分形离散裂缝数值试井解释模型

吴明录， 丁明才， 姚 军， 徐思南

( 中国石油大学(华东) 石油工程学院，山东 青岛 266580 )

分形离散裂缝数值试井解释模型

吴明录， 丁明才， 姚 军， 徐思南

( 中国石油大学(华东) 石油工程学院，山东 青岛 266580 )

基于分形理论，考虑裂缝中心、长度和密度的概率分布，以及主应力方向等条件，研究分形离散裂缝模型随机建模方法，建立离散裂缝数值试井解释模型，得到井底压力响应的数值解。对比数值解与基于连续性介质假设的解析解，证明数值试井解释模型的正确性和一致性。结果表明：在相同的分形维数条件下，试井曲线基本重合，说明分形维数对离散裂缝具有较好的控制程度，可以为离散裂缝随机建模提供依据，对认识天然裂缝性油藏裂缝发育特征具有参考意义。

分形； 离散裂缝； 随机建模； 嵌入式； 数值试井

0 引言

随着人们对油气田勘探开发的逐步深入，世界上探明的裂缝性油藏(NFRs)数量不断增加，裂缝性油藏试井受到越来越多的关注。目前，裂缝性油藏试井理论主要基于连续性介质假设[1-5]，认为地层中任何一个微元同时存在裂缝和基质两种介质，假设并不完全符合裂缝性油藏的实际特点。Laubach S E、Lorenz J C和Narr W等[6-8]提出裂缝表现为离散、不规则及经常成簇出现的特征。Priest S D、 Villaescusa E和 Tamagawa T等[9-11]用随机建模的方法生成离散裂缝网络(DFN)模型，可以更好地刻画裂缝性油藏的真实特性，但是随机建模方式也使参数具有不确定性。为了生成更加符合裂缝性油藏实际的离散裂缝网络，Darcel C、Kim T H和de Dreuzy J R等[12-14]将分形理论应用于离散裂缝网络的随机生成，提出分形离散裂缝网络(FDFN)模型，分形参数能够很好地控制裂缝的整体分布，可以更精确地模拟裂缝性油藏的裂缝分布特征。

在分形离散裂缝模型基础上，笔者首先结合嵌入式离散裂缝模型和数值试井，建立分形离散裂缝数值试井解释模型；然后采用有限差分方法对模型求解，得到井底压力响应结果；最后分析裂缝中心、长度和密度的概率分布，以及主应力方向等分形参数及Fisher常数等对井底压力动态的影响特征。

1 建模

采用基于裂缝中心分布的分形离散裂缝随机建模方法[12-13]，构建裂缝长度和方向的概率分布的离散裂缝网络模型。

1.1 裂缝中心分布

采用一阶模型模拟裂缝中心点的概率分布[12]，表示为

(1)

式中：l为裂缝长度；L为模拟区域的长度；n(l,L)dl表示裂缝长度在l～l+dl之间的裂缝数量，当l与l+dl非常接近时，n(l,L)即为裂缝长度为l的裂缝数量；Dc为裂缝中心分布的分形维数；Dl为裂缝长度分布的分形维数；α为密度，其值越大，区域中的裂缝数量越多。

对式(1)积分，得到所有长度范围内的裂缝总数量：

(2)

式中：lmin为模拟区域中最小裂缝的长度。

得到裂缝总数量后，采用多重分级法[12-14]确定裂缝中心的概率分布。首先将区域分成多个子区域，每个子区域赋予一个裂缝中心分布的概率Mi；然后将每个子区域进一步划分子区域，直到所有子区域数量达到上限。裂缝中心的概率分布[12-14]表示为

(3)

式中：Dq为多重分形维数；q为与Dq有关的常数，文中多重分形维数为D2，即q=2；s为区域的边长与子区域边长的比值。

1.2 裂缝长度分布

对式(1)左端n取不同值，可得对应裂缝长度的概率分布：

(4)

1.3 裂缝方向分布

用Fisher分布[9,15]描述裂缝方向与最大概率方向的偏离程度：

(5)

(6)

式中：θ为裂缝方向与x轴正方向夹角；θ0为最大概率方向(主应力方向)；θm为到最大概率方向的偏离角；F为Fisher常数；M为裂缝方向分布的概率，满足高斯随机分布；m为随机产生的正整数。

