金融数学概述

王散激

【摘要】本文对金融数学的产生和发展历程进行了概述，对金融数学中的基本理论及其研究的新进展和研究所面临的问题等做了简要介绍，并总结了金融数学进一步发展的前沿课题.

【关键词】金融数学；资产组合管理；期权定价理论

【基金】（1）2013年度广西高等教育教学改革工程项目（2013JGA257）

（2）2012年度校级教学改革研究课题（JGYB201203）

一、前 言

金融数学作为新兴的学科，是数学与金融的交叉体，不仅可以使数学家们深入金融领域，更加关注我国经济运行的状况，而且可以使经济金融学家们掌握数学这个工具，更好地进行金融研究，指导我国经济健康发展.近二十多年来，金融数学愈发受到高度关注，1996年金融数学家们自发地成立了“金融学会”，通过国际交流推动随机过程、统计学以及其他数理理论在金融学上的运用，一些关于数理金融学的创新理论相继创立，如“行为金融学”“决策金融学”等.

二、金融数学的产生和发展

金融数学作为现代科学名词的提出年仅30左右，但其活动的最早出现历史却可以追溯到1896年艾文·费雪最先确认并做出解释的基本估值关系.这种关系是金融核心理念之一，它说明一项资产的价值等于其产生的未来现金流的现值之和.在之后的几年，由于证券市场的不断发展，投资者们迫切希望可以寻找到预测未来价格和对风险证券进行定价的方法.这样，在1900年来自法国的数学家巴歇里埃的学位论文《投机理论》中，便首先开创性地运用了布朗运动来研究股市.这一理论推动了金融数学未来的发展，尤其是在为现代期权定价理论的建立奠定了理论基础.然而遗憾的是，巴歇里埃的论文在当时并没有引起人们的关注，直到它沉寂了半个多世纪之后，这一理论才在1965年被著名的经济学家萨缪尔逊推荐而为金融界知晓.

随着计算机的应用与发展，20世纪50年代，金融数学活动再次兴起，运用数学工具研究金融问题的学者频频在金融经济学中荣获诺贝尔经济学奖，这些促使金融数学越来越受到业内研究人士的青睐.哈里·马柯维茨在1952年发表“投资组合选择”论文，提出了投资组合的选择理论，其是以单期投资组合问题为研究对象的经济学理论.该理论的提出，被称为是第一次华尔街革命.第一次华尔街革命没过多久，威廉·夏普、约翰·林特纳、简·莫幸三人在马柯维茨投资组合选择理论的基础上，分别独立地提出了风险资本资产定价模型.这是第一个在不确定条件下探讨资产定价理论的数学模型.该模型研究出了在均衡市场下，证券市场中风险资产与预期收益率之间的关系及均衡价格的形成.这一模型在金融领域独领风骚了15年之久，是现代证券分析的一个重要模型.由于夏普对此所做出的突出贡献，他荣幸地与马柯维茨分享了1990年的诺贝尔经济学奖.然而科学总是在不断进步的，1977年，理查·罗尔对资本资产定价模型提出了质疑，他认为在实际中，该模型是不能得到实证检验的，就这一问题的争论至今仍然是方兴未艾.1973年，华尔街的第二次革命发生，布莱克和索尔斯发表了著名的BlackScholes定价公式，给出了欧式期权定价的显示表达式.与此同时，莫顿在“合理的期权定价理论”中对BlackScholes定价公式作了完善并给予了推广，莫顿还将他们利用期权估价的思想发展为“未定权益分析”.索尔斯和莫顿因此获得1997年度的诺贝尔经济学奖.1976年，考克斯和罗斯提出了风险中性定价理论.在这一基础上，哈里森和克瑞普斯于1979年提出多时段的鞅方法和套利，并用等价鞅测度对期权进行定价和套期保值或对冲，这对金融数学后来的发展产生了深远影响.

在两次华尔街革命的背景下，现代金融数学产生了.20世纪80年代初以来，金融数学得到了蓬勃发展，目前主要从事其研究的人大致有如下三类：概率论和随机分析学者、随机控制论学者和数理统计学者.近年来一些其他学科的学者也纷纷被吸引到金融中来，他们把本学科研究的方法移植到复杂的金融领域，尝试去揭示这一复杂领域的某些演变规律.由此可见，金融数学正在散发着越来越迷人的魅力.

三、金融数学中的基础理论

（一）有效的资本市场理论

市场有效性指的是新证券的价格能够反映全部与该证券有关的信息.这一概念是由罗伯茨和法马首先提出来的，根据市场有效性的强弱程度，资本市场理论通常分为三种形式的假说：弱有效市场假说、半强有效市场假说和强有效市场假说.在投资的过程中，三种形式的有效市场所反映的信息不尽相同，投资者的投资行为也会因投资者对市场有效性判断的强弱程度而有所不同.近些年来，行为金融学迅速兴起，人们对有效资本市场理论的争议又出现了新的热潮.

有效资本市场理论最简单的数学表达式之一为：

ΕR（T）/S（t）=r（t），T≥t.

其中R（T）是指某种资产从t到T持有其的收益率，r（t）是指在t时刻机会成本率，S（t）是指可获得的信息集.从这个式子可知投资者从某种资产投资中所获得的预期收益率是与所有资金的机会成本相等的.

