两种基因类型的丙肝传染病混合模型的动力学分析

董亚丽，乔志琴

(中北大学理学院，山西太原 030051)

两种基因类型的丙肝传染病混合模型的动力学分析

董亚丽，乔志琴

(中北大学理学院，山西太原 030051)

鉴于中国丙肝患者中所含基因类型主要分为2种，且在临床上有急性和慢性之分，为了更好的研究基因类型对丙肝的影响，针对急性和慢性2种基因类型丙肝进行生物数学建模，分析讨论其相应平衡态的存在性及稳定性。结果表明，基本再生数较大的丙肝会长期存在，而基本再生数较小的丙肝会逐渐消亡，当且仅当基本再生数相等时，2种基因类型的丙肝才可能共存。数值模拟分析验证了该结果的正确性。因此，对不同基因类型的患者进行分类治疗是必要的。

稳定性理论；丙肝；基因类型；急性感染；慢性感染；基本再生数

丙肝是由丙型肝炎病毒感染所引起的疾病，其传染性很强，一旦感染很难治愈，且极易转为慢性肝炎并发生肝硬化，甚至诱发肝癌。 临床上将丙肝分为急性和慢性2种[1-2]，两者的早期症状均不明显，很容易被忽视。国内外至今也没有可以有效预防丙肝的疫苗和治疗方案[3-4]，所以对丙肝的病理传播性态进行研究具有重要意义。

很多文献已经通过建立传染病模型对丙肝进行研究，如文献[5]考虑了人口变化这一因素， 并且引入慢性感染，建立了一个SIS模型；文献[6]通过建立SIR模型来研究注射毒品者这一特殊群体之间的丙肝传染情况；文献[7-8]在考虑免疫力减弱的情况下，恢复者再次成为易感者，建立SIRS模型；文献[9]指出有效治疗在一定程度上可以阻止丙肝继续传播及再次感染；文献[10]分析了抗病毒治疗的重要性；文献[11]考虑了丙肝的再次感染会产生后向分支；文献[12]研究了渗流理论在多个染病阶段的疾病传播中的作用。

可以看出，以上模型都属于单一基因类型的丙肝传染病模型，事实上，文献[13-14]中指出：目前丙肝有6种基因型(1-6)和11种基因亚型(1a-c, 2a-c, 3a-b, 4a, 5a, 6a)，不同基因型或亚型感染的地理分布，抗病毒治疗的效果及疾病严重程度等均存在差异。中国南方沿海城市丙肝病毒基因型主要以1b型为主，占90%以上，而北方城市其他基因型主要以2a型为主，占总数的46%～70%，因此考虑含有不同基因类型的丙肝模型更具有实际意义。

本研究以中国总人口作为研究对象，在急慢性分类的情况下考虑2种基因类型(1b与2a)的丙肝感染者，将总人群N分为易感者S，1b型急性感染者P1，1b型慢性感染I1，2a急性感染者P2，2a型慢性感染者I2，恢复者R， 建立的仓室图如图1所示。

图1 仓室图Fig.1 Schematic diagram of the classification

其对应的数学模型为

(1)

