基于χ2拟合法的驾校考试名额分配模型

汪亚东

【摘要】本文应用χ2拟合法对驾校考试名额进行分配，比之传统的比例分配法更具公平性.

【关键词】名额分配；χ2拟合优度

一、问题的提出

按照目前管理规定，驾照的获得要通过“科目一”“科目二”“科目三”和“科目四”4门考试，考试依次进行，前科通过方能进入下科考试.“科目二”为场地考试，考试中心由于场地所限，每批分配的考试名额指标按照各驾校前期的通过率来操作，而且所分配的指标不能满足学员的需求.从驾校方面来说，如何合理分配“科目二”的考试名额指标，提高通过率，进而获得更多的下期考试中心名额指标，进入良性循环发展是极为重要的.

我校机电学院卓越驾校现有教练39位，每位教练所带学员数及前期通过率见表1，学员共计269人，现有208个考试名额指标，如何分配名额指标更具公平合理性？

二、模型建立及求解

名额分配问题就是研究名额如何分配，公平性是其基本要求.因此，驾校在分配指标时要公平、合理，综合考虑教练所带学员的多少、教练水平等因素进行.最早的名额分配采用比例分配方法，随之发现这种方法易出现矛盾结果——亚拉巴马悖论.为了解决这一矛盾，1974年公平分配的五条公理产生（即人口单调性、无偏性、名额单调性、公平分摊性和接近份额数）.1982年有学者提出了Q方法，同年证明了“B—Y不可能原理”，即同时满足五条公理的分配方案是不存在的，因此，绝对公平是没有的，这样相对公平性就变得重要了.前面提到的Q方法就是构造了相对公平系数，通过比较这个系数来进行分配.同样，随后产生的Dhondt法、新Q值法、相对尾数法、最大概率法、最大熵法、最小极差法、遗传算法、0-1规划法及χ2拟合法等等，大都是基于相对公平意义的方法.在与驾校管理方的研讨并比较各方法的优劣后，本文采用χ2拟合法来进行名额分配.

（一）模型假设与符号设定

1.模型假设

（1）每个教练的学员之间没有差异；

（2）教练间的差异由其学员的通过率决定；

（3）学员均已通过“科目一”考试；

（4）每个教练的通过率由“科目一”“科目二”“科目三”共同确定.

2.符号设定

N——考试中心分配的当期名额；

m——驾校的教练数；

pi——教练Ai的学员数；

ri——教练Ai的综合通过率；

ni——教练Ai的名额分配数.

（二）2χ2拟合法及其解法

1.χ2拟合法模型

根据某项指标，总体X被分为m类：A1，…，Am，要检验X的分布：即Ai在总体中所占的比例pi（i=1，…，m）.提出假设H0：类Ai所占的比例为pi，∑mi=1pi=1.现从总体X中随机抽取n个个体，属于类Ai的有ni个，n=∑mi=1ni，则统计量χ2=∑mi=1（ni-npi）2npi在H0为真时服从自由度为m-1的χ2分布.

由数理统计理论可知，χ2值反映了实际分配数与理论分配数的吻合程度：其值越小，两者之差越小，反之两者之差越大.因此，名额分配问题的数学模型为P1：

2.模型P1的求解

（1）模型的转化：

模型P1通过数学软件求解，但实际操作有一定的难度.下面对模型进行转化，使操作更为方便.

假设N个名额时分配给教练Ai为ni（i=1，…，m）是公平合理的，现考虑增加一个名额，记增加一个名额时教练Ai的名额为n′i（i=1，…，m），不妨假设这名额分配给教练Ak，令

n′i=ni， i≠k，ni+1， i=k.

则对模型P1，考虑统计量χ2k=∑mi=1[（N+1）pi-n′ipi]2（N+1）pi，k=1，…，m.

要比较其值的大小实际是比较2nk+1pk的大小，即2nk+1pk越小与原假设H0的吻合程度越好.故将wk=2nk+1pk作为衡量公平程度的标准，每分配一个名额时均计算wk，将其分配给wk最小的教练.

（2）算法：

模型P1的方法是动态的，名额逐次进行分配：

步骤1 初始化：参与名额分配的教练向量A=（p1，…，pm）′及分配名额数N，初始分配向量n（0）=（0，…，0）′，k=0.

步骤2 终止准则：k=N或者∑ni=N.

步骤3 计算wk：wi（k）=2ni（k）+1pi.

步骤4 比较wk：记s={i|minwi1≤i≤m（k）}，令ns（k+1）=ns（k）+1.

步骤5 循环：令k=k+1，转步骤2.

三、模型的计算结果及分析

依据上面的算法采用Matlab编程计算得到模型结果如表1，序号i对应教练Ai，第2列为教练Ai所带的学员数，表中后两列是对教练Ai的考试分配名额，其中“分配名额1”为用χ2拟合法的分配名额，“分配名额2”为用传统的比例分配法的分配名额.两种方法的结果具有明显的差异性：χ2拟合法恰好分配完名额，然而用比例法分配的总数为206人，剩余2人由于同比例数超过2而不能分配下去，只能采用不完全分配法.

【参考文献】

[1]王若鹏，徐红敏.基于χ2拟合优度检验的席位公平分配模型[J].系统工程理论与实践，2014，34（7）：1732-1738.

[2]韩中庚.数学建模方法及其应用[M].北京：高等教育出版社，2005.