二阶时滞方程的调和解稳定性分析

王雪

引 言

对于含有参数激励的非线性动力系统是振动理论中的一类经典系统，对它的研究是极其丰富而又复杂的动力学行为，对此已经有了大量的研究[9].然而，对于含有参数激励的非线性时滞动力系统的研究，相关的文献较少，仅限于文献[10][1]等少量工作.

本文用某些承受周期激励的地震波和具有时滞弹性地基作用的结构为背景[2]，因为地基具有一定的长度，当弹性力在特定的时刻作用在物体上时没有马上导致物体活动状态，而是必须经过固定的时间距离，在物体的加速度达到均衡状态的时候，物体初步活动.在这个阶段一定包含着时间滞后，同时，在处理相关实际难点的体系开展探索时，滞量是必须重视的.所以，去掉滞量就不能使精确度准确，严重的能引起体系紊乱，总而言之，最后的数学模型为：

x··-（α-βx·2）x·+x（t-τ）+γx3（t-τ）+（KcosΩt）x=0（1）

其中K=εL，L=1，2，3，…，ε是一个小参数.Ω≈2ω，t为时间，τ为时滞量，t>0，τ>0.

当γ=ε=0时，系统（1）的Hopf分支以及稳定性分析已经在文献[8]中进行了研究，本文主要是研究在该系统存在Hopf分支的情况下，外加周期参数扰动时，调和解是否稳定的问题.本文主要运用多尺度分析的方法讨论（1）中介绍的地震波方程在周期参数扰动下，仍然存在稳定的周期解的问题，并给出解的近似表达式.

一、调和解的存在性

对于系统（1）存在调和解：

定理1.1

ⅰ.当τγ1-β1>0，ατ-2>0，1-2σω>0 时，系统（1.1）存在调和解，

此时a=a01=16·-（τω2+α）ω2[（β1-τγ1）ω2+（β1ω2+αγ1）（1-ατ）]>0，b=b′01>0.

ⅱ.当ατ-1=0且τγ1-β1=0，且（1-2σω）（τα-2）同号时，系统（1.1）存在调和解，

此时a=a02=（τα-2）ω-σ[（τω2+α）2+ω2（τα-2）2]6[τβ1ω5+（2γ1+αβ1）ω3+α2γ1ω]>0，b=b′02>0.

ⅲ.当1-2σω<0，ατ-2>0，τγ1-β1>0时，系统（1.1）存在调和解，

此时a=a03=a01>0，b=b03=b′01>0.

二、调和解的稳定性定理

记f（a，b）=ma+（n+σ2）b+6（-mQ-nP）a2b+6（mP-nQ）ab2+6（mP-nQ）a3+6（-nP-mQ）b3，

g（a，b）=（n-σ2）a-mb+6（mP-nQ）a2b+6（mQ+nP）ab2+6（nP+mQ）a3+6（mP-nQ）b3.

则有：

f（a，b）a=m+12（-mQ-nP）ab+6（mP-nQ）b2+18（mP-nQ）a2，

f（a，b）b=（n+σ2）+6（-mQ-nP）a2+12（mP-nQ）ab+18（-nP-mQ）b2，

g（a，b）a=（n-σ2）+12（mP-nQ）ab+6（mQ+nP）b2+18（nP+mQ）a2，

g（a，b）b=-m+6（mP-nQ）a2+12（mQ+nP）ab+18（mP-nQ）b2.

当a=a>0，b=b=0时，

f（a，b）aa=a*

b=b*=m+18（mP-nQ）a2，

f（a，b）ba=a*

b=b*=（n+σ2）+6（-mQ-nP）a2，

g（a，b）aa=a*

b=b*=（n-σ2）+18（nP+mQ）a2，

g（a，b）ba=a*

b=b*=-m+6（mP-nQ）a2.