（二）资产组合管理基础理论

1.马科维茨投资组合选择理论

马科维茨以理性投资者及其基本行为特征为基本假设，论述了建立有效资产组合边界的“均值—方差”分析模型.他把投资者投资组合中的证券组合价格作为一组随机变量，其均值表示收益，以其方差表示风险.当收益一定而投资组合风险最小时，其投资组合可表述为如下二次规划求最优解的问题，马科维茨投资组合选择理论的核心点是综合考虑期望收益的最大化和风险的最小化，他不仅提出了该模型的求解方法，还证明了多个证券投资组合要比单个证券投资能降低风险.但是该模型毕竟是在满足多个假设条件下成立的，其考虑的是单期投资模型，所以此模型在现实中很难发挥有效性.

2.资本资产定价模型（CAPM）

由于马科维茨投资组合选择理论在其严格假设条件下存在的缺陷，为了避免大量复杂的运算，1965年前后，夏普等人在研究市场均衡价格的形成时，提出了著名的CAPM资本资产定价理论.CAPM模型完整地表述了资产组合与风险报酬之间的内部结构，它们只与各个相关的因素有关，而与单个投资种类无明显关系.CAPM还进一步说明了，投资者风险包括系统风险与非系统风险两大类，其中系统风险可以通过风险补偿获得回报，而非系统风险则可以通过新的投资组合而被分解掉.

（三）套利定价理论

CAPM成立的前提是建立在一系列严格假设条件之上的，而在实际应用的市场环境中往往不能完全满足这些条件.因此，在1976年，有美国的经济学家斯蒂芬·罗斯提出了PAT套利定价理论.套利理论认为，套利行为是现代有效市场形成（亦即市场均衡价格形成）的一个决定因素，如果市场未达到均衡状态的话，市场上就会存在无风险的套利机会.套利行为指的是利用同一证券或实物资产的不同价格来获取无风险利益的行为；套利机会指的是在既无风险又无增加资本的情况下即可在投资中获取利益的机会.

（四）期权定价理论

期权是一种合约，是其拥有者具有的在未来指定的某个时刻以预先约定的价格买卖某种标的资产的权利凭证.其按不同的分类方式可分为看跌期权和看涨期权，或者分为欧式期权和美式期权.看跌期权是指可以在指定的日期以协议确定的价格卖出一定量的标的资产；欧式期权则只能在到期日行权，而美式期权则可以在期限内的任何时候行权.所谓期权定价，就是对其选择权本身的定价.世界上目前广泛应用的期权定价模型有两种，分别是二项式期权定价公式即二叉树定价模型和BlackScholes公式.

1.二叉树模型（CRR）

CRR即二叉树定价模型是一个特定的离散时间模型，其由考克斯和罗斯等人在1979年首先提出.CRR模型假定每个时间段tj，tj+1，股票价格的波动只有一种改变方式：要么向上，要么向下，且在整个时间段内，股价改变方式的波动概率和幅度均不改变.该模型把整个时期分成若干阶段，并依据股价历史的波动模拟得出股票在整个时期间所有可能的随机路径，并对每一随机路径上的每一节点计算出期权收益和应用贴现的方法来计算出期权的价格.在计算美式期权价值时，CRR模型具有突出的优势，其在于相对直观，不需要用到太多的数学知识推导便可加以应用.即在每一节点上，美式期权的理论价值应为行权时的收益和应用贴现方法计算所得出期权价格中较大者.

2.BlackScholes模型

BlackScholes模型（以下简称BS公式）是期权定价模型中应用最广泛的模型.1973年，布莱克和舒尔斯第一次成功地建立了BS期权定价公式.BS公式是在运用随机微分方程理论的基础上推导出来的期权定价模型，具有定价合理，容易计算的优点，刻画的是一个股票价格连续发生变化的模型.其数学表达式如下：

C=S×Nd1-E×e-rt×Nd2，d1=lnSE+r+12σ2tσt，d2=lnSE+r-12σ2tσt.

其中C表示期权现价；S表示相应的股票现价；N（d）表示标准正态分布函数；e自然对数的底数；r表示无风险的连续利息力；t表示距离期权到期日的时间；E表示期权行权时的价格；σ表示期权合同标的资产连续复利收益率的标准差.

考察BS公式我们不难发现，公式中并未直接出现股票预测价格这一变量，即股票预期价格不会对期权的价值产生影响，它的风险是中性的，这也是BS公式区别于套利定价理论的地方.人们利用风险中性这一特征进行期权定价，现已发展成为一套十分有效的定价方法.

四、总 结

金融数学理论研究的新进展主要包括：随机最优控制理论、鞅理论、最优停时理论、微分对策理论；金融数学面临的新问题：美式期权问题、利率期限结构问题、市场价格的波动问题、突发事件问题.通过上述对金融数学经典基础理论及其理论研究新进展和其所面临的问题等的概述，我们很明显地知道金融数学是为金融经济学兴起的一场革命，它给金融领域带来了巨大活力，促进了现代金融理论的创新与实践管理.

【参考文献】

[1]孙宗歧，刘宣会.金融数学概述及其展望[J].重庆文理学院报，2010（12）.

[2]王海民，任九泉.20世纪金融数学的若干进展及前瞻[J].数量经济技术经济研究，2001（7）.