数形结合思想在解决问题中的巧妙渗透

黄金花

摘 要：数形结合是一种重要的数学思想，它影响着学生解决问题能力的提高。特别是面对抽象的数学问题，数形结合能化抽象为具体，有效辅助学生思考。本文主要从运用数形结合，理解题目意义、理解对应关系、理解基本数量关系三个方面进行阐述。

关键字：数形结合 理解题意 对应关系 数理关系

解决问题是发展学生数学综合能力的重要载体，在解决问题的过程中，已知条件的理解、数量关系的理清对提升学生的问题解决能力至关重要，特别是高年级数学，问题、数量关系比较复杂。数形结合能将抽象的问题化为学生易于感知的形象问题，从而助力学生正确解题。那么，教师如何结合问题解决的过程巧妙渗透数形结合思想呢？

一、运用数形结合，理解题目意义

解决问题是小学数学的一个难点，让学生理解题目的意思是解决问题的基础。一般情况下，理解题目的意思包含了三个方面：已知条件、问题、数量关系。如何让学生通过读题快速理解三者之间的关系是有效解题的第一步。但在实际读题过程中，有些题目条件比较多，问题又比较抽象，学生在理解时容易出现思维混乱、解题思路模糊的情况，这对学生正确解题将会有很大的影响。在培养解题能力时，理解题目的意义是至关重要的一步，而理解题目除了让学生认真读题、理解基本条件外，运用辅助手段帮助理解题意也是一种重要策略。而数形结合就是帮助学生理解题意、理清数量关系的重要方法，教师要结合不同的题目，巧妙渗透数形结合的方法，从而助力学生理清关系，找到问题解决的突破口。

如在教学人教版数学六年级下册“百分数”后，学生经常会遇到这样的问题：有一桶白色漆，第一次用掉了整桶的1/2，第二次再用掉全桶的30%，还剩下40升。这桶白色漆原来有多少升？此类题目是六年级学生经常会遇到的典型题，学生想正确解题，必须有效理清各个已知条件的关系，并找到对应的突破口。本题解决的突破口应该是剩下的40升，学生必须知道40升对应了整桶白色漆的几分之几。但在实际的解题过程中，学生单纯依靠字面理解题意，思路容易混乱，因为以学生的想象力要理清40升占几分之几还是有难度的。如果教师能巧妙引入线段图，就能为学生的思路找到突破口。将整桶漆看作单位“1”并画出一条线段，然后第一次用掉了整桶的1/2，给线段图直接作上记号；第二次再用掉全桶的30%，给线段图再作上记号，此时，学生容易发现剩下的几分之几就是40升所对应的量。可以说，数形结合为抽象问题的解决找到了突破口，学生容易借直观图形将抽象的问题简单化，从而有效理解题目的意义，轻松解决问题。

二、运用数形结合，正确理解对应关系

分数是小学阶段重要的内容，在解决分数问题时，量率对应是一个重要概念，但人教版教材并没有直接出现“量率对应”这组关键词，而在实际的分数问题解决过程中，量率对应却有着广泛的应用，它影响着学生解题能力和解题思维的发展。什么是量率对应？在分数解决问题中，一般都存在两种意义不同的量来表示同一个物体的大小，其中一个量表示为单位“1”的几分之几，通常这个几分之几叫“率”，另一量表示实际数量是多少，这两个量是相互对应的，一般把它们叫做量率对应。虽然教材没有出现量率对应的名词，但教师要抓住分数应用题的特点，有效渗透量率对应的知识，使学生能够更好地解决问题。在引导学生理解量率对应的问题时，数形结合是一个重要的辅助策略，它能帮学生更好地亲历量率对应的数量关系，并借图形更好地找到实际量和“率”之间的关系，从而快速找到解决方法。