得到雅可比阵记为A=m+18（mP-nQ）a2 （n+σ2）+6（-mQ-nP）a2（n-σ2）+18（nP+mQ）a2 -m+6（mP-nQ）a2

其特征方程为A-λE=m+18（mP-nQ）a2-λ （n+σ2）+6（-mQ-nP）a2（n-σ2）+18（nP+mQ）a2 -m+6（mP-nQ）a2-λ=[m+18（mP-nQ）a2-λ][-m+6（mP-nQ）a2-λ]-[（n+σ2）+6（-mQ-nP）a2][（n-σ2）+18（nP+mQ）a2]=λ2-[24（mP-nQ）a2]λ+[12n2P-12m2P+36mnQ+12σnP+6σmQ]a2+108（mP-nQ）a4+108（-mQ-nP）（nP+mQ）a4-m2-n2-σ24.

由一元二次方程求根公式λ=-b±b2-4ac2a，

其中a=1，

b=-24（mP-nQ）a2，

c=[12n2P-12m2P+36mnQ+12σnP+6σmQ]a2+108（mP-nQ）a4+108（-mQ-nP）（nP+mQ）a4-m2-n2-σ24.

当b=-24（mP-nQ）a2>0，即mP-nQ<0时，λ就有实部小于零的根，此时系统的调和解是稳定的.对调和解的讨论中满足mP-nQ<0，在此条件下的调和解是稳定的.其他两个条件下的调和解是不稳定的.

于是有

定理2.1 当1-ατ=ε>0即mP-nQ<0时，系统（3.1）存在稳定的调和解，

此时a=a02=（τα-2）ω-σ[（τω2+α）2+ω2（τα-2）2]6[τβ1ω5+（2γ1+αβ1）ω3+α2γ1ω]>0，b=b′02>0.

三、调和解的近似表达式

由x0（T0，T1）=A（T1）eiωT0+cc ，其中A=A（T1）=[a（T1）+ib（T1）]eiσT12

得x0（T0，T1）=[a（T1）+ib（T1）]eiσT12eiωT0+cc =（a+ib）cos（σ2T1）+isin（σ2T1）cos（ωT0）+isin（ωT0）+cc =（a+ib）[cos（σ2T1）cos（ωT0）+icos（σ2T1）sin（ωT0）+isin（σ2T1）cos（ωT0）-sin（σ2T1）sin（ωT0）]+cc =2a[cos（σ2T1）cos（ωT0）-sin（σ2T1）sin（ωT0）]-2b[cos（σ2T1）sin（ωT0）+sin（σ2T1）cos（ωT0）] =2acos（ωT0+σ2T1）-2bsin（ωT0+σ2T1）.

再由D02x1-αD0x1+x1（T0-τ，T1）=A3e3iωT0（-γ1e-3iωτ+iβ1ω3）+12Aei（3ω+εσ）T0，

可解得：x1（T0，T1）.

于是经过参数激励后，系统（3.1）仍能得到稳定的调和解：

x（t）=x0（T0，T1）+εx1（T0，T1）+o（ε2）.

【参考文献】

[1]K Gopalsamy.Stability and Oscillations in Delay Differenlial Equations of Population Dynamics[M].Kluwer Academic Publishers，1992.

[2]戴护军，徐鉴.时滞对于参数激励系统周期运动的影响[J].力学季刊，2004（9）：36-37.

[3]马知恩.种群生态学的数学建模与研究[M].合肥：安徽教育出版社，1996.

[4]白萍.一类中立型时滞系统的周期运动的近似解[J].数学的实践与认识，2008，38（16）：163-168.

[5]刘延柱.陈立群.非线性振动[M].北京：高等教育出版社，2001.

[6]岳锡亭.一类二阶时滞神经网络系统稳定区域的划分及Hopf分支分析[J].黑龙江大学自然科学学报，2006（4）：236-240.

[7]张锦炎.常微分方程几何理论与分支问题[M].北京：北京大学出版社，1981.

[8]张萍.岳锡亭.一类时滞系统的Hopf分支计算及稳定性分析[J].长春工业大学学报自然科学版，2010（4）：374-378.

[9]张伟，陈予恕.含有参数激励非线性动力系统的现代理论发展[J].力学进展，1998，28（1）：1-16.

[10]Plaut R H，Hisen J C.Nonliear structural vibrations involing a time delay in daming[J].

Journal of Sound and Vibration，1987，117（3）：495-510.