic mean is explored.

hyperbolic function;Cusa-Huygens type Inequalities;Seiffert mean;inequalities

O178

A

1001-4217（2016）04-0049-08

2015-12-21

何灯（1984—），男，福建福清人，学士，全国不等式研究会成员.研究方向：解析不等式及不等式机器证明.E-mail：hedeng123@163.com