人教版将分数乘法安排在了六年级数学上册，分数应用题有着自己的特点，单位“1”是重要的指标，它是学生正确解决问题的基础。在学生学习了分数除法后，学生接触到的分数应用题就会比较复杂，此时，数形结合能帮助学生更好地理清题意，并正确理解对应关系。如工程队在修建一条公路，第一天修了全程的1/2少35米，第二天修了全程的1/2多5米，两天正好修了全程的4/5。请问：这条公路全长是多少米？在此题中，分数代表的是“率”，35米和5米代表的是实际的量，而全程是单位“1”不知道，要求全程的突破口在于实际的量对应的是全程的几分之几，同时，此题中第一天修了全程的1/2少35米和第二天修了全程的1/2多5米中两个实际的量存在“复杂”的关系，如何理清？实际量对应的几分之几容易求，因为两天正好修了全程的4/5，容易用1减4/5得1/5，但实际量是多少却是一个难点。如果教师能引导学生结合题意画线段图，通过线段图帮助学生理清对应量的关系。第一天修的路不到1/2，还差35米；第二天修的超过了1/2还多修了5米，因此，第一天和第二天合起来应该是35米减5米，也就是全程还剩下30米没有修。可以说，线段图能有效帮助学生理清对应量的关系，使学生快速找到量率之间的数量关系，从而借数形结合找到问题解决的突破口。

三、运用数形结合，理解基本数量关系

分数比较抽象，分数乘除法应用题被安排在人教版小学数学六年级。此阶段的学生已具备了一定的运算基础和问题解决能力，但在分数应用题中，不少学生还是会出错，究其原因，是学生对分数中的数量关系不理解导致的。在分数问题的解决过程中，理解和弄清基础的数量关系是正确解题的关键。在分数问题解决中，基本的数量关系就是标准量、比较量和分率之间的关系，即标准量×分率=比较量，在解决问题过程中，教师要根据三个基本量之间的出现而合理运用数量关系。由于基本的数量关系比较复杂，教材并没有直接出现三个量之间关系的公式，它渗透于问题解决之中。数形结合是帮助学生理清分数基本数量关系的重要策略，它能化抽象的数量关系为可感知的图形，使学生在具体的问题解决中逐步建构数量关系。

如“华东小学组织学生开展植树活动，六年级1班种了200棵树，五年级1班种的棵数是六年级1班的4/5，五年级1班种了多少棵树？”在此题中，六年级1班是单位“1”，即标准量，五年级1班种的棵数是六年级1班的4/5即分率；要求五年级1班种了多少棵即求比较量。如果教师用这样的方式为学生解答，或者让学生直接用公式去解题，势必会让学生产生混乱，太抽象了。数形结合作为一种重要的解题思想，对理解抽象的知识有着重要的作用。标准量即单位“1”，用一条线段表示，然后将线段平均分成5份，五年级1班占了4份，4/5即分率；要求五年级1班种了多少棵数，数量关系非常明显，学生直接200乘4/5得160棵。以上解题过程中，虽然教师并没有刻意将抽象的数量关系呈现给学生，但是数形结合有助于学生理解其中的数量关系，教师再适当地渗透数量关系中的公式，学生的理解就会加深，即使学生在初学时不理解，但在不断解题过程中就会逐渐地理解、内化，这也是数形结合所要达到的目的。在分数的数量关系中，单位“1”不知道，即标准量不知道时，就要用对应量除以分率，教师同样可以利用数形结合的策略辅助学生解题，使学生借助“有形”图去理解抽象的数量关系，并在不断的实践中逐渐建构知识。

总之，数形结合作为数学解题重要的思想策略，影响着学生数学解题知识结构的发展。在问题解决的过程中，数形结合抓住了抽象知识和形象手段的契合点，巧妙将抽象的知识化为学生易感知的形象问题，使学生的逻辑思维训练有可支撑的载体，从而有效亲历知识的形成过程，获得解题能力的发展。

参考文献：

[1]袁艳梅.数形结合思想在小学数学教学中的渗透[J].小学教学参考，2011年20期.

[2]林世平.让“数”与“形”和谐交融[J].才智，2011年21期.

责任编辑：胡波波