2 数值试井解释模型

2.1 基质系统

由基质单元体中的质量守恒定律得到基质系统的连续性方程[16]：

(7)

式中：ρ、v为流体的密度和渗流速度；Q为源汇项；δm为判断基质网格是否有裂缝穿过，当有裂缝穿过时δm为1，否则为0；Qm-n为基质网格m与n之间通过裂缝的流体流量；nNNC为裂缝穿过的基质网格数量。

假设地层岩石和流体微可压缩，地层中流体的流动方式为达西渗流，则流体在基质系统中的运动方程、岩石和流体的状态方程[17]分别为

(8)

(9)

式中：km为基质渗透率；μ为流体黏度；p为压力；ρ为流体密度；φ为基质孔隙度；Cf、C1为岩石和流体的压缩系数；p0为初始压力。

将运动方程(8)和状态方程(9)代入连续性方程(7)，并忽略源汇项，可得二维直角坐标系下的表达式：

(10)

(11)

式中：Tm-n为基质网格m与n之间的流动系数。

考虑外边界条件时，对于封闭外边界，有

(12)

对于定压外边界，有

(13)

式(12—13)中：Lx、Ly分别为模拟区域x、y方向的长度；pe为边界地层压力。

对于内边界条件，考虑表皮效应(采用工程单位制，下同)和井筒储存效应[18-21]，有

(14)

(15)

式(14—15)中：C为井筒储存系数；S为表皮系数，rw为井筒半径；B为流体体积系数；r为到井底的距离；pwf为井底流压。

2.2 裂缝向基质的嵌入

计算裂缝穿过的基质网格块之间的流动系数，实现嵌入式离散裂缝模型[22-27]中裂缝向基质系统的嵌入。与基于非结构化网格的常规离散裂缝模型相比，可以节约大量计算时间。文中采用Shiakiba M[27]提出的方法实现模型中裂缝向基质系统的嵌入。

基质网格块间的流动系数为

(16)

式中：Tm-f、Tn-f为基质网格块与裂缝之间的流动系数，Tm-f=km-fAm-f/dm-f，Tn-f=kn-fAn-f/dn-f。其中，km-f、kn-f分别为基质网格m、n与裂缝之间的渗透率，由基质与裂缝的渗透率km和kf计算得到[25-27]；Am-f、An-f分别为基质网格m、n与裂缝面相交的截面积；dm-f、dn-f为基质网格m、n与裂缝相交面的平均距离[27]。

利用式(16)，将裂缝嵌入到基质系统，建立基于分形离散裂缝的双重介质数值试井解释模型。

2.3 模型求解

首先采用有限差分方法对模型进行求解[17]，得到井网格的压力pw；然后考虑表皮效应和井筒储存效应影响，求解井底流动压力[19]：

(17)

式中：h为储层厚度。

3 模型验证

3.1 正确性

为验证模型的正确性，取分形参数Dc=1.9、θ0=π/4、F=5、α=3.5、Dl=1.3，构建分形离散裂缝模型(见图1)。为与双重介质模型解析解进行对比，对图1的裂缝参数进行计算：(1)计算所有裂缝的孔隙体积[13]，求和得到裂缝系统的总孔隙体积；(2)由裂缝的总孔隙体积与基质系统的总孔隙体积，计算得到折算的裂缝系统弹性储容比[19]ω=3×10-3；(3)由裂缝的渗透率与基质的渗透率，计算得到窜流系数[19]λ=8×10-7。将分形离散裂缝模型近似等效为连续性双重介质模型，考虑表皮效应、井筒储存效应、体积流量、内边界条件和封闭外边界条件，取对应参数为S=5，C=0.1 MPa/m3，Qv=120 m3/d，pe=pi=15 MPa，计算分形离散裂缝模型(FDFN)的数值解和连续性双重介质模型(DPDP)的解析解(见图2，其中虚线是压力响应曲线对应的导数曲线，下同)。由图2可见，所建立的分形离散裂缝模型数值解与连续性双重介质解析解基本吻合，从而验证模型的正确性。

图1 分形离散裂缝模型

图2 两种模型试井压力响应曲线Fig.2 Well test pressure response curves of two models

3.2 一致性

为验证分形参数相同时计算得出试井曲线基本一致，令分形参数取值与3.1相同，通过多次随机模拟得到不同的分形离散裂缝模型(见图3)，分别计算并绘制各模型对应的试井压力及压力导数曲线(见图4)。由图3和图4可见，虽然随机产生的裂缝分布不同，但在相同的分形参数控制下，各个离散裂缝模型的解基本一致，表明分形参数对试井曲线具有较好的控制程度，在分形参数确定时，解也确定。

