具有尺度结构的种群系统的最优生育率控制

田 雪,辛大伟

阜阳师范学院数学与统计学院，安徽阜阳,236037

具有尺度结构的种群系统的最优生育率控制

田 雪,辛大伟

阜阳师范学院数学与统计学院，安徽阜阳,236037

研究了一类周期环境中具有尺度结构的种群系统的最优生育率控制问题。运用Mazur定理证明了最优生育率控制的存在性。利用J.L.Lions的变分不等式理论,给出了生育率控制为最优的必要条件,得到了由积分-偏微分方程和变分不等式构成的最优性组。

生育率控制；尺度结构；最优条件

1 建立模型

生物种群系统控制问题关系着生态的平衡和经济的可持续发展。许多学者从事这方面的研究，并取得了一些重要成果[1-9]。文献[2]讨论了时变种群系统最优生育率控制问题，文献[3]研究了基于时滞和年龄分布的种群系统的生育率控制问题，文献[4]讨论了带有尺度结构的捕食-被捕食系统的最优收获问题，文献[5-6]研究了周期环境中基于个体尺度的种群系统的最优收获问题。其中，文献[6]采用收获率(例如渔业中的捕获率)作为控制变量,证明了存在最优收获率，在此前提下，能使系统种群密度尽可能接近理想分布。为了研究生育率对种群发展的影响，本文选取生育率作为控制变量，考虑下列数学模型所描述的种群系统(P)。

其中，p(x,t)为t时刻尺度为x的种群密度；l是个体不能超过的最大尺度；T是系统演变周期；Q=(0,l)×[0,+∞);μ(x,t)和V(x,t)分别是种群死亡率和尺度增长率；f(x,t)是外界向环境内的输入率；β(x,t)是种群生育率，它是系统(P)的控制量，称为生育率控制。显然,系统(P)的解p(x,t)依赖于控制量β(x,t)，因此也把p(x,t)记为p(x,t;β)，简记为p(β)或pβ。

设Zd(x,t)是种群密度的理想分布，人们希望通过对生育率β的控制，使种群密度p(x,t;β)尽可能地接近Zd(x,t)。为此，选取性能指标泛函：

(1)

注意到该性能指标泛函中种群的密度函数p(x,t)依赖于控制量生育率β(x,t),而文献[6]中性能指标泛函中种群的密度函数是依赖于收获率的。实际问题可以抽象为如下的数学问题：求满足等式

(2)

的β*∈Uad。其中，p(x,t;β)是系统(P)的解，生育率β∈Uad，容许控制集

(3)

本文假设各项参数满足如下条件：

(H3)f∈L∞(Q),f(x,t)≥0且f(x,t)=f(x,t+T),a.e.(x,t)∈Q

为了方便下文讨论，引入如下定义和结果。

由文献[5]，易得下列命题：

命题2设p1(x,t),p2(x,t)分别是系统(P)对应β1(x,t),β2(x,t)的解，若0≤β1(x,t)≤β2(x,t)a.e.inQ，则p1(x,t)≤p2(x,t)a.e.inQ。

2 最优生育率控制的存在性

引理1设p1(x,t),p2(x,t)为系统(P)的解，对任意的0<λ<1有

证明设p1(x,t),p2(x,t)为系统(P)的解，对任意的0<λ<1有

(4)

(5)

(6)

(7)

利用(5)～(7)式可得：

(8)

现在证明：p*=pβ*,a.e.inQ。

在(8)中令n→∞取极限在弱解的意义下有：

根据系统(P)解的唯一性得p*=pβ*。

接下来证明β*为最优控制。一方面根据引理1，易证

(9)

3 必要条件和最优性组

设β∈Uad，p(x,t;β)为系统(P)的解，p(β)在β*处沿方向(β-β*)的G-微分[10]记为:

(10)

引进记号:

(11)

由于Uad是凸集，所以当β*,β∈Uad时，βλ∈Uad，用pλ和p*分别表示系统(P)中当β=βλ，β=β*时的解，将所得方程对应项相减，两端再除以λ>0，令λ→0+取极限，注意到定义式(10)，可推得

(12)

下面证明生育率控制β∈Uad为最优的必要条件。

定理2 设β*∈Uad是系统(P)关于问题(2)的最优生育率控制，则β*∈Uad满足下面的不等式：

(13)

证明对于任意的β∈Uad和0<λ<1，有：

βλ(x,t)=β*(x,t)+λ[β(x,t)-β*(x,t)]=λβ(x,t)+(1-λ)β*(x,t)∈Uad

又因为β*∈Uad是系统(P)的最优生育率控制，所以J(βλ)-J(β*)≥0。注意到性能指标泛函J(β)的定义式(1)和式(10)，由极限的保号性可以推得

由此式(13)得证。

为了变换不等式(13)，引入伴随状态q(x,t;β*)

(14)

设z(x,t)是方程组(12)的解，用z(x,t)乘(14)的第一个等式并在(0,T)×(0,l)上积分得到

(15)

对第一项和第二项应用分部积分公式并注意(12)、(14)式，有

(16)

将方程组(12)的第一个方程代入得

(17)

由(13)式得

(18)

综上所述，可以得到：

[1]Liu Yan,HE Ze-rong.Behavioral analysis of a nonlinear three-staged population model with age-size-structure[J].Applied Mathematics and Computation,2014,227:437-448

[2]李健全，陈任昭．年龄相关的种群系统的最优生育率控制[J]．生物数学学报，2006，21(2)：191-203

[3]甄洁，赵春．基于时滞和年龄结构的种群系统的最优生育率控制[J]．信阳师范学院学报:自然科学版，2014，27(2)：157-161

[4]刘炎，何泽荣．具有Size结构的捕食种群系统的最优收获策略[J]．数学物理学报，2012，32(1)：90-102

[5]何泽荣，刘荣，刘丽丽．周期环境中基于个体尺度的种群模型的最优收获策略[J]．应用数学学报，2014，37(1)：145-159

[6]何泽荣，刘荣，刘丽丽．模拟周期环境和尺度结构的种群系统的最优收获率[J]．数学物理学报，2014，34(3)：684-690

[7]赵春，王绵森，赵平．一类种群系统的适定性及最优收获问题[J]．系统科学与数学，2005，25(1)：1-12

[8]付军，李健全，陈任昭．年龄相关的种群空间扩散系统的广义解与收获控制[J]．控制理论与应用，2005，22(4)：588-596

[9]He Ze-rong,Liu Yan.An optimal birth control problem for a dynamical population model with size-structure[J].Nonlinear Analysis-Real World Applications,2012,13(3):1369-1378

[10]赵义纯．非线性泛函分析及其应用[M]．北京：高等教育出版社，1989：15-16

(责任编辑：汪材印)

10.3969/j.issn.1673-2006.2016.03.025

2015-12-15

安徽省高校省级自然科学研究一般项目“复形范畴中的Gorenstein 同调理论”(2014KJ004)；阜阳师范学院科学研究项目“复形范畴中的相对同调”(2013FSKJ13)。

田雪(1980-)，女，吉林省吉林市人，硕士，讲师，主要研究方向：分布参数系统控制。

O231.4

A

1673-2006(2016)03-0096-04