1 边界平衡点及共存平衡点

1.1 无病平衡点分析

定理2 当01或R2>1时，无病平衡点E0不稳定。

证明 模型(1)在E0处的雅克比矩阵如下：

显然，有2个相同的特征值，为-μ<0,而其他4个特征根满足方程：

[λ2+Bλ+C][λ2+Dλ+E]=0,

其中：

C=(μ+ε1+σ1)(μ+α1)(1-R1),

E=(μ+ε2+σ2)(μ+α2)(1-R2)。

1)当R1>1时，显然有C<0，则E0不稳定。

2)当R2>1时，显然有E<0，则E0不稳定。

3)当00,E>0,

(μ+ε1+σ1)(1-R1)>0，

(μ+ε2+σ2)(1-R2)>0，

则E0局部渐近稳定。

定理3 当0

证明 构造Lyapunov函数：

则V沿系统(1)关于时间t的导数为

(μ+ε1+σ1)(μ+α1)(R1-1)P1+

(μ+ε2+σ2)(μ+α2)(R2-1)P2,

显然，当0

1.2 单基因平衡点分析

考虑模型(1)的单基因平衡点，当R1>1时，存在平衡点E1；当R2>1时，存在平衡点E2。

定理4 当R1>1且R1>R2时，平衡点E1局部渐近稳定；当R1>1且R11且R2>R1，平衡点E2局部渐近稳定；当R2>1且R2

证明 模型(1)在E1处的雅克比矩阵如下：

显然，其对应的特征值有1个为-μ<0, 其他5个特征根满足方程：

[λ2+a1λ+a2][λ3+a3λ2+a4λ+a5]=0,

其中：

a5=μ(μ+ε1+σ1)(μ+α1)(R1-1)。

1)当R1>1且R1

2)当R1>1且R1>R2时，

a2>0,

a4>μ(2μ+α1+σ1+ε1)-

a3a4-a5>

(2μ+α1+σ1+ε1+μ)(μ(2μ+α1+σ1+ε1))-

(μ(μ+ε1+σ1)(μ+α1))>

μ(μ+α1)(μ+ε1+σ1)-Λβ1(μ+α1+ε1v1)>0。

由Routh-Hurwitz判据可知：当R1>1且R1>R2时，方程的根均具有负实部，E1局部渐近稳定。

根据对称性可知：当R2>1且R2>R1时，E2局部渐近稳定；当R2>1且R2

定理5 当R1>1且R1>R2时，E1全局稳定； 当R2>1且R2>R1时，E2全局稳定。

证明 构造Lyapunov函数：

则V沿系统(1)关于时间t的导数为

μS*-β1(P1+v1I1)S-

β2(P2+v2I2)S-μS]+

[β2(P2+v2I2)S-(ε2+σ2+μ)P2]+

由于算数平均数大于等于几何平均数，故

1.3 共存平衡点分析

此情况为经典的SIR模型，此处不再讨论。

2 数值模拟

首先，选取如下参数得到图2 a)，Λ=5,μ=0.09,β1=0.05,β2=0.03,α1=0.5,α2=0.6,ε1=0.2,ε2=0.25,v1=0.9,v2=0.91,σ1=0.7,σ2=0.6，直接计算得R1=3.661 9,R2=2.357 6，当t→∞时，系统(1)的解(S(t),P1(t),P2(t),I1(t),I2(t),R(t))→(15.171 2,3.671 3,0,1.244 5,0,35.469 0)，此时R1和R2满足条件R1>1,R2>1且R1>R2,从图2 a)中可以看出，S,P1,I1,R最终趋于稳定，而P2和I2最终趋于0，即E1是全局稳定的。

其次，选取如下参数得到图2 b)，Λ=5,μ=0.09,β1=0.05,β2=0.007 888,α1=0.5,α2=0.5,ε1=0.2,ε2=0.2,v1=0.9,v2=1.1,σ1=0.7,σ2=0.4,经计算得R1=3.661 9,R2=1,当t→∞时，系统(1)的解(S(t),P1(t),P2(t),I1(t),I2(t),R(t))→(15.171 2,3.671 3,0,1.244 5,0,35.469 0),此时R1和R2满足条件R1>1,R2=1,观察图2 b)可以发现，S,P1,I1,R最终趋于稳定，而P2和I2最终趋于0，即E1是全局稳定的。

再次，选取如下参数得到图2 c)，Λ=5,μ=0.09,β1=0.05,β2=0.008,α1=0.5,α2=0.52,ε1=0.2,ε2=0.3,v1=0.9,v2=0.85,σ1=0.7,σ2=0.58,经计算得R1=3.661 9,R2=0.649 7,当t→∞时，系统(1)的解(S(t),P1(t),P2(t),I1(t),I2(t),R(t))→(15.171 2,3.671 3,0,1.244 5,0,35.469 0),此时R1和R2满足条件R1>1,0

综合考虑图2可得，当R1>1且R1>R2时，E1是全局稳定的。由对称性可知，当R2>1且R2>R1时，E2是全局稳定的。

图2 当R1>1且R1>R2时，E1是全局稳定的Fig.2 When R1>1 and R1>R2, E1is globally stable

笔者选取如下参数得到图3，Λ=5,μ=0.08,β1=0.073 95,β2=0.050 625,α1=0.5,α2=0.22,ε1=0.2,ε2=0.5,v1=1.1,v2=1,σ1=0.4,σ2=0.32,经计算得R1=9.375,R2=9.375,此时R1和R2满足条件R1=R2>1，观察图3可以发现，S,P1,I1,P2,I2,R最终均趋于稳定，即2种基因类型的丙肝共存。

图3 当R1=R2>1时，1b型和2a型丙肝均流行Fig.3 When R1=R2>1, the types of 1b and 2a all exist

3 结 论

本文建立了一个含有2种基因类型的丙肝传染病模型，通过研究各平衡态(无病平衡点、单基因平衡点、共存平衡点)的存在性和稳定性，得出以下结论：不同类型的疾病是否可以共存取决于其基本再生数，具有较大基本再生数的疾病会长期存在， 而具有较小基本再生数的疾病会逐渐消亡，当且仅当两者的基本再生数相等时，2种疾病才可能共存。由此可见，基本再生数是判断疾病是否传播的重要参量，医学上对于不同基因类型的患者进行分类治疗很有必要。

笔者将本文讨论结果总结为图4，其中A区域满足条件：R1>1且R1>R2，此时1b型丙肝将一直存在，2a型丙肝将逐渐消亡。B区域满足条件：R2>1且R2>R1，此时2a型丙肝将一直存在，1b型丙肝将逐渐消亡。C区域满足条件：0

图4 2种基因类型的丙肝存在区域Fig.4 Existence of the two types of HCV

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Dynamic analysis of mixture model about Hepatitis C Virus with two genetic types

DONG Yali, QIAO Zhiqin

(School of Science, North University of China, Taiyuan, Shanxi 030051， China)

There are two clinical types of acute and chronic stages and two main genetic types of Hepatitis C Virus(HCV) in China. In order to study the effect of genetic of HCV, the mathematical model about the two genetic types of HCV within acute and chronic stages are established, and the corresponding existence and stability of equilibrium are analyzed. The results show that the strain with the larger reproduction number persists for a long time and the other strain dies out; if and only if two strains have the same reproduction number, the coexistence may occur. The correctness of this conclusion is verified by numerical simulation. So it is necessary to classify patients with different genetic types in medicine.

stability theory； Hepatitis C Virus(HCV)； genetic types； acute infection； chronic infection； the basic reproduction number

1008-1534(2017)01-0001-06

2016-10-16;

2016-12-06；责任编辑：张 军

国家自然科学基金(11401541)；博士学科点专项科研基金(20111420120006)

董亚丽(1990-)，女，山西朔州人，硕士研究生，主要从事生物数学方面的研究。

乔志琴副教授。E-mail:qiaozhiqin@nuc.edu.cn

O175

A

10.7535/hbgykj.2017yx01001

董亚丽，乔志琴.两种基因类型的丙肝传染病混合模型的动力学分析[J].河北工业科技,2017,34(1):1-6. DONG Yali, QIAO Zhiqin.Dynamic analysis of mixture model about Hepatitis C Virus with two genetic types[J].Hebei Journal of Industrial Science and Technology,2017,34(1):1-6.