图3 分形离散裂缝模型解的一致性验证Fig.3 Consistency verification examples of fractal discrete fracture model

4 离散裂缝分形参数敏感性

为研究分形参数对试井曲线的影响特征，分别取不同的Dc、Dl、α、θ0、F，计算并绘制相应的试井曲线。

4.1 中心分布维数

在分形离散裂缝模型中，区域中裂缝位置中心的分形维数Dc越大，裂缝数目越多。设θ0=π/4，F=35，α=3.5，Dl=1.3，Dc为1.7、1.8、1.9，建立分形离散裂缝模型，计算并绘制Dc取不同值时对应的试井压力及压力导数响应曲线(见图5)。由图5可见，Dc越大，裂缝条数越多，压力导数曲线在中期段“下凹”越深。原因是文中模型将基质视为连续性渗透介质，除了具有储集能力外，还具有一定渗流能力：当裂缝

图4 相同分形参数不同裂缝模型的压力响应曲线Fig.4 Pressure response curves of different fracture models with the same fractal parameter

较少时，基质是主要渗透介质；当裂缝较多时(裂缝近似成为一种连续介质)，裂缝成为主要渗透介质。因此，裂缝数目越多，裂缝所占的总系统的弹性孔隙体积越大，文中模型的双重介质特征越明显，压力导数曲线中期段“下凹”越深。

4.2 长度分布维数

在分形离散裂缝模型中，表示裂缝长度维数的Dl除了影响裂缝的长度外，还影响裂缝的总数量。设θ0=π/4，F=5，α=3.5，Dc=1.9，Dl为1.2、1.3、1.4，建立分形离散裂缝模型，计算并绘制Dl取不同值时对应的试井压力及压力导数响应曲线(见图6)。由图6可见，Dl的作用与裂缝中心分布维数Dc相反，其值越大，裂缝总数越少。因此，Dl对试井曲线的影响特征也相反，即Dl越大，压力及其导数曲线中期段的“下凹”越浅。

图5 裂缝中心分布维数Dc对压力响应曲线的影响

Fig.5 Effect of fracture center distribution dimensionDcon the pressure response curves

图6 裂缝长度分布维数D1对压力响应曲线的影响

Fig.6 Effect of fracture length distribution dimensionD1on the pressure response curves

4.3 裂缝分布密度

在分形离散裂缝模型中，表示模拟区域中裂缝密度的α反映区域中裂缝的总条数。设θ0=π/4，F=35，Dl=1.3，Dc=1.9，α为2.5、3.5、4.5，建立分形离散裂缝模型，计算并绘制α取不同值时对应的试井压力及压力导数响应曲线(见图7)。由图7可见，α与裂缝中心分布维数Dc对试井曲线的影响规律一致，即α越大，裂缝数目越多，压力导数曲线中期段的“下凹”越深。

4.4 Fisher常数

在分形离散裂缝模型中，Fisher常数F决定裂缝方向与地层主应力方向的符合程度。设θ0=π/4，α=3.5，Dl=1.3，Dc=1.9，令F为5、25、65，建立分形离散裂缝模型，计算并绘制F取不同值时对应的试井压力响应曲线(见图8)。由图8可见，F越大，裂缝方向的一致性越好，裂缝总体发育方向越有序，裂缝对渗流作用的总体控制程度越高，压力波及面积越小，波及范围内裂缝的孔隙总体积越小，压力导数曲线中期段的“下凹”越浅。

4.5 地层主应力方向

设F=25，α=3.5，Dl=1.3，Dc=1.9，θ0为π/2、π/3、π/4，建立分形离散裂缝模型，计算θ0取不同值时对应的试井压力及压力导数响应曲线(见图9)。由图9可见，当F为常数时，裂缝方向与主应力方向基本一致，裂缝对渗流作用的总体控制程度相近，垂直井的流动形态以平面径向流为主，地层主应力方向θ0对试井曲线影响较小。

5 实例分析

应用文中模型，选取中国西部某裂缝性油藏的一口垂直测试井进行试井解释，自动拟合参数：C=0.13 m3/MPa，S=5,Dc=1.92，Dl=1.34，F=20.54，α=3.54。由于θ0对试井曲线不敏感，在拟合解释时，参照油藏取为常数。拟合后的试井压力及压力导数曲线见图10。由图10可见，试井的实际压力及压力导数曲线与文中模型计算的曲线基本符合，表明文中模型解释结果可靠，具有现场实用性。

图7 裂缝密度α对压力响应曲线的影响Fig.7 Effect of fracture density α on the pressure response curves

图8 Fisher常数F对压力响应曲线的影响Fig.8 Effect of Fisher's constant F on the pressure response curves

图9 地层主应力方向θ0对压力响应曲线的影响Fig.9 Effect of formation principal stress direction θ0 on the pressure response curves

图10 某裂缝性油藏压力及其压力导数拟合曲线Fig.10 Pressure and its derivative fitting curve

6 结论

(1)建立具有分形特征的离散裂缝数值试井解释模型及其求解方法，与连续性双重介质模型解析解对比，验证模型的正确性。随机生成的不同分形离散裂缝模型的试井曲线表明，在相同的分形参数控制下，各模型的解基本一致，文中模型中分形参数对试井曲线具有较好的控制程度。

(2)裂缝的中心分布维数、长度分布维数、分布密度、应力主方向，以及Fisher常数等影响压力导数曲线下凹程度，裂缝中心分布维数和分布密度越大，或Fisher常数和裂缝长度分布维数越小，压力导数曲线在中期段“下凹”越深；应力主方向对压力导数影响较小。

(3)某裂缝性油藏测试井试井解释表明，采用拟合参数的试井解释曲线与实际现场测试压力曲线相符，文中模型具有一定的现场实用性。

[1] Kazemi H, Merrill Jr L S, Porterfield K L, et al. Numerical simulation of water-oil flow in naturally fractured reservoirs [J]. Society of Petroleum Engineers Journal, 1976,16(6):317-326.

[2] van Golf-Racht T D. Fundamentals of fractured reservoir engineering [M]. Amsterdam: Elsevier, 1982.

[3] Warren J E, Root P J. The behavior of naturally fractured reservoirs [J]. Society of Petroleum Engineers Journal, 1963,3(3):245-255.

[4] 李清泉,王新海,尹虎,等.页岩气藏数值模拟及井底压力动态分析[J].东北石油大学学报,2013,37(1):91-96. Li Qingquan, Wang Xinhai, Yin Hu, et al. Simulation of shale gas reservoirs and dynamic analysis of bottom hole pressure [J]. Journal of Northeast Petroleum University, 2013,37(1):91-96.

[5] 任俊杰,郭平,汪周华,等.三孔双渗油藏非牛顿幂律流体试井分析[J].特种油气藏,2012,19(6):76-80. Ren Junjie, Guo Ping, Wang Zhouhua, et al. Well test analysis of non-Newtonian power law fluid in triple pore and double permeability reservoirs [J]. Special Oil & Gas Reservoirs, 2012,19(6):76-80.

[6] Laubach S E. Fracture patterns in low-permeability-sandstone gas reservoir rocks in the Rocky Mountain region [C]//Low Permeability Reservoirs Symposium. Society of Petroleum Engineers, 1991.

[7] Lorenz J C, Hill R E. Subsurface fracture spacing: Comparison of inferences from slant/horizontal core and vertical core in Mesaverde reservoirs [J]. SPE Formation Evaluation, 1994,9(1):66-72.

[8] Narr W, Schechter D W, Thompson L B. Naturally fractured reservoir characterization [M]. Richardson, TX: Society of Petroleum Engineers, 2006.

[9] Priest S D. Discontinuity analysis for rock engineering [M]. New York: Springer Science & Business Media, 2012.

[10] Villaescusa E. Statistical modelling of rock jointing [J]. Probabilistic Methods in Geotechnical Engineering, 1993,11(2):221-231.

[11] Tamagawa T, Matsuura T, Anraku T, et al. Construction of fracture network model using static and dynamic data [C]//SPE Annual Technical Conference and Exhibition. Society of Petroleum Engineers, 2002.

[12] Darcel C, Bour O, Davy P, et al. Connectivity properties of two-dimensional fracture networks with stochastic fractal correlation [J]. Water Resources Research, 2003,39(10):1272.

[13] Kim T H, Schechter D S. Estimation of fracture porosity of naturally fractured reservoirs with no matrix porosity using fractal discrete fracture networks [J]. SPE Reservoir Evaluation & Engineering, 2009,12(2):232-242.

[14] De Dreuzy J R, Davy P, Erhel J, et al. Anomalous diffusion exponents in continuous two-dimensional multifractal media [J]. Physical Review E, 2004,70(1):811.

[15] 杨立中,黄涛,贺玉龙.裂隙岩体渗流—应力—温度耦合作用的理论与应用[M].成都:西南交通大学出版社,2008. Yang Lizhong, Huang Tao, He Yulong. Theory and application of seepage-stress-temperature coupling in fractured rock mass [M]. Chengdu: Southwest Jiaotong University Press, 2008.

[16] 严侠,黄朝琴,姚军,等.基于模拟有限差分的嵌入式离散裂缝数学模型[J].中国科学:技术科学,2014,44(12):1333-1342. Yan Xia, Huang Zhaoqin, Yao Jun, et al. The embeded discrete fracture model based on mimetic finite difference method [J]. Science China Press: Science and Technology, 2014,44(12):1333-1342.

[17] 韩大匡.油藏数值模拟基础[M].东营:石油工业出版社,1993. Han Dakuang. Foundation of reservoir numerical simulation [M]. Dongyin: Petroleum Industry Press, 1993.

[18] 吴明录,姚军.多层油藏流线数值试井解释模型[J].石油勘探与开发,2007,34(5):609-615. Wu Minglu, Yao Jun. Streamline numerical well testing interpretation model for multi-layer reservoir [J]. Petroleum Exploration and Development, 2007,34(5):609-615.

[19] 张艳玉,姚军.现代试井解释原理与方法[M].东营:中国石油大学出版社,2006. Zhang Yanyu, Yao Jun. Principles and methods of modern well testing interpretation [M]. Dongying: China University of Petroleum Press, 2006.

[20] 樊冬艳,姚军,金强,等.考虑储层改造体积页岩气藏复合模型[J].东北石油大学学报,2015,39(2):77-84. Fan Dongyan, Yao Jun, Jin Qiang, et al. Composite model considering reservoir reformation volume shale gas reservoir [J]. Journal of Northeast Petroleum University, 2015,39(2):77-84.

[21] 姜瑞忠,郜益华,孙召勃,等.基于点源解的偏心井试井典型曲线分析[J].东北石油大学学报,2016,40(4):80-87. Jiang Ruizhong, Gao Yihua, Sun Zhaobo, et al. Analysis of eccentric well test typical curve based on point source solution [J]. Journal of Northeast Petroleum University, 2016, 40(4):80-87.

[22] Lee S H, Jensen C L, Lough M F. An efficient finite difference model for flow in a reservoir with multiple length-scale fractures [C]//SPE Annual Technical Conference and Exhibition. Society of Petroleum Engineers, 1999.

[23] Lee S H, Lough M F, Jensen C L. Hierarchical modeling of flow in naturally fractured formations with multiple length scales [J]. Water Resources Research, 2001,37(3):443-455.

[24] Li L, Lee S H. Efficient field-scale simulation of black oil in a naturally fractured reservoir through discrete fracture networks and homogenized media [J]. SPE Reservoir Evaluation & Engineering, 2008,11(4):750-758.

[25] Moinfar A, Varavei A, Sepehrnoori K, et al. Development of an efficient embedded discrete fracture model for 3D compositional reservoir simulation in fractured reservoirs [J]. SPE Journal, 2014,19(2):289-303.

[26] Moinfar A. Development of an efficient embedded discrete fracture model for 3D compositional reservoir simulation in fractured reservoirs [D]. Austin: University of Texas, 2013.

[27] Shakiba M. Modeling and simulation of fluid flow in naturally and hydraulically fractured reservoirs using embedded discrete fracture model [D]. Austin: University of Texas, 2014.

2016-08-06；编辑：张兆虹

长江学者和创新团队发展计划项目(IRT1294)；中央高校基本科研业务费专项资金项目(14CX02045A)

吴明录(1978-)，男，博士，副教授，主要从事油气田开发工程方面的研究。

TE357

A

2095-4107(2016)06-0114-07

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2016